(Ph2-28) Prüfungsaufgabe 4: Lagerkräfte ermitteln

Inhaltsverzeichnis

 

In dieser vierten Prüfungsaufgabe wollen wir die Lagerkräfte ermitteln. Wir zeigen dir Schritt-für-Schritt, wie du Vorgehen musst. 

 

Prüfungsrelevant

 

 


Prüfungsaufgabe 4: Lagerkräfte ermitteln am Kran


Prüfungsaufgabe 4: Lagerkräfte ermitteln
Beispiel 4: Lagerkräfte bestimmen
Beispiel 4: Lagerkräfte ermitteln

 

Ein an der Wand installierter Kranausleger trägt eine Kiste mit einer Masse von 1.200 kg (g = 10 m/s²). Die Kiste hängt an einem Seil 2m vor dem Ende des Auslegers in einer Tiefe von 6m. Die Masse des Seils beträgt 30 kg. Die gesamte Länge des Auslegers sei 8m und der Abstand der Haltekette beträgt 3,5 m.

 

Berechne die Kräfte in den Lagern A und B und gebe ihre Wirklinie an!

 

Schritt 1: Freischnitt

Zunächst schneiden wir den Kran von seinen Auflagern A und B frei. Die Kette ist in A befestigt. Eine Kette (wie ein Seil) kann nur Zugkräfte in Richtung der Kette aufnehmen. Der Ausleger (Balken) ist in dem Lager B befestigt. Das Lager B ist ein Festlager, überträgt also zwei Kräfte (vertikal und horizontal).

Beispiel 4: Freischnitt
Lagerkräfte ermitteln: Freischnitt

 

 

Die Lagerkraft A ist eine Zugkraft und fällt mit der Wirkungslinie der Kette zusammen. Demnach ist die Lagerkraft A eine Kraft, die weder horizontal noch vertikal wirkt, sondern einen bestimmten Winkel \alpha zur Horizontalen aufweist. Der Winkel ist noch unbekannt.

Das Lager B ist ein Festlager und weist damit zwei Kräfte auf, eine horizontale Kraft B_h und eine vertikale Kraft B_v. Wir nehmen die horizontale Lagerkraft nach rechts gerichtet an, die vertikale nach oben gerichtet. Ob diese Annahme richtig ist, wird sich erst zeigen, wenn wir das Ergebnis berechnet haben.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Ihr könnte die Lagerkraft B_h auch nach links gerichtet annehmen und die Lagerkraft B_v nach unten gerichtet.

 

Die Gewichtskraft F_G muss ebenfalls abgetragen werden und beträgt:

 

F_G = m \cdot g = (1.200 kg + 30 kg) \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 12.066,3 N

 

Die Gewichtskraft setzt sich zusammen aus der Masse der Kiste (1.200 kg) und der Masse des Seils (30kg), an welchem die Kiste hängt.

 

Schritt 2: Kräftezerlegung

Die Lagerkraft A weist einen (noch unbekannten) Winkel auf, da sie weder vertikal noch horizontal gerichtet ist. Wir müssen also eine Kräftezerlegung durchführen. Dazu müssen wir zunächst den Winkel \alpha berechnen.

 

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Zur Berechnung des Winkels steht uns der Kran zur Verfügung (Kette-Ausleger-Lagerabstand). An diesem rechtwinkligen Dreieck können wir den Winkel \alpha von der Kette zum Ausleger berechnen. Dieser Winkel ist identisch mit dem Winkel von der Lagerkraft A zur Horizontalen.

 

Beispiel 4: Trigonometrie
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

 

Der Winkel \alpha soll berechnet werden. Der Ausleger ist die Ankathete, der Abstand zwischen den beiden Lagern die Gegenkathete und die Kette ist die Hypotenuse. Wir kennen die Abmessungen der Ankathete und der Gegenkathete. Wir können mittels Tangens den Winkel berechnen:

 

\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

 

\alpha = \tan^{-1}(\frac{Gegenkathete}{Ankathete})

 

\alpha = \tan^{-1}(\frac{3,5 m}{8 m}) = 23,63^\circ

 

Der Winkel von der Kette zum Ausleger und damit von der Lagerkraft A zu Horizontalen beträgt 23,63°.

 

Wir wenden nun die Kräftezerlegung an:

 

Beispiel 4: Lagerkräfte ermitteln
Lagerkräfte ermitteln

 

 

Es gilt:

 

A_h = A \cdot \cos(23,63^\circ)

 

A_v = A \cdot \sin(23,63^\circ)

 

Da A noch unbekannt ist, können wir A_h und A_v noch nicht ausrechnen.

 

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

Wir wollen als nächstes mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Lagerkräfte ermitteln:

 

I. \sum F_x = 0          Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

 

II. \sum F_y = 0          Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

 

III. \sum M^{X} = 0          Momentengleichgewichtsbedingung

 

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

Wir berechnen wieder die Summe aller Kräfte in x-Richtung, müssen also alle horizontalen Kräfte berücksichtigen.

 

\sum F_x = 0:

 

I. B_h - A_h = 0

 

I. B_h - A \cdot \cos(23,63^\circ) = 0

 

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

Wir berechnen wieder die Summe aller Kräfte in y-Richtung, müssen also alle vertikalen Kräfte berücksichtigen.

 

\sum F_y = 0

 

II. B_v + A_v - F_G = 0

 

II. B_v + A \cdot \sin(23,63^\circ) - F_G = 0

 

 Momentengleichgewichtsbedingung

Wir berechnen wieder die Summe aller Momente. Wir wählen hierfür einen beliebigen Bezugspunkt aus, in welchem unbekannten Kräfte angreifen. Wir kennen noch nicht die Auflagerkraft B_v und die Auflagerkraft A. Wir können als Bezugspunkt also entweder Lager A oder Lager B wählen.

 

Wir müssen nun alle Momenten auf diesen Bezugspunkt berechnen. Solltest du dir unsicher sein wie das genau funktioniert, schau dir nochmal das folgende Video an.


Lernclip
Drehmoment und Drehsinn

 

Wir wählen beliebig das Lager B:

 

 \sum M^B = 0:

 

III. A_h \cdot 3,5 m - F_G \cdot (8m - 2m) = 0

 

III. A \cdot \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m - F_G \cdot (8m - 2m) = 0

 

Wir können hier bereits die Auflagerkraft A berechnen.

 

Aus III.)

 

A \cdot \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m = F_G \cdot (8m - 2m)

 

A = \frac{F_G \cdot (8m - 2m)}{ \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m}

 

Werte einsetzen:

 

A = \frac{12.066,3 N \cdot (8m - 2m)}{ \cos(23,63^\circ) \cdot 3,5 m}

 

 \boxed{A = 22.578,2 N}

 

Die beiden Lagerkräfte B_h und B_v können aus der Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung und aus der Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung berechnet werden.

 

Aus I.)

 

B_h - A \cdot \cos(23,63^\circ) = 0

 

Einsetzen von A:

 

B_h - 22.578,2 N \cdot \cos(23,63^\circ) = 0

 

Auflösen nach B_h:

 

B_h = 22.578,2 N \cdot \cos(23,63^\circ)

 

 \boxed{B_h = 20.685,09 N}

 

Aus II.)

 

B_v + A \cdot \sin(23,63^\circ) - F_G = 0

 

Einsetzen von A:

 

B_v + 22.578,2 N \cdot \sin(23,63^\circ) - F_G = 0

 

Auflösen nach B_v und F_G:

 

B_v = -22.578,2 N \cdot \sin(23,63^\circ) + 12.066,3 N

 

 \boxed{B_v = 3.016,31 N}

 

Fassen wir die Lagerkräfte B_h und B_v wieder zu einer Kraft zusammen, so wenden wir den Satz des Pythagoras an:

 

B = \sqrt{B_h^2 + B_v^2} = \sqrt{(20.685,09 N)^2 + (3.016,31 N)^2}

 

 \boxed{B = 20.903,85 N}

 

Der Winkel von B_h zu B beträgt dann:

 

\tan(\gamma) = \frac{B_v}{B_h}

 

\gamma = \tan^{-1} (\frac{B_v}{B_h})

 

\gamma = \tan^{-1} (\frac{3.016,31 N}{20.685,09 N})

 

 \boxed{\gamma = 8,29^\circ}

 

Der Winkel von der Kraft B_h zu B beträgt 8,29°. Da der Winkel positiv ist, wird dieser von der horizontalen Kraft B_h ausgehend in einer Linksdrehung abtragen.

 

Beispiel 4: Lagerkraft ermitteln
Ausschnitt: Lagerkraft B abtragen

 

 

Damit sich der Balken im Gleichgewicht befindet, sich also infolge des angehängten Gewichts sowie der Last des Seils nicht in x- und y-Richtung bewegt bzw. in der x,y-Ebene rotiert, muss das Lager B eine Lagerkraft von B = 3.016,31 N aufnehmen und greift mit einem Winkel von 8,29° zur Horizontalen an. Das Lager A muss eine Lagerkraft von A = 22.578,2 N aufbringen und wirkt in Richtung der Kette.

 

wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns eine weitere klausurrelevante Aufgabe an, in welcher wir Lagerkräfte ermitteln und zusätzlich eine Kräftezerlegung durchführen.

 

Trainingsbereich

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

 

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Mehr für dich!

Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen
ET6 (Wechselstromtechnik 1) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

Onlinekurs - Technische MechanikOnlinekurs - Wechselstromtechnik 1

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs 
 ++ Günstiger geht’s nicht!! ++

 Oder direkt >> Mitglied  << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat 
++ Besser geht’s nicht!! ++

 

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram



Dein Technikermathe.de-Team

Uns gibts auch auf YouTube!

Undzwar mit aktuell über 400 Lernvideos und allen Aufzeichnungen von unseren Webinaren!

Lass uns ein Abo da!

Wenn dir unsere Videos gefallen! Damit hilfst du uns echt mega und es kostet dich keinen Cent!
Zum YouTube Kanal

Schon gewusst?

Aktuell bieten wir über 2500 Lerntexte in über 20 Kursen zu den verschiedensten Themen an! Als Technikermathe.de Mitglied hast du vollen Zugriff auf alle Lerninhalte!
0
    0
    Dein Warenkorb
    Dein Einkaufswagen ist leer.Zurück zum Shop