(Ph2-29) Prüfungsaufgabe 5: Berechnung der Lagerkräfte

Inhaltsverzeichnis

Prüfungsrelevant
Prüfungsaufgabe 1: Lagerkräfte bestimmen
Beispiel 5: Lagerkräfte bestimmen
Beispiel 5: Lagerkräfte bestimmen

Ein Sprungbrett mit einer Gewichtskraft von 125 N wird beim Absprung mit einer Kraft von 1,5 kN unter einem Winkel von \alpha_s = 70^\circ belastet. Die folgenden Abstände sollen berücksichtigt werden:

l_1 = 2,5m, l_2 = 3m, l_3 = 6m und d = 0,8m.

Wie groß sind die Beträge der Kräfte in der Walze A und im Festlager? Unter welchem Winkel, bezogen auf die Waagerechte, wirken diese Kräfte?

1.Schritt: Freischnitt

Zunächst lösen wir das Sprungbrett von seinen Auflagern A und B. Hierbei ist A eine Walze, welche eine vertikale Kraft überträgt, die genau in der Mitte der Walze (Schwerpunkt des Kreises) angreift. Das Lager B ist ein Festlager und überträgt demnach eine vertikale und eine horizontale Kraft. Die Gewichtskraft F_G des Sprungbretts greift in der Mitte des Sprungbretts an und wirkt vertikal nach unten:

Beispiel 5: Freischnitt
Freischnitt

2. Schritt: Kräftezerlegung

Die Kraft F_s ist mit dem Winkel \alpha_s = 70^\circ zur Horizontalen gegeben. Wir haben hier also eine Kraft mit Winkel gegeben, die zerlegt werden muss. Legen wir die Kraft in ein Koordinatensystem, so sehen wir:

Beispiel 5: Kräftezerlegung
Kräftezerlegung

Da der Winkel zur Horizontalen gegeben ist, werden die beiden Kraftkomponenten wie folgt berechnet:

F_h = F_s \cdot \cos(70^\circ) = 1.500 N \cdot \cos(70^\circ) = 513,03 N

F_v = F_s \cdot \sin(70^\circ) = 1.500 N \cdot \sin(70^\circ) = 1.409,54 N

Als nächstes musst du die Kraft F_s durch ihre Komponenten ersetzen:

Beispiel 5: Kräftezerlegung
Kraft ersetzen

3. Schritt: Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Wir können jetzt mit der Berechnung der Auflagerkräfte A_v, B_v und B_h starten.

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung:

\sum F_x = 0:

I. F_h - B_h = 0

Aus I.)

B_h = F_h

 \boxed{B_h = 513,03 N}

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:

\sum F_y = 0

II. A_v + B_v - F_v - F_G = 0

Zwei unbekannte Auflagerkräfte A_v und B_v gegeben. Wir können hier noch keine berechnen.

Momentengleichgewichtsbedingung:

Beispiel 5: Bezugspunkt
Bezugspunkt

Wir legen den Bezugspunkt wieder dorthin, wo noch unbekannte Kräfte gegeben sind. In diesem Fall also entweder in das Lager A oder in das Lager B. Wir wählen beliebig das Lager A:

\sum M^A = 0

III. B_v \cdot l_1 + F_G \cdot l_2 + F_v \cdot l_3 = 0

Alle Momenten sind positiv, weil alle Kräfte das Sprungbrett in einer Linksdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) um den gewählten Bezugspunkt (Lager A) drehen.

Wir können die Gleichung III nach B_v auflösen.

Aus III.)

B_v \cdot l_1 + F_G \cdot l_2 + F_v \cdot l_3 = 0

B_v \cdot l_1 =  -F_G \cdot l_2 -  F_v \cdot l_3

B_v =  \frac{-F_G \cdot l_2 -  F_v \cdot l_3}{l_1}

Einsetzen der bekannten Werte:

B_v =  \frac{-125 N \cdot 3m -  1.409,54 N \cdot l6m}{2,5m}

 \boxed{B_v = -9.171,06 N}

Die Auflagerkraft B_v ist negativ, sie wirkt also nicht wie angenommen nach oben, sondern nach unten. Wenn man sich die Situation vorstellt, so wird dies aber auch klar. Wenn du ganz links auf dem Sprungbrett stehst, dann wird dieses sich rechts nach oben bewegen. Die Auflagerkraft B_v verhindert das, indem diese das Brett nach unten zieht.

Wir können nun die Auflagerkraft A_v aus der Gleichung II bestimmen.

Aus II.)

A_v + B_v - F_v - F_G = 0

A_v = - B_v + F_v + F_G

Einsetzen der bekannten Werte:

A_v = -(-9.171,06 N) + 1.409,54 N - 125 N

A_v = 9.171,06 N + 1.409,54 N - 125 N

 \boxed{A_v = 10.455,6 N}

Die Auflagerkraft A_v ist positiv und wirkt damit wie angenommen nach oben.

Im letzten Schritt fügen wir die Kräfte im Lager B noch zu einer einzigen Kraft zusammen. Dazu wenden wir den Satz des Pythagoras an:

B = \sqrt{B_h^2 + B_v^2}

B = \sqrt{(513,03 N)^2 + (-9.171,06 N)^2}

 \boxed{B = 9.185,4 N}

Routine ist alles!
Nachdem du alle 5 Prüfungsaufgaben gelöst hast solltest du gegebenfalls eine weitere Berechnungsrunde durchführen. Wichtig ist, dass du in der Klausur solche Aufgaben routiniert lösen kannst. Außerdem solltest du in jedem Fall die gegebenen Einheiten immer in SI-Einheiten umrechnen, bevor du mit der Berechnung beginnst. So musste in diesem Beispiel die Einheit kN in N umgerechnet werden.

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