(Ph2-28) Prüfungsaufgabe 4: Lagerkräfte ermitteln

In dieser vierten Prüfungsaufgabe wollen wir die Lagerkräfte ermitteln. Wir zeigen dir Schritt-für-Schritt, wie du Vorgehen musst. Es handelt sich um eine typische Aufgabe zu einem Kran.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein ausführlicher Videoclip und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Statik findest du im Kurs: PH2-Grundlagen der Statik

Prüfungsaufgabe 4: Lagerkräfte ermitteln am Kran

Prüfungsaufgabe 4: Lagerkräfte ermitteln

Aufgabenstellung

Beispiel 4: Lagerkräfte bestimmen — Beispiel 4: Lagerkräfte ermitteln

Ein an der Wand installierter Kranausleger trägt eine Kiste mit einer Masse von 1.200 kg (g = 10 m/s²). Die Kiste hängt an einem Seil 2m vor dem Ende des Auslegers in einer Tiefe von 6m. Die Masse des Seils beträgt 30 kg. Die gesamte Länge des Auslegers sei 8m und der Abstand der Haltekette beträgt 3,5 m.

Berechne die Kräfte in den Lagern A und B und gebe ihre Wirklinie an!

Lösung

Schritt 1: Freischnitt

Zunächst schneiden wir den Kran von seinen Auflagern $A$ und $B$ frei. Die Kette ist in $A$ befestigt. Eine Kette (wie ein Seil) kann nur Zugkräfte in Richtung der Kette aufnehmen. Der Ausleger (Balken) ist in dem Lager $B$ befestigt. Das Lager $B$ ist ein Festlager, überträgt also zwei Kräfte (vertikal und horizontal).

Beispiel 4: Freischnitt — Lagerkräfte ermitteln: Freischnitt

Die Lagerkraft $A$ ist eine Zugkraft und fällt mit der Wirkungslinie der Kette zusammen. Demnach ist die Lagerkraft $A$ eine Kraft, die weder horizontal noch vertikal wirkt, sondern einen bestimmten Winkel $\alpha$ zur Horizontalen aufweist. Der Winkel ist noch unbekannt.

Das Lager $B$ ist ein Festlager und weist damit zwei Kräfte auf, eine horizontale Kraft $B_h$ und eine vertikale Kraft $B_v$ . Wir nehmen die horizontale Lagerkraft nach rechts gerichtet an, die vertikale nach oben gerichtet. Ob diese Annahme richtig ist, wird sich erst zeigen, wenn wir das Ergebnis berechnet haben.

Merk’s dir!

Ihr könnte die Lagerkraft $B_h$ auch nach links gerichtet annehmen und die Lagerkraft $B_v$ nach unten gerichtet.

Lösung – Fortsetzung

Die Gewichtskraft $F_G$ muss ebenfalls abgetragen werden und beträgt:

$F_G = m \cdot g = (1.200 kg + 30 kg) \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 12.066,3 N$

Die Gewichtskraft setzt sich zusammen aus der Masse der Kiste (1.200 kg) und der Masse des Seils (30kg), an welchem die Kiste hängt.

Schritt 2: Kräftezerlegung

Die Lagerkraft $A$ weist einen (noch unbekannten) Winkel auf, da sie weder vertikal noch horizontal gerichtet ist. Wir müssen also eine Kräftezerlegung durchführen. Dazu müssen wir zunächst den Winkel $\alpha$ berechnen.

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Zur Berechnung des Winkels steht uns der Kran zur Verfügung (Kette-Ausleger-Lagerabstand). An diesem rechtwinkligen Dreieck können wir den Winkel $\alpha$ von der Kette zum Ausleger berechnen. Dieser Winkel ist identisch mit dem Winkel von der Lagerkraft $A$ zur Horizontalen.

Beispiel 4: Trigonometrie — Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Der Winkel $\alpha$ soll berechnet werden. Der Ausleger ist die Ankathete, der Abstand zwischen den beiden Lagern die Gegenkathete und die Kette ist die Hypotenuse. Wir kennen die Abmessungen der Ankathete und der Gegenkathete. Wir können mittels Tangens den Winkel berechnen:

$\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

$\alpha = \tan^{-1}(\frac{Gegenkathete}{Ankathete})$

$\alpha = \tan^{-1}(\frac{3,5 m}{8 m}) = 23,63^\circ$

Der Winkel von der Kette zum Ausleger und damit von der Lagerkraft $A$ zu Horizontalen beträgt 23,63°.

Wir wenden nun die Kräftezerlegung an:

Beispiel 4: Lagerkräfte ermitteln — Lagerkräfte ermitteln

Es gilt:

$A_h = A \cdot \cos(23,63^\circ)$

$A_v = A \cdot \sin(23,63^\circ)$

Da $A$ noch unbekannt ist, können wir $A_h$ und $A_v$ noch nicht ausrechnen.

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

Wir wollen als nächstes mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Lagerkräfte ermitteln:

I. $\sum F_x = 0$ Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

II. $\sum F_y = 0$ Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

III. $\sum M^{X} = 0$ Momentengleichgewichtsbedingung

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

Wir berechnen wieder die Summe aller Kräfte in x-Richtung, müssen also alle horizontalen Kräfte berücksichtigen.

$\sum F_x = 0$ :

I. $B_h - A_h = 0$

I. $B_h - A \cdot \cos(23,63^\circ) = 0$

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

Wir berechnen wieder die Summe aller Kräfte in y-Richtung, müssen also alle vertikalen Kräfte berücksichtigen.

$\sum F_y = 0$

II. $B_v + A_v - F_G = 0$

II. $B_v + A \cdot \sin(23,63^\circ) - F_G = 0$

Momentengleichgewichtsbedingung

Wir berechnen wieder die Summe aller Momente. Wir wählen hierfür einen beliebigen Bezugspunkt aus, in welchem unbekannten Kräfte angreifen. Wir kennen noch nicht die Auflagerkraft $B_v$ und die Auflagerkraft $A$ . Wir können als Bezugspunkt also entweder Lager $A$ oder Lager $B$ wählen.

Videoclip – Drehmoment und Drehsinn

Wir müssen nun alle Momenten auf diesen Bezugspunkt berechnen. Solltest du dir unsicher sein wie das genau funktioniert, schau dir nochmal das folgende Video an.

Drehmoment und Drehsinn

Lösung – Fortsetzung

Wir wählen beliebig das Lager $B$ :

$\sum M^B = 0$ :

III. $A_h \cdot 3,5 m - F_G \cdot (8m - 2m) = 0$

III. $A \cdot \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m - F_G \cdot (8m - 2m) = 0$

Wir können hier bereits die Auflagerkraft $A$ berechnen.

Aus III.)

$A \cdot \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m = F_G \cdot (8m - 2m)$

$A = \frac{F_G \cdot (8m - 2m)}{ \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m}$

Werte einsetzen:

$A = \frac{12.066,3 N \cdot (8m - 2m)}{ \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m}$

$\boxed{A = 22.578,2 N}$

Die beiden Lagerkräfte $B_h$ und $B_v$ können aus der Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung und aus der Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung berechnet werden.

Aus I.)

$B_h - A \cdot \cos(23,63^\circ) = 0$

Einsetzen von $A$ :

$B_h - 22.578,2 N \cdot \cos(23,63^\circ) = 0$

Auflösen nach $B_h$ :

$B_h = 22.578,2 N \cdot \cos(23,63^\circ)$

$\boxed{B_h = 20.685,09 N}$

Aus II.)

$B_v + A \cdot \sin(23,63^\circ) - F_G = 0$

Einsetzen von $A$ :

$B_v + 22.578,2 N \cdot \sin(23,63^\circ) - F_G = 0$

Auflösen nach $B_v$ und $F_G$ :

$B_v = -22.578,2 N \cdot \sin(23,63^\circ) + 12.066,3 N$

$\boxed{B_v = 3.016,31 N}$

Fassen wir die Lagerkräfte $B_h$ und $B_v$ wieder zu einer Kraft zusammen, so wenden wir den Satz des Pythagoras an:

$B = \sqrt{B_h^2 + B_v^2} = \sqrt{(20.685,09 N)^2 + (3.016,31 N)^2}$

$\boxed{B = 20.903,85 N}$

Der Winkel von $B_h$ zu $B$ beträgt dann:

$\tan(\gamma) = \frac{B_v}{B_h}$

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{B_v}{B_h})$

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{3.016,31 N}{20.685,09 N})$

$\boxed{\gamma = 8,29^\circ}$

Der Winkel von der Kraft $B_h$ zu $B$ beträgt 8,29°. Da der Winkel positiv ist, wird dieser von der horizontalen Kraft $B_h$ ausgehend in einer Linksdrehung abtragen.

Beispiel 4: Lagerkraft ermitteln — Ausschnitt: Lagerkraft B abtragen

Damit sich der Balken im Gleichgewicht befindet, sich also infolge des angehängten Gewichts sowie der Last des Seils nicht in x- und y-Richtung bewegt bzw. in der x,y-Ebene rotiert, muss das Lager B eine Lagerkraft von $B = 3.016,31 N$ aufnehmen und greift mit einem Winkel von 8,29° zur Horizontalen an. Das Lager A muss eine Lagerkraft von $A = 22.578,2 N$ aufbringen und wirkt in Richtung der Kette.

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns eine weitere klausurrelevante Aufgabe an, in welcher wir Lagerkräfte ermitteln und zusätzlich eine Kräftezerlegung durchführen.

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