(Ph2-27) Prüfungsaufgabe 3: Lagerkräfte ermitteln

In dieser dritten Prüfungsaufgabe wollen wir die Lagerkräfte ermitteln. Wir zeigen dir Schritt-für-Schritt, wie du Vorgehen musst.

Die nachfolgende Aufgabe war bereits eine Prüfungsaufgabe in der staatlichen Physikprüfung für Techniker.

Lagerkräfte ermitteln

Prüfungsaufgabe 3: Lagerkräfte ermitteln

Eine Tür mit einem Gewicht von 85 kg hängt in den Scharnieren A und B. Das Lager A ist ein Loslager und kann die Kraft nur in einer Richtung aufnehmen. Die Abstände in der oben gezeigten Skizze betragen l₁ = 1,6 m und l₂= 0,8 m.

Hinweis: g = 9,81 m/s²

Lagerkräfte ermitteln: Berechne die Kräfte in den Lagern A und B und gebe ihre Richtung an!

Schritt 1: Freischnitt

Die Tür ist an der Wand befestigt. Hier müssen also auch die Auflagerkräfte liegen. Auflager A ist ein Loslager, demnach wird hier nur eine Kraft übertragen und zwar eine horizontale Kraft. Da in der Aufgabenstellung nur davon die Rede ist, dass Auflager A ein Loslager ist, muss Auflager B ist ein Festlager sein. Hier werden zwei Kräfte übertragen. Eine vertikale und eine horizontale Lagerkraft.

Außerdem weist die Tür ein Gewicht von m = 85 kg auf. Wir müssen zusätzlich die Gewichtskraft $F_G$ der Tür berücksichtigen, die auch erst dazu führt, dass die Lager A und B Kräfte aufnehmen müssen. Die Gewichtskraft $F_G$ wird berechnet zu:

$F_G = m \cdot g = 85 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 833,85 N$

Die Gewichtskraft zeigt immer vertikal nach unten und greift im Schwerpunkt des Körpers an. In diesem Fall ist die Tür ein Rechteck, der Schwerpunkt eines Rechtecks liegt in der Mitte (ist bereits eingezeichnet).

Beispiel 3: Freischnitt — Lagerkräfte ermitteln: Freischnitt

Schritt 2: Kräftezerlegung

Es sind keine Kräfte mit Winkel gegeben.

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

Wir wollen als nächstes mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Lagerkräfte ermitteln:

I. $\sum F_x = 0$ Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

II. $\sum F_y = 0$ Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

III. $\sum M^{X} = 0$ Momentengleichgewichtsbedingung

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung:

$\sum F_x = 0$ :

I. $A_h + B_h = 0$

Wir haben innerhalb dieser Gleichgewichtsbedingung zwei unbekannte Kräfte gegeben. Wir können diese noch nicht berechnen.

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:

$\sum F_y = 0$ :

II. $B_v - F_G = 0$

Wir können aus dieser Gleichgewichtsbedingung die Auflagerkraft $B_y$ berechnen:

Aus II.)

$B_v = F_G = 833,85 N$

Momentengleichgewichtsbedingung:

Den Bezugspunkt für die Bestimmung der Momente legen wir dort hin, wo die meisten unbekannten Kräfte gegeben sind. Unbekannt sind $A_h$ und $B_h$ . Wir können nun also den Bezugspunkt in $A$ oder $B$ legen. Wir wählen beliebig $B$ (organgener Punkt):

Beispiel 3: Bezugspunkt — Lagerkräfte ermitteln – Bezugspunkt

$\sum M^B = 0$ :

III. $-A_h \cdot l_1 - F_G \cdot l_2 = 0$

Wir lösen nach $A_h$ auf:

$A_h \cdot l_1 = -F_G \cdot l_2$

$A_h = \frac{-F_G \cdot l_2}{l_1}$

Einsetzen der Werte:

$A_h =\frac{-833,85 N \cdot 0,8 m}{1,6 m} = 416,93 N$

Als nächstes können wir $B_h$ aus der Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung berechnen.

Aus I.)

$A_h + B_h = 0$

Einsetzen von $A_h = 416,93 N$ :

$416,93 N + B_h = 0$

Auflösen nach $B_h$ :

$B_h = -416,93 N$

Die Auflagerkraft $B_h$ ist negativ und wirkt damit genau entgegengesetzt zur angenommenen Richtung. Wir haben diese horizontal nach rechts wirkend angenommen, tatsächlich wirkt sie horizontal nach links.

Wir können die beiden Auflagerkräfte $B_h$ und $B_v$ zu einer einzigen Kraft zusammenfassen. Da beide Kräfte in einem rechten Winkel zueinander liegen, können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

$B = \sqrt{B_h^2 + B_v^2}$

Einsetzen:

$B = \sqrt{(-416,93 N)^2 + (833,85 N)^2} = 932,27 N$

Wir können auch berechnen in welche Richtung die resultierende Lagerkraft B wirken muss, damit die Tür sich im Gleichgewicht befindet:

$\tan(\gamma) = \frac{B_v}{B_h}$ Winkel von B zu Bh

Die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens, anwenden:

$\gamma= \tan^{-1}(\frac{B_v}{B_h})$

Einsetzen:

$\gamma= \tan^{-1}(\frac{833,85 N}{-416,93 N})$

$\gamma = -63,43^\circ$

Der Winkel ist negativ und wird somit in einer Rechtsdrehung von $B_h$ zu $B$ abgelesen, bei Betrachtung der Kräfte in einem Koordinatensystem:

Beispiel 3: Koordinatensystem — Lagerkräfte ermitteln – Resultierende Lagerkraft

Was gibt es noch bei uns?

Finde die richtige Schule für dich!

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Interaktive Übungsaufgaben

Trainingsbereich

Quizfrage 1

Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?

Auszüge aus unserem Kursangebot

Hat dir dieses Thema – Lagerkräfte ermitteln – gefallen? – Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen

ENT3 (Energetische Berechnungen) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an.

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs
++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat
++ Besser geht’s nicht!! ++