(Ph2-17) Aufgaben: Resultierende aus mehreren Kräften

Inhaltsverzeichnis

Wir zeigen dir in dieser Lerneinheit Aufgaben zur Resultierenden, wie du die Resultierende aus mehreren Kräfte in einem zentralen Kräftesystem bestimmst.

 

Prüfungsrelevant

 

Diese Aufgaben sind für dich prüfungsrelevant, da die Berechnung der Resultierenden bereits häufiger innerhalb der Physik-Prüfung dran gekommen ist. Deswegen solltest du die Aufgaben in jedem Fall beherrschen. Berechne dafür die Aufgaben solange, bis du ohne Lösung zum gewünschten Ergebnis kommst.

 


Aufgaben zur Resultierenden aus mehreren Kräften


Wir schauen uns im nachfolgenden einige Aufgaben zur Berechnung der Resultierenden aus mehreren Kräften an.

In den ersten beiden Aufgaben lernst du erstmal die Teilresultierenden zu berechnen, um dann in den folgenden beiden Aufgaben aus den Teilresultierenden den Betrag und die Richtung der Resultierenden zu bestimmen. In der letzten Aufgabe führst du dann die komplette Berechnung durch, so wie es auch in der Prüfung gefordert wurde.

 


Beispiel 1 : Teilresultierende


Aufgaben zur Resultierenden
Aufgaben zur Resultierenden

 

Aufgabenstellung
Gegeben seien die obigen drei Kräfte:

 

F_1 = 100 N F_2 = 80 N F_3 = 35 N

 

Bestimme die Teilresultierenden R_x und R_y!

 

Lösung

1.Schritt: Winkel zur positiven x-Achse bestimmen

 

\alpha_1 = 0^\circ

 

\alpha_2 = 30^\circ

 

\alpha_3 = 130^\circ

 

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

 

F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N

 

F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N

 

F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N

 

In y-Richtung mittels Sinus:

 

F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N

 

F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N

 

F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N

 

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen

Die Teilresultierenden bestimmst du, indem du die obigen Komponenten summierst. Für die Teilresultierende in x-Richtung summierst du die Komponenten in x-Richtung, für die Teilresultierende in y-Richtung summierst du die Komponenten in y-Richtung. Achte dabei auf die Vorzeichen!

 

R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = \mathbf{146,78 N}

 

R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = \mathbf{66,81 N}

 

 


Beispiel 2: Teilresultierenden


Aufgaben zur Resultierenden
Aufgaben zur Resultierenden

 

Aufgabenstellung

Gegeben seien die obigen drei Kräfte F_1 = 80 N, F_2 = 150 N und F_3 = 100 N.

Bestimme die Teilresultierenden R_x und R_y!

 

Lösung

1.Schritt: Die Winkel zur positiven x-Achse

 

\alpha_1 = 90^\circ

 

\alpha_2 = 250^\circ

 

\alpha_3 = 320^\circ

 

2. Schritt: Komponenten mittels Kosinus und Sinus berechnen

Rx mit Kosinus und Winkel zur positiven x-Achse:

 

F_{x1} = F_1 \cdot \cos(90^\circ) = 80 N \cdot \cos(90^\circ) = 0 N

 

F_{x2} = F_2 \cdot \cos(250^\circ) = 150 N \cdot \cos(250^\circ) = -51,30 N

 

F_{x3} = F_3 \cdot \cos(320^\circ) = 100 N \cdot \cos(320^\circ) = 76,60 N

 

Ry mit Sinus und Winkel zur positiven x-Achse:

 

F_{y1} = F_1 \cdot \sin(90^circ) = 80 N \cdot \sin(90^\circ) = 80 N

 

F_{y2} = F_2 \cdot \sin(250^\circ) = 150 N \cdot \sin(250^circ) = -140,95 N

 

F_{y3} = F_3 \cdot \sin(320^\circ) = 100 N \cdot \sin(320^\circ) = -64,28 N

 

3. Schritt: Berechnung der Teilresultierenden

Summation der Komponenten in x-Richtung (Vorzeichen beachten):

 

R_x = 0 N - 51,30 N + 76,60 N = \mathbf{25,30 N}

 

Summation der Komponenten in y-Richtung (Vorzeichen beachten):

 

R_y = 80 N - 140,95 N - 64,28 N = \mathbf{-125,23 N}

 

Lösung 2 - Teilresultierende
Aufgaben zur Resultierenden: Teilresultierende Rx und Ry

 


Beispiel 3 : Betrag der Resultierenden


Berechnung der Resultierenden
Aufgaben zur Resultierenden

 

Aufgabenstellung

Zu welcher der beiden Grafiken gehört die Resultierende mit einem Betrag von 50 N?

 

Lösung

Die Resultierenden kann aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras berechnet werden:

 

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N

 

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(30 N)^2 + (20 N)^2} = 36,06 N

 

Die Resultierende gehört zu der Grafik 1).

 


Beispiel 4 : Richtung der Resultierenden


Richtung der Resultierenden
Aufgaben zur Resultierenden

 

Aufgabenstellung

Berechne aus den beiden gegebenen Teilresultierenden den Betrag F_R und die Richtung \alpha_{FR} der Resultierenden zur positiven x-Achse!

 

Lösung

Richtung der Resultierenden

 

Den Betrag der Resultierenden berechnen wir aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras:

 

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N

 

Für die Richtung der Resultierenden berechnen wir immer zunächst den Winkel von der Resultierenden zur Teilresultierenden Rx mittels Tangens:

 

\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}

 

Auflösen nach dem Winkel \gamma mittels Arkustangens (\tan^{-1}):

 

\gamma = \tan^{-1} (\frac{R_y}{R_x})

 

\gamma = \tan^{-1} (\frac{30 N}{40 N})

 

\gamma = 36,87^\circ

 

Der Winkel von der Resultierenden F_R zur Teilresultierenden R_x ist gleich dem Winkel zur positiven x-Achse:

 

\alpha_{F_R} = \gamma = 36,87^\circ

 

Grund dafür ist, dass die Resultierende im 1. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Der Winkel zu Rist damit der Winkel zur positiven x-Achse.

 


Beispiel 5 : Resultierende aus mehreren Kräften


Aufgabenstellung
Aufgaben zur Resultierenden
Aufgaben zur Resultierenden

 

Gegeben seien die obigen drei Kräfte: F_1 = 100 N F_2 = 80 N F_3 = 35 N

Bestimme den Betrag und die Richtung der Resultierende F_R!

 

Lösung

In dieser Aufgabe sollst du den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus den gegeben drei Kräfte berechnen. Dazu kannst du dich an den folgenden Schritten orientieren:

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften bestimmen

2. Schritt: Kräfte in x-Komponente mittels Kosinus und y-Komponente mittels Sinus zerlegen

3. Schritt: Teilresultierende R_x und R_y berechnen (Summation der Komponenten, Vorzeichen beachten)

4. Schritt: Betrag der Resultierende aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras bestimmen

5. Schritt: Richtung der Resultierenden (=Winkel) aus den Teilresultierenden mittels Tangens bestimmen.

 

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften

 

\alpha_1 = 0^\circ

 

\alpha_2 = 30^\circ

 

\alpha_3 = 130^\circ

 

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

 

F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N

 

F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N

 

F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N

 

In y-Richtung mittels Sinus:

 

F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N

 

F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N

 

F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N

 

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen (Summen bilden)

 

R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = \mathbf{146,78 N}

 

R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = \mathbf{66,81 N}

 

Da beide Teilresultierenden positiv sind, zeigen diese in positive Achsenrichtung. Die Resultierende liegt also im 1. Quadranten.

 

4. Schritt: Betrag der Resultierende bestimmen (Satz des Pythagoras)

 

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(146,78N)^2 + (66,81 N)^2} = 161,27 N  

 

5.Schritt: Richtung der Resultierenden bestimmen (Tangens)

 

\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}

 

Auflösen nach \gamma:

 

\gamma = tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x})                 Winkel von R_x zu F_R

 

Einsetzen:

\gamma = \tan^{-1}(\frac{66,81 N}{146,78 N}) = 24,47^\circ

 

Da die Resultierende F_R im 1. Quadranten liegt, ist dies auch gleichzeitig der Winkel zur positiven x-Achse.

 

Trainingsbereich

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

Mehr für dich!
Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zum Kurs PH1 und PH2 an: https://technikermathe.de/courses/ph1-grundlagen-der-physik
sowie: https://technikermathe.de/courses/ph2-grundlagen-der-statik

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei: https://www.youtube.com/channel/UCCsPZX5is8mRcoZG8uAS_ZQ

 Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf Instagram: https://www.instagram.com/technikmachts/

Dein Technikermathe.de-Team

Uns gibts auch auf YouTube!

Undzwar mit aktuell über 400 Lernvideos und allen Aufzeichnungen von unseren Webinaren!

Lass uns ein Abo da!

Wenn dir unsere Videos gefallen! Damit hilfst du uns echt mega und es kostet dich keinen Cent!
Zum YouTube Kanal

Schon gewusst?

Aktuell bieten wir über 2500 Lerntexte in über 20 Kursen zu den verschiedensten Themen an! Als Technikermathe.de Mitglied hast du vollen Zugriff auf alle Lerninhalte!
0
    0
    Dein Warenkorb
    Dein Einkaufswagen ist leer.Zurück zum Shop