(Ph2-34) Gesamtschwerpunkt für zusammengesetzte Körper

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie man den Gesamtschwerpunkt eines zusammengesetzten Körpers berechnen kann. Wir schauen anhand eines ausführlichen Beispiels an, wie der Gesamtschwerpunkt eines U-Profils berechnet wird. Ganz unten auf der Seite zeigen wir dir, wie du von zuhause aus den Schwerpunkt eines U-Profils bestimmen kannst (Bastelarbeit).

 

Schwerpunkt für zusammengesetzte Flächen

 

Häufig sind Körper aus mehreren Teilen zusammengesetzt. Willst du für einen solchen Körper den Gesamtschwerpunkt bestimmen, dann kannst du die Fläche des Körpers in einfache geometrische Teilflächen aufteilen, für welche du die Schwerpunktlage kennst. Aus der Lage dieser Einzelschwerpunkte kannst du dann die Lage des Schwerpunktes für den gesamten Körper bestimmen.

 


Berechnung: Gesamtschwerpunkt eines U-Profils


Wir schauen uns jetzt mal an, wie du den Gesamtschwerpunkt einer zusammengesetzten Fläche bestimmen kannst. Dazu betrachten wir das folgende U-Profil:

 

Schwerpunkt für zusammengesetzte Flächen
Gesamtschwerpunkt bestimmen

 

In der obigen Grafik ist näherungsweise ein U-Profil zu sehen. Wir suchen den Gesamtschwerpunkt dieses Profils. Dazu teilst du das gegebene Profil in mehrere Teilflächen, von denen du die Schwerpunktlage kennst. So weißt du zum Beispiel, dass die Schwerpunkte von Rechtecken, Quadraten und eines Kreisen in der Mitte liegen. Das obige Profil kannst du so zum Beispiel in drei rechteckige Flächen aufteilen und die Schwerpunkte genau mittig einzeichnen:

 

Schwerpunkt für zusammengesetzte Flächen, Beispiel
Gesamtschwerpunkt bestimmen: Teilflächen festlegen

 

Der erste Schritt ist also die Gesamtfläche in Teilflächen aufzuteilen, von denen du die Lage der Schwerpunkte kennst. In der obigen Grafik haben wir nun die Gesamtfläche in drei rechteckige Teilflächen aufgeteilt. Die Schwerpunkte liegen jeweils in der Mitte. Du kannst dazu zusätzlich die Abmessungen des Schwerpunktes eintragen, wenn du möchtest (so wie in der Grafik geschehen). Außerdem solltest du die Teilflächen durchnummerieren, damit du bei den Berechnungen die Übersicht behältst.

Der nächste Schritt ist nun ein Koordinatensystem festzulegen, falls nicht bereits eines in der Aufgabenstellung gegeben. Wenn kein Koordinatensystem gegeben ist, kannst du dir die Lage des Koordinatensystems selbst aussuchen. Dabei ist es sinnvoll das Koordinatensystem immer links unten an den Körper zu setzen, da du dich bei der Berechnung dann immer in positive Achsenrichtungen bewegst und so die Abstände immer positiv sind.

 

Schwerpunkt für zusammengesetzte Flächen
Gesamtschwerpunkt bestimmen: Koordinatensystem festlegen

 

 

Gleichungen:

Nachdem du diese Schritte durchgeführt hast, können wir mit der Berechnung starten. Du benötigst dazu die folgenden beiden Gleichungen:

 

 \boxed{x_S = \dfrac{\sum x_i \cdot A_i}{\sum A_i}}         Abstand in x-Richtung

 

 \boxed{y_S = \dfrac{\sum y_i \cdot A_i}{\sum A_i}}          Abstand in y-Richtung

 

x_S ist hierbei der Abstand vom Koordinatensystem zum Gesamtschwerpunkt in x-Richtung und y_S der Abstand vom Koordinatensystem zum Gesamtschwerpunkt in y-Richtung.  x_i bzw. y_i ist der Abstand vom Koordinatensystem zu den Schwerpunkten der Teilflächen in x-Richtung bzw. y-Richtung, A_i ist die jeweilige Teilfläche. \sum ist das Summenzeichen. Wir haben insgesamt drei Teilflächen gegeben, weshalb du die obigen Gleichungen wie folgt schreiben kannst:

 

x_S = \dfrac{\sum x_i \cdot A_i}{\sum A_i} = \dfrac{x_1 \cdot A_1 + x_2 \cdot A_2 + x_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}

 

y_S = \dfrac{\sum y_i \cdot A_i}{\sum A_i} = \dfrac{y_1 \cdot A_1 + y_2 \cdot A_2 + y_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}

 

Wir können nun damit beginnen die Schwerpunktlage des gegebenen Profils zu bestimmen.

 


Teilfläche 1


Gesamtschwerpunkt: Teilfläche 1 im U-Profil
Teilfläche 1

 

Wir starten mit der Teilfläche 1 und berechnen die Abstände vom Koordinatenursprung in x-Richtung (x_1) und in y-Richtung (y_1) sowie den Flächeninhalt A_1.

 

x_1          Abstand vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 1 in x-Richtung

y_1          Abstand vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 1 in y-Richtung

A_1          Flächeninhalt der Teilfläche 1

 

Merk's dir!
Bei der Berechnung musst du immer darauf achten, ob du dich in negative oder positive Achsenrichtung bewegst und die Vorzeichen in jedem Fall mitberücksichtigen. Da wir das Koordinatensystem nach links unten gelegt haben, bewegen wir uns immer in positive Achsenrichtung.

 

Der Abstand in x-Richtung vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 1 beträgt:

 

x_1 = 30 cm

 

Der Abstand in y-Richtung vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 1 beträgt:

 

y_1 = 10 cm + 50 cm + 5 cm = 65 cm

 

Der Flächeninhalt beträgt:

 

A_1 = 10 cm \cdot 60 cm = 600 cm^2

 


Teilfläche 2


Gesamtschwerpunkt: Teilfläche 2 im U-Profil
Teilfläche 2

 

Danach betrachten wir Teilfläche 2 und berechnen die Abstände vom Koordinatensystem in x-Richtung (x_2) und in y-Richtung (y_2) sowie den Flächeninhalt A_2.

 

x_2          Abstand vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 2 in x-Richtung

y_2          Abstand vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 2 in y-Richtung

A_2          Flächeninhalt der Teilfläche 2

 

Der Abstand in x-Richtung vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 2 beträgt:

 

x_2 = 60 cm - 5cm = 55 cm

 

Der Abstand in y-Richtung vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 2 beträgt:

 

y_2 = 10 cm + 25 cm = 35 cm

 

Der Flächeninhalt beträgt:

 

A_2 = 10 cm \cdot 50 cm = 500 cm^2

 


Teilfläche 3


Gesamtschwerpunkt: Teilfläche 3 im U-Profil
Teilfläche 3

 

Als letztes betrachten wir die Teilfläche 3:

 

x_3          Abstand vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 3

y_3          Abstand vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 3

A_3          Flächeninhalt der Teilfläche 3

 

Der Abstand in x-Richtung vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 2 beträgt:

 

x_3 = 30 cm

 

Der Abstand in y-Richtung vom Koordinatensystem zum Schwerpunkt der Teilfläche 2 beträgt:

 

y_3 = 5 cm

 

Der Flächeninhalt beträgt:

 

A_3 = 60 cm \cdot 10 cm = 600 cm^2

 


Gesamtschwerpunkt ermitteln


Wir können nun die obigen Gleichungen anwenden und die Schwerpunktlage des Gesamtprofils bestimmen:

 

Abstand in x-Richtung vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt:

 

x_S = \dfrac{x_1 \cdot A_1 + x_2 \cdot A_2 + x_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}

 

x_S = \dfrac{30 cm \cdot 600 cm^2 + 55 cm \cdot 500 cm^2 + 30 cm \cdot 600 cm^2}{600 cm^2 + 500 cm^2 + 600 cm^2}

 

x_S = 37,35 cm

 

Abstand in y-Richtung vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt:

 

y_S = \dfrac{y_1 \cdot A_1 + y_2 \cdot A_2 + y_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}

 

y_S = \dfrac{65 cm \cdot 600 cm^2 + 35 cm \cdot 500 cm^2 + 5 cm \cdot 600 cm^2}{600 cm^2 + 500 cm^2 + 600 cm^2}

 

y_S = 35 cm

 

Der Abstand vom Koordinatensystem zum Gesamtschwerpunkt in x-Richtung beträgt 37,35 cm und in y-Richtung 35 cm:

 

Gesamtschwerpunkt: Lage in einem U-Profil
Lage des Gesamtschwerpunktes

 

Der Gesamtschwerpunkt ist also bestimmt und liegt außerhalb des Körpers.

Du siehst also, dass es auch Körper gibt, deren Schwerpunkt außerhalb des Körpers liegt. Dies ist auch zum Beispiel bei einem Bumerang der Fall. Hängst du den Körper in seinem Schwerpunkt auf oder unterstützt du den Schwerpunkt, so befindet sich der Körper im Gleichgewicht: Er bewegt sich weder vertikal noch horizontal noch rotiert er.

 

undefiniert
Learning by doing!

Zum besseren Verständnis kannst du ganz einfach das folgende sehr einfach Experiment durchführen. Dazu benötigst du lediglich einen Stift, ein Lineal, eine Schere, eine Pappe (Schuhkarton oder ähnliches) und ein dünnes Blatt Papier. Zeichne das obige Profil auf eine Pappe. Du kannst die obigen Maße auch halbieren/vierteln, damit es besser auf die Pappe passt.

Schneide das Profil dann aus. Als nächstes klebst du ein dünnes Blatt Papier unter das Profil. Das dünne Blatt Papier hat kaum Eigengewicht, so dass dieses einen vernachlässigbaren Einfluss auf den Gesamtschwerpunkt hat. Du kannst nun mit einem Stift den Schwerpunkt am Blatt Papier suchen. Suche den Schwerpunkt ungefähr an der von uns bestimmten Position. Sobald das Profil nicht von dem Stift herunterfällt, hast du den Schwerpunkt gefunden. Übrigens: Das dünne Blatt Papier benötigst du, weil der Schwerpunkt außerhalb des Profils liegt.

 

Schwerpunkt experimentell ermitteln
Schwerpunkt selbst bestimmen

 

 

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