PH2 – Kräfte an der schiefen Ebene [Formeln, Beispiel, Videos]

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, welche Kräfte an einem Körper auftreten, der auf einer schiefen Ebene liegt. Die Gewichtskraft des Körpers wird in zwei Kräfte zerlegt.

Eine Kraft parallel zur schiefen Ebene, die sogenannten Hangabtriebskraft, die den Körper die schiefe Ebene nach unten zieht und eine Kraft senkrecht zur schiefen Ebene, die Normalkraft, welche der Körper auf die schiefe Ebene ausübt. Ist eine raue Oberfläche gegeben, so wirkt zusätzlich noch die Reibungskraft, die der Hangabtriebskraft entgegenwirkt.

In dieser Lerneinheit betrachten wir die Kräfte an der schiefen Ebene. Die Schiefe Ebene ist eines der Topthemen in Prüfungen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

Kräfte an der schiefen Ebene

In dieser Lerneinheit schauen wir uns einen ruhenden Körper an, der auf einer schiefen Ebene liegt und wollen die wirkenden Kräfte an der schiefen Ebene berechnen.

Wir bleiben weiterhin bei Kräften mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und betrachten eine schiefe Ebene auf welcher eine Kiste gelagert ist. Zunächst betrachten wir die Kiste in Ruhe, verbleiben also innerhalb der Statik. Später in unserem Onlinekurs Ph4 – Grundlagen der Kinetik wird die Bewegung einer Kiste auf einer schiefen Ebene betrachten.

Die obige Kisten liegt auf der schiefen Ebene mit einem Winkel α zur Horizontalen. Die Kiste weist ein bestimmtes Gewicht in kg auf. Wir können hier also mittels Fallbeschleunigung $g = 9,81 \dfrac{m}{s^2}$ die Gewichtskraft F_Gder Kiste bestimmen. Die Gewichtskraft wirkt immer vertikal nach unten.

Normalkraft – Formel

Infolge der Gewichtskraft wird die Kiste auf die schiefe Ebene gedrückt und zwar mit der Kraft F_N. F_N ist dabei die Normalkraft, die immer senkrecht zu der Ebene steht. Es ist ersichtlich, dass nicht die gesamte Gewichtskraft F_G auf die schiefe Ebene wirkt, sondern nur ein Teil davon. Je größer der Winkel $\alpha$ desto kleiner die Normalkraft $F_N$ , also die Kraft, die auf die schiefe Ebene wirkt.

Die Normalkraft wird aus der Gewichtskraft wie folgt berechnet:

Normalkraft

$F_N = F_G \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$

Hangabtriebskraft – Formel

Der andere Teil der Gewichtskraft wirkt als Hangabtriebskraft F_H entlang der schiefen Ebene. Infolge der Erdanziehungskraft beginnt die Kiste ab einer bestimmten Neigung zu rutschen.

Die Hangabtriebskraft wird berechnet zu:

Hangabtriebskraft

$F_H = F_G \cdot \sin(\alpha) = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$

Gehen wir von einer glatten Oberfläche aus, so existiert keine Reibung zwischen Kiste und Ebene. Die Kiste rutscht in jedem Fall, sofern ein Winkel $\alpha$ gegeben. Dabei ist es unerheblich wie groß der Winkel ist.

Stell es dir vor…

Stell dir dazu eine schiefe Ebene aus Eis vor. Stell die Kiste auf die Eisfläche. Geh davon aus, dass wirklich keinerlei Reibung auftritt. Die Kiste wird sich dann in Bewegung setzen, wenn die Ebene nur ein wenig von der Horizontalen abweicht.

Berücksichtigung der Reibung

Gehen wir nun davon aus, dass Reibung auftritt. Die Reibungskraft $F_R$ liegt parallel zur schiefen Ebene und ist der Bewegung der Kiste entgegengesetzt, wie in der nachfolgenden Grafik zu sehen ist:

Schiefe Ebene, Kräfte, Reibungskraft, Normalkraft, Hangabtriebskraft, Gewichtskraft — Berücksichtigung der Reibungskraft

Reibungskraft – Formel

Die maximale Reibungskraft $F_{Rmax}$ lässt sich aus der Normalkraft wie folgt berechnen:

Reibungskraft

$F_{Rmax} = \mu_0 \cdot F_N$

mit

$\mu_0$ Haftreibungskoeffizient

Hierbei ist $\mu_0$ die Haftreibungszahl (auch: Haftreibungskoeffizient). Die Haftreibungszahl $\mu_0$ hängt von den betrachteten Werkstoffen sowie deren Beschaffenheit ab. Die Haftreibungszahl $\mu_0$ kann Tabellenwerken entnommen werden.

Überschreitet die Hangabtriebskraft $F_H$ die maximale Reibungskraft $F_{Rmax}$ , so beginnt sich die Kiste zu bewegen:

Merk’s dir!

$F_H \le F_{Rmax}$ Kiste ruht

$F_H > F_{Rmax}$ Kiste bewegt sich

Fängt die Kiste an zu gleiten, so tritt anstelle des Haftreibungskoeffizienten $\mu_0$ der Gleitreibungskoeffizient $\mu$ , welcher immer kleiner ist als der Haftreibungskoeffizient. Die Reibungskraft muss in einem solchen Fall neu berechnet werden.

Normalkraft beim Gleiten

$F_R = \mu \cdot F_N$

mit

$\mu$ Gleitreibungskoeffizient

Anstelle des Haftreibungskoeffizienten $\mu_0$ tritt im Fall des Gleitens der Gleitreibungskoeffizient $\mu$ . Die Reibungskraft beim Gleiten ist kleiner als beim Haften.

Wir betrachten die Bewegung eines Körpers auf der schiefen Ebene in unserem Onlinekurs Ph4 – Grundlagen der Kinetik.

Videoclips: Kräfte an der schiefen Ebene

Die nachfolgenden Videos zeigen dir die Kräfte auf der schiefen Ebene auf, wie du die Hangabtriebskraft, die Normalkraft und die Reibungskraft berechnen kannst sowie die Berechnung des Neigungswinkels aus den gegebenen Abmessungen mittels Sinus, Kosinus und Tangens.

Videoclip 1: Kräfte an der schiefen Ebene – Erklärung

Videoclip 2: Kräfte an der schiefen Ebene – Berechnung

Videoclip 3: Kräfte an der schiefen Ebene – Winkel berechnen

Haftungswinkel

Der Haftungswinkel $\alpha_0$ ist derjenige Winkel, bei welchem die Hangabtriebskraft $F_H$ und die Reibungskraft $F_R$ gleich groß sind. Ist dieser Fall gegeben, so befindet sich die Kiste gerade noch in Ruhe. Die Kiste haftet also solange der tatsächliche Neigungswinkel $\alpha$ der schiefen Ebene kleiner oder gleich dem Haftungswinkel $\alpha_0$ ist. Ist der tatsächliche Neigungswinkel $\alpha$ der schiefen Ebene jedoch größer als der Haftungswinkel $\alpha_0$ , so beginnt die Kiste zu gleiten, weil dann die Hangabtriebskraft $F_H$ größer als die Reibungskraft $F_R$ wird.

Körper haftet

$\alpha \le \alpha_0$

Berechnet wird der Haftungswinkel $\alpha_0$ aus dem Haftungskoeffizienten $\mu_0$ wie folgt:

Haftungswinkel

$\tan(\alpha_0) = \mu_0$

Ist der tatsächliche Winkel $\alpha$ zwischen schiefer Ebene und der Horizontalen größer als der Haftungswinkel $\alpha_0$ , so beginnt die Kiste zu gleiten. Sobald die Kiste mit dem gleiten beginnt, tritt anstelle des Haftreibungskoeffizienten $\mu_0$ der Gleitreibungskoeffizient $\mu$ . Wie bereits oben beschrieben wird die Reibungskraft dann mit dem Gleitreibungskoeffizienten $\mu$ berechnet. Diese Berechnung sind Gegenstand in unserem Onlinekurs Ph4 – Grundlagen der Kinetik.

Merk’s dir!

Stell dir einmal vor es gäbe keine Haftreibung. Dann wäre es nicht möglich, dass du dich auf einer Oberfläche bewegst. Auf einer Eisfläche zum Beispiel, ist die Haftreibung sehr gering, weshalb hier die Rutschgefahr erhöht ist. Um wieder mehr Haftung zu erreichen, kannst du Sand auf die Eisfläche streuen. Die Haftung wird dadurch erhöht und die Rutschgefahr minimiert

Schauen wir uns dazu mal die folgenden beiden Beispiel an.

Beispiel 1: Haftungswinkel

Aufgabenstellung: Haftungswinkel

Haftungswinkel, beispiel, berechnen, schiefe Ebene — Beispiel: Haftungswinkel berechnen

Gegeben sei die obige Kiste auf der rauen schiefen Ebene. Der Haftungskoeffizient betrage $\mu_0 = 0,7$

Bei welchem Winkel $\alpha_0$ befindet sich die Kiste gerade noch in Ruhe?

Zur Berechnung des Haftungswinkel $\alpha_0$ wenden wir die folgende Gleichung an:

$\tan(\alpha) = \mu_0$

Auflösen nach $\alpha_0$ :

$\alpha_0 = \tan^{-1} (\mu_0)$

Einsetzen des Haftungskoeffizienten:

$\alpha_0 = \tan^{-1} (0,7)$

$\alpha_0 = 35^\circ$

Bei einem Winkel von 35° von der schiefen Ebene zur Horizontalen ist gerade noch Haftung gegeben. Ist bei gegebenem Haftreibungskoeffizienten $\mu_0 = 0,7$ der Neigungswinkel hingegen größer als 35°, so beginnt die Kiste zu rutschen.

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Beispiel 2: Haftreibungskoeffizient

Aufgabenstellung: Haftungskoeffizient

Gegeben sei eine Kiste auf der schiefen Ebene mit dem Haftungswinkel von α₀ = 28°.

Wie groß ist der Haftreibungskoeffizient μ₀?

Wir betrachten hierzu wieder die Gleichung:

$\tan(\alpha) = \mu_0$

Einsetzen des Haftungswinkels $\alpha_0$ :

$\tan(28^\circ) = \mu_0$

$\mu_0 = 0,53$

Der Haftungskoeffizient beträgt μ₀= 0,53.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt das Thema Kräfte an der schiefen Ebene beherrschst, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit wieder einen Körper auf der schiefen Ebene. Dieses mal greift aber eine äußere Kraft an den Körper an. Wir haben demnach neben der Gewichtskraft eine weitere Kraft gegeben.

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