(Ph2-29) Prüfungsaufgabe 5: Berechnung der Lagerkräfte

Ein Sprungbrett mit einer Gewichtskraft von 125 N wird beim Absprung mit einer Kraft von 1,5 kN unter einem Winkel von  belastet. Die folgenden Abstände sollen berücksichtigt werden:

, , und .

 Wie groß sind die Beträge der Kräfte in der Walze A und im Festlager? Unter welchem Winkel, bezogen auf die Waagerechte, wirken diese Kräfte?

1.Schritt: Freischnitt

Zunächst lösen wir das Sprungbrett von seinen Auflagern und . Hierbei ist eine Walze, welche eine vertikale Kraft überträgt, die genau in der Mitte der Walze (Schwerpunkt des Kreises) angreift. Das Lager ist ein Festlager und überträgt demnach eine vertikale und eine horizontale Kraft. Die Gewichtskraft des Sprungbretts greift in der Mitte des Sprungbretts an und wirkt vertikal nach unten:

2. Schritt: Kräftezerlegung

Die Kraft ist mit dem Winkel zur Horizontalen gegeben. Wir haben hier also eine Kraft mit Winkel gegeben, die zerlegt werden muss. Legen wir die Kraft in ein Koordinatensystem, so sehen wir:

Da der Winkel zur Horizontalen gegeben ist, werden die beiden Kraftkomponenten wie folgt berechnet:

Als nächstes musst du die Kraft durch ihre Komponenten ersetzen:

3. Schritt: Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Wir können jetzt mit der Berechnung der Auflagerkräfte , und starten.

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung:

:

I.

Aus I.)

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:

II.

Zwei unbekannte Auflagerkräfte und gegeben. Wir können hier noch keine berechnen.

Momentengleichgewichtsbedingung:

Wir legen den Bezugspunkt wieder dorthin, wo noch unbekannte Kräfte gegeben sind. In diesem Fall also entweder in das Lager oder in das Lager . Wir wählen beliebig das Lager :

III.

Alle Momenten sind positiv, weil alle Kräfte das Sprungbrett in einer Linksdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) um den gewählten Bezugspunkt (Lager A) drehen.

Wir können die Gleichung III nach auflösen.

Aus III.)

Einsetzen der bekannten Werte:

Die Auflagerkraft ist negativ, sie wirkt also nicht wie angenommen nach oben, sondern nach unten. Wenn man sich die Situation vorstellt, so wird dies aber auch klar. Wenn du ganz links auf dem Sprungbrett stehst, dann wird dieses sich rechts nach oben bewegen. Die Auflagerkraft verhindert das, indem diese das Brett nach unten zieht.

Wir können nun die Auflagerkraft aus der Gleichung II bestimmen.

Aus II.)

Einsetzen der bekannten Werte:

Die Auflagerkraft ist positiv und wirkt damit wie angenommen nach oben.

Im letzten Schritt fügen wir die Kräfte im Lager noch zu einer einzigen Kraft zusammen. Dazu wenden wir den Satz des Pythagoras an:

Nachdem du alle 5 Prüfungsaufgaben gelöst hast solltest du gegebenenfalls eine weitere Berechnungsrunde durchführen. Wichtig ist, dass du in der Klausur solche Aufgaben routiniert lösen kannst. Außerdem solltest du in jedem Fall die gegebenen Einheiten immer in SI-Einheiten umrechnen, bevor du mit der Berechnung beginnst. So musste in diesem Beispiel die Einheit kN in N umgerechnet werden.