(Ph2-17) Aufgaben: Resultierende aus mehreren Kräften

Wir zeigen dir in dieser Lerneinheit Aufgaben zur Resultierenden, wie du die Resultierende aus mehreren Kräfte in einem zentralen Kräftesystem bestimmst.

Diese Aufgaben sind für dich prüfungsrelevant, da die Berechnung der Resultierenden bereits häufiger innerhalb der Physik-Prüfung dran gekommen ist. Deswegen solltest du die Aufgaben in jedem Fall beherrschen. Berechne dafür die Aufgaben solange, bis du ohne Lösung zum gewünschten Ergebnis kommst.

Aufgaben zur Resultierenden aus mehreren Kräften

Wir schauen uns im nachfolgenden einige Aufgaben zur Berechnung der Resultierenden aus mehreren Kräften an.

In den ersten beiden Aufgaben lernst du erstmal die Teilresultierenden zu berechnen, um dann in den folgenden beiden Aufgaben aus den Teilresultierenden den Betrag und die Richtung der Resultierenden zu bestimmen. In der letzten Aufgabe führst du dann die komplette Berechnung durch, so wie es auch in der Prüfung gefordert wurde.

Beispiel 1 : Teilresultierende

Aufgabenstellung

Gegeben seien die obigen drei Kräfte:

$F_1 = 100 N$ $F_2 = 80 N$ $F_3 = 35 N$

Bestimme die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ !

Lösung

1.Schritt: Winkel zur positiven x-Achse bestimmen

$\alpha_1 = 0^\circ$

$\alpha_2 = 30^\circ$

$\alpha_3 = 130^\circ$

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

$F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N$

$F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N$

$F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N$

In y-Richtung mittels Sinus:

$F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N$

$F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N$

$F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N$

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen

Die Teilresultierenden bestimmst du, indem du die obigen Komponenten summierst. Für die Teilresultierende in x-Richtung summierst du die Komponenten in x-Richtung, für die Teilresultierende in y-Richtung summierst du die Komponenten in y-Richtung. Achte dabei auf die Vorzeichen!

$R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = \mathbf{146,78 N}$

$R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = \mathbf{66,81 N}$

Beispiel 2: Teilresultierenden

Aufgabenstellung

Gegeben seien die obigen drei Kräfte $F_1 = 80 N$ , $F_2 = 150 N$ und $F_3 = 100 N$ .

Bestimme die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ !

Lösung

1.Schritt: Die Winkel zur positiven x-Achse

$\alpha_1 = 90^\circ$

$\alpha_2 = 250^\circ$

$\alpha_3 = 320^\circ$

2. Schritt: Komponenten mittels Kosinus und Sinus berechnen

R_x mit Kosinus und Winkel zur positiven x-Achse:

$F_{x1} = F_1 \cdot \cos(90^\circ) = 80 N \cdot \cos(90^\circ) = 0 N$

$F_{x2} = F_2 \cdot \cos(250^\circ) = 150 N \cdot \cos(250^\circ) = -51,30 N$

$F_{x3} = F_3 \cdot \cos(320^\circ) = 100 N \cdot \cos(320^\circ) = 76,60 N$

Ry mit Sinus und Winkel zur positiven x-Achse:

$F_{y1} = F_1 \cdot \sin(90^circ) = 80 N \cdot \sin(90^\circ) = 80 N$

$F_{y2} = F_2 \cdot \sin(250^\circ) = 150 N \cdot \sin(250^circ) = -140,95 N$

$F_{y3} = F_3 \cdot \sin(320^\circ) = 100 N \cdot \sin(320^\circ) = -64,28 N$

3. Schritt: Berechnung der Teilresultierenden

Summation der Komponenten in x-Richtung (Vorzeichen beachten):

$R_x = 0 N - 51,30 N + 76,60 N = \mathbf{25,30 N}$

Summation der Komponenten in y-Richtung (Vorzeichen beachten):

$R_y = 80 N - 140,95 N - 64,28 N = \mathbf{-125,23 N}$

Lösung 2 - Teilresultierende — Aufgaben zur Resultierenden: Teilresultierende R_x und R_y

Beispiel 3 : Betrag der Resultierenden

Berechnung der Resultierenden — Aufgaben zur Resultierenden

Aufgabenstellung

Zu welcher der beiden Grafiken gehört die Resultierende mit einem Betrag von 50 N?

Lösung

Die Resultierenden kann aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras berechnet werden:

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N$

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(30 N)^2 + (20 N)^2} = 36,06 N$

Die Resultierende gehört zu der Grafik 1).

Beispiel 4 : Richtung der Resultierenden

Aufgabenstellung

Berechne aus den beiden gegebenen Teilresultierenden den Betrag $F_R$ und die Richtung $\alpha_{FR}$ der Resultierenden zur positiven x-Achse!

Lösung

Den Betrag der Resultierenden berechnen wir aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras:

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N$

Für die Richtung der Resultierenden berechnen wir immer zunächst den Winkel von der Resultierenden zur Teilresultierenden R_x mittels Tangens:

$\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}$

Auflösen nach dem Winkel $\gamma$ mittels Arkustangens ( $\tan^{-1}$ ):

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{R_y}{R_x})$

$\gamma = \tan^{-1} (\frac{30 N}{40 N})$

$\gamma = 36,87^\circ$

Der Winkel von der Resultierenden $F_R$ zur Teilresultierenden $R_x$ ist gleich dem Winkel zur positiven x-Achse:

$\alpha_{F_R} = \gamma = 36,87^\circ$

Grund dafür ist, dass die Resultierende im 1. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Der Winkel zu R_xist damit der Winkel zur positiven x-Achse.

Beispiel 5 : Resultierende aus mehreren Kräften

Aufgabenstellung

Gegeben seien die obigen drei Kräfte: $F_1 = 100 N$ $F_2 = 80 N$ $F_3 = 35 N$

Bestimme den Betrag und die Richtung der Resultierende $F_R$ !

Lösung

In dieser Aufgabe sollst du den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus den gegeben drei Kräfte berechnen. Dazu kannst du dich an den folgenden Schritten orientieren:

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften bestimmen

2. Schritt: Kräfte in x-Komponente mittels Kosinus und y-Komponente mittels Sinus zerlegen

3. Schritt: Teilresultierende $R_x$ und $R_y$ berechnen (Summation der Komponenten, Vorzeichen beachten)

4. Schritt: Betrag der Resultierende aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras bestimmen

5. Schritt: Richtung der Resultierenden (=Winkel) aus den Teilresultierenden mittels Tangens bestimmen.

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften

$\alpha_1 = 0^\circ$

$\alpha_2 = 30^\circ$

$\alpha_3 = 130^\circ$

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

$F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N$

$F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N$

$F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N$

In y-Richtung mittels Sinus:

$F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N$

$F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N$

$F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N$

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen (Summen bilden)

$R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = \mathbf{146,78 N}$

$R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = \mathbf{66,81 N}$

Da beide Teilresultierenden positiv sind, zeigen diese in positive Achsenrichtung. Die Resultierende liegt also im 1. Quadranten.

4. Schritt: Betrag der Resultierende bestimmen (Satz des Pythagoras)

$F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(146,78N)^2 + (66,81 N)^2} = 161,27 N$

5.Schritt: Richtung der Resultierenden bestimmen (Tangens)

$\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}$

Auflösen nach $\gamma$ :

$\gamma = tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x})$ Winkel von $R_x$ zu $F_R$

Einsetzen:

$\gamma = \tan^{-1}(\frac{66,81 N}{146,78 N}) = 24,47^\circ$

Da die Resultierende $F_R$ im 1. Quadranten liegt, ist dies auch gleichzeitig der Winkel zur positiven x-Achse.

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