(Ph2-27) Prüfungsaufgabe 3: Lagerkräfte ermitteln

Inhaltsverzeichnis

In dieser dritten Prüfungsaufgabe wollen wir die Lagerkräfte ermitteln. Wir zeigen dir Schritt-für-Schritt, wie du Vorgehen musst. 

Prüfungsrelevant

 

Die nachfolgende Aufgabe war bereits eine Prüfungsaufgabe in der staatlichen Physikprüfung für Techniker.

 


Lagerkräfte ermitteln


Prüfungsaufgabe 3: Lagerkräfte ermitteln
Beispiel 3: Lagerkräfte ermitteln
Beispiel 3: Lagerkräfte ermitteln

 

Eine Tür mit einem Gewicht von 85 kg hängt in den Scharnieren A und B. Das Lager A ist ein Loslager und kann die Kraft nur in einer Richtung aufnehmen. Die Abstände in der oben gezeigten Skizze betragen l1 = 1,6 m und l2 = 0,8 m.

 

Hinweis: g = 9,81 m/s²

 

Berechne die Kräfte in den Lagern A und B und gebe ihre Richtung an!

 

Schritt 1: Freischnitt

Die Tür ist an der Wand befestigt. Hier müssen also auch die Auflagerkräfte liegen. Auflager A ist ein Loslager, demnach wird hier nur eine Kraft übertragen und zwar eine horizontale Kraft. Da in der Aufgabenstellung nur davon die Rede ist, dass Auflager A ein Loslager ist, muss Auflager B ist ein Festlager sein. Hier werden zwei Kräfte übertragen. Eine vertikale und eine horizontale Lagerkraft.

Außerdem weist die Tür ein Gewicht von m = 85 kg auf. Wir müssen zusätzlich die Gewichtskraft F_G der Tür berücksichtigen, die auch erst dazu führt, dass die Lager A und B Kräfte aufnehmen müssen. Die Gewichtskraft F_G wird berechnet zu:

 

F_G = m \cdot g = 85 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 833,85 N

 

Die Gewichtskraft zeigt immer vertikal nach unten und greift im Schwerpunkt des Körpers an. In diesem Fall ist die Tür ein Rechteck, der Schwerpunkt eines Rechtecks liegt in der Mitte (ist bereits eingezeichnet).

Beispiel 3: Freischnitt
Lagerkräfte ermitteln: Freischnitt

 

Schritt 2: Kräftezerlegung

Es sind keine Kräfte mit Winkel gegeben.

 

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

Wir wollen als nächstes mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Lagerkräfte ermitteln:

 

I. \sum F_x = 0          Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

 

II. \sum F_y = 0          Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

 

III. \sum M^{X} = 0          Momentengleichgewichtsbedingung

 

 

 

 

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung:

 

\sum F_x = 0:

 

I. A_h + B_h = 0

 

Wir haben innerhalb dieser Gleichgewichtsbedingung zwei unbekannte Kräfte gegeben. Wir können diese noch nicht berechnen.

 

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:

 

\sum F_y = 0:

 

II. B_v - F_G = 0

 

Wir können aus dieser Gleichgewichtsbedingung die Auflagerkraft B_y berechnen:

 

Aus II.)

 

B_v = F_G = 833,85 N

 

Momentengleichgewichtsbedingung:

Den Bezugspunkt für die Bestimmung der Momente legen wir dort hin, wo die meisten unbekannten Kräfte gegeben sind. Unbekannt sind A_h und B_h. Wir können nun also den Bezugspunkt in A oder B legen. Wir wählen beliebig B (organgener Punkt):

Beispiel 3: Bezugspunkt
Bezugspunkt

 

 

\sum M^B = 0:

 

III. -A_h \cdot l_1 - F_G \cdot l_2 = 0

 

Wir lösen nach A_h auf:

 

A_h \cdot l_1 = -F_G \cdot l_2

 

A_h = \frac{-F_G \cdot l_2}{l_1}

 

Einsetzen der Werte:

 

A_h =\frac{-833,85 N \cdot 0,8 m}{1,6 m} = 416,93 N

 

Als nächstes können wir B_h aus der Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung berechnen.

 

Aus I.)

 

A_h + B_h = 0

 

Einsetzen von A_h = 416,93 N:

 

416,93 N + B_h = 0

 

Auflösen nach B_h:

 

B_h = -416,93 N

 

Die Auflagerkraft B_h ist negativ und wirkt damit genau entgegengesetzt zur angenommenen Richtung. Wir haben diese horizontal nach rechts wirkend angenommen, tatsächlich wirkt sie horizontal nach links.

 

Wir können die beiden Auflagerkräfte B_h und B_v zu einer einzigen Kraft zusammenfassen. Da beide Kräfte in einem rechten Winkel zueinander liegen, können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

 

B = \sqrt{B_h^2 + B_v^2}

 

Einsetzen:

 

B = \sqrt{(-416,93 N)^2 + (833,85 N)^2} = 932,27 N

 

Wir können auch berechnen in welche Richtung die resultierende Lagerkraft B wirken muss, damit die Tür sich im Gleichgewicht befindet:

 

\tan(\gamma) = \frac{B_v}{B_h}             Winkel von B zu Bh

 

Die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens, anwenden:

 

\gamma= \tan^{-1}(\frac{B_v}{B_h})

 

Einsetzen:

 

\gamma= \tan^{-1}(\frac{833,85 N}{-416,93 N})

 

\gamma = -63,43^\circ

 

Der Winkel ist negativ und wird somit in einer Rechtsdrehung von B_h zu B abgelesen, bei Betrachtung der Kräfte in einem Koordinatensystem:

Beispiel 3: Koordinatensystem
Resultierende Lagerkraft

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