(Ph2-16) Resultierende aus mehreren Kräften [Grundlagen, Beispiele, Formeln, Videos]

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Resultierende aus mehreren Kräften berechnet wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Statik findest du im Kurs: PH2-Statik

Merk’s dir!

Prüfungsrelevant

In dieser Lerneinheit betrachten wir mehrere Kräfte und wollen diese zu einer einzigen Kraft – der Resultierenden – zusammenfassen. Wir benötigen bei Kräften mit einem gemeinsamen Angriffspunkt immer den Betrag (die Größe) und die Richtung (den Winkel) der Resultierenden.

Den Angriffspunkt der Resultierenden müssen wir nicht berechnen, da dieser im gemeinsamen Angriffspunkt der gegebenen Kräfte liegt. Damit du die Berechnung richtig durchführst und innerhalb der Prüfung nicht groß nachdenken musst, merk dir die folgende Vorgehensweise.

Vorgehensweise: Resultierende aus mehreren Kräften

1.Schritt: Den Winkel $\alpha$ von der positiven x-Achse zu jeder Kraft berechnen.

2.Schritt: Alle Kräfte müssen mittels Kosinus und Sinus in ihre x- und y-Komponenten zerlegt werden (Kräftezerlegung durchführen).

$\boxed{F_x = F \cdot \cos(\alpha)}$ $\boxed{F_y = F \cdot \sin(\alpha)}$

3. Schritt: Alle Komponenten in x-Richtung werden zu einer Teilresultierenden $R_x$ zusammengefasst, indem diese miteinander summiert werden. Alle Komponenten in y-Richtung werden zu einer Teilresultierenden $R_y$ zusammengefasst, indem diese miteinander summiert werden. (Vorzeichen beachten!)

4. Schritt: Der Betrag der Resultierenden kann mittels Satz des Pythagoras aus den Teilresultierenden berechnet werden, da $R_x$ und $R_y$ senkrecht zueinander stehen.

$\boxed{F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}}$

5. Schritt: Um die Richtung der Resultierenden zu bestimmen, berechnest du den Winkel $\gamma$ von der Teilresultierenden $R_x$ zur Resultierenden $F_R$ unter Verwendung des Tangens:

$\boxed{\tan(\gamma) = \dfrac{R_y}{R_x}}$ Winkel von $R_x$ zu $F_R$

📺 Lernclips: Resultierenden bei mehreren Kräften

In den folgenden beiden Videos zeige ich dir, wie du die obigen Schritte durchführst, um die Resultierende aus zwei Kräften zu bestimmen.

Lernclip

Resultierende aus mehreren Kräften

Beispiel: Resultierende bestimmen

Mittels der obigen Schritte können wir uns nun das nachfolgende Beispiel mal anschauen.

Beispiel!

Gegeben sei das obige x,y-Koordinatensystem mit den 5 Kräften $F_1 = 20 N$ , $F_2 = 45 N$ , $F_3 = 70 N$ , $F_4 = 80 N$ und $F_5 = 38 N$ .

Berechne den Betrag und die Richtung der Resultierenden!

1.Schritt: Winkel zur positiven x-Achse

Zunächst müssen wir für jede gegebene Kraft den Winkel $\alpha$ von der positiven x-Achse zur Kraft berechnen.

Zur Kraft $F_1$ ist kein Winkel gegeben, da diese auf der x-Achse liegt.
Der Winkel von der positiven x-Achse zur Kraft $F_2$ beträgt 60° gegeben (90° – 30°).
Von der positiven x-Achse zur Kraft $F_3$ ergibt sich ein Winkel von 180° – 20° = 160°.
Zur Kraft $F_4$ ist ein Winkel von 170° gegeben.
Und von der positiven x-Achse zur Kraft $F_5$ ist ein Winkel von 315° gegeben.

2.Schritt: Komponenten berechnen

Wir berechnen als nächstes für jede Kraft die x-Komponente $F_x$ . Diese wird mittels Kosinus (cos) berechnet, wenn der Winkel von der x-Achse zur Kraft betrachtet wird.

$\boxed{F_x = F \cdot \cos(\alpha)}$

Gegeben sind:

$F_1 = 20 N$ , $F_2 = 45 N$ , $F_3 = 70 N$ , $F_4 = 80 N$ und $F_5 = 38 N$ .

Wir berechnen als nächstes die x-Komponenten mittels Kosinus:

$F_{x1} = 20 N \cdot \cos(0^\circ) = 20 N$

$F_{x2} = 45 N \cdot \cos(60^\circ) = 22,5 N$

$F_{x3} = 70 N \cdot \cos(160^\circ) = -65,78 N$ (zeigt in negative x-Richtung)

$F_{x4} = 80 N \cdot \cos(270^\circ) = 0 N$

$F_{x5} = 38 N \cdot \cos(315^\circ) = 26,87N$

Ein negativer Wert sagt aus, dass die Komponente in negative x-Richtung zeigt.

Wir haben alle Komponenten in x-Richtung berechnet. Die Komponenten in y-Richtung werden mittels Sinus berechnet. Auch hier muss der Winkel von der x-Achse zur Kraft betrachtet werden:

$\boxed{F_y = F \cdot \sin(\alpha)}$

Wir wenden die Gleichung auf die gegebenen Kräfte an:

$F_{y1} = 20 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N$

$F_{y2} = 45 N \cdot \sin(60^\circ) = 38,97 N$

$F_{y3} = 70 N \cdot \sin(160^\circ) = 23,94 N$

$F_{y4} = 80 N \cdot \sin(270^\circ) = -80 N$ (zeigt in negative y-Richtung)

$F_{y5} = 38 N \cdot \sin(315^\circ) = -26,87N$ (zeigt in negative y-Richtung)

3.Schritt: Teilresultierende berechnen

Der nächste Schritt ist nichts anderes, als die Zusammenfassung aller x-Komponenten zu einer Kraft, der Teilresultierenden $R_x$ sowie die Zusammenfassung aller y-Komponenten zu einer Kraft, der Teilresultierenden $R_y$ . Zur Berechnung der Teilresultierenden $R_x$ können wir alle x-Komponenten aufsummieren.

Das ist deswegen möglich, weil die x-Komponenten aller auf der x-Achse liegen und damit dieselbe Wirkungslinie aufweisen.

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} + F_{5x}$

Merk’s dir!

Wichtig: Vorzeichen nicht vergessen!

Einsetzen der Werte:

$R_x = 20 N + 22,5 N - 65,78 N + 0 N + 26,87N = \mathbf{3,59 N}$

Danach betrachten wir die Teilresultierende $R_y$ . Hierfür summieren wir alle y-Komponenten miteinander, unter Berücksichtigung des Vorzeichens:

$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} + F_{5y}$

Einsetzen der Werte:

$R_y = 0 N + 38,97 N + 23,94 N - 80 N - 26,87N = \mathbf{-34,96 N}$

Wir haben die Teilresultierenden berechnet. Die Teilresultierende $R_x$ ist positiv und zeigt damit in positive x-Richtung. Die Teilresultierende $R_y$ ist negativ und zeigt somit in negative y-Richtung:

In der obigen Grafik sind die beiden Teilresultierenden eingezeichnet. $R_x$ ist positiv und zeigt somit in positive x-Richtung, $R_y$ ist negativ und zeigt in negative y-Richtung. Die Resultierende $F_R$ liegt somit im 4. Quadranten. Als nächstes bestimmen wir den Betrag und die Richtung der Resultierenden.

4.Schritt: Betrag der Resultierenden bestimmen

Du kannst den Betrag der Resultierenden $F_R$ aus den Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ berechnen. Dazu müssen die beiden Teilresultierenden zur Resultierenden zusammengefasst werden. Da es sich hierbei um zwei Kräfte in einem rechten Winkel zueinander handelt, wird der Satz des Pythagoras angewendet:

$\boxed{F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}}$

Einsetzen:

$F_R = \sqrt{(3,59 N)^2 + (-34,96 N)^2} = 35,14 N$

Merk’s dir!

Wichtig: Das Minuszeichen wird mit quadriert, so dass ein positiver Wert resultiert!

Die Resultierende $F_R$ weist einen Betrag von 35,14 N auf.

5.Schritt: Richtung der Resultierenden bestimmen

Wir kennen den Betrag der Resultierenden und wissen, dass diese im 4. Quadranten des Koordinatensystems liegen muss. In welche Richtung genau die Resultierende zeigen muss, das wollen wir als nächstes berechnen.

Zunächst berechnen wir den Winkel $\gamma$ von Teilresultierenden $R_x$ zur Resultierenden $F_R$ mittels Tangens:

$\boxed{\tan(\gamma) = \dfrac{R_y}{R_x}}$

Auflösen nach dem Winkel $\gamma$ :

$\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{R_y}{R_x})$

Einsetzen der Werte:

$\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{-34,96 N}{3,59 N})$ $\gamma = -84,14^\circ$

Das negative Vorzeichen zeigt auf, dass wir hier den Winkel von der x-Achse zur Resultierenden im Uhrzeigersinn (in einer Rechtsdrehung) abtragen müssen. Der Winkel selber wird dann aber ohne Vorzeichen angegeben:

Wir haben alle Kräfte zu einer einzigen Kraft – der Resultierenden – zusammengefasst. Die Resultierende hat dieselbe Wirkung wie alle Kräfte zusammen. Die Resultierende ersetzt somit alle anderen Kräfte.

Häufig wird der Winkel von der Resultierenden $F_R$ zur positiven x-Achse gesucht. Ist dies der Fall, so musst du noch zusätzlich eine kleine Berechnung durchführen. Im obigen Fall beträgt der Winkel zur positiven x-Achse:

$360^\circ - 84,14^\circ = 275,86^\circ$

Hierbei handelt es sich im einen positiven Winkel, da die Abtragung von der x-Achse zur Resultierenden gegen den Uhrzeigersinn (in einer Linksdrehung) erfolgt.

Merk’s dir!

Ist dein Ergebnis ein positiver Winkel, so erfolgt die Abtragung des Winkels gegen den Uhrzeigersinn. Resultiert ein negativer Winkel, so erfolgt die Abtragung des Winkels mit dem Uhrzeigersinn.

📺 Lernclip: Resultierende aus Pythagoras und Tangens

In diesem Video zeige ich dir, warum du den Betrag der Resultierenden mittels Satz des Pythagoras und die Richtung mittels Tangens bestimmen kannst.

Lernclip

Resultierenden aus Pythagoras und Tangens

Resultierende aus mehreren Kräften – Beispiele im Alltag

In Alltagssituationen können viele Kräfte gleichzeitig auf einen Körper wirken, was zur Entstehung einer resultierenden Kraft führt.

Beispiele!

Hier sind einige Beispiele für resultierende Kräfte aus mehreren Kräften im Alltag:

Auto auf einer Kurve: Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, wirken mehrere Kräfte auf das Fahrzeug, darunter die Zentripetalkraft, die die Richtung des Autos zur Kurve hinzieht, und die Reibungskraft zwischen den Reifen und der Fahrbahn, die die Geschwindigkeit des Autos kontrolliert. Die resultierende Kraft ist die kombinierte Wirkung dieser Kräfte, die das Auto auf der Kurvenbahn hält.
Brückenkonstruktion: Bei der Konstruktion einer Brücke wirken mehrere Kräfte auf die Tragstruktur, wie z. B. das Gewicht des Brückendecks, die Verkehrslasten und die Windkräfte. Die resultierende Kraft berücksichtigt die kombinierte Wirkung all dieser Kräfte und muss von der Brücke getragen werden, um ihre Stabilität zu gewährleisten.
Zugfahrt: In einem Zug wirken verschiedene Kräfte, wie die Antriebskraft der Lokomotive, der Widerstand der Luft, die Reibungskräfte an den Schienen und die Gravitationskraft. Die resultierende Kraft aus all diesen Kräften ermöglicht es dem Zug, sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit fortzubewegen und Hindernisse zu überwinden.
Flugzeug im Flug: Ein Flugzeug ist den Kräften der Schwerkraft, des Auftriebs, des Widerstands und des Schubs ausgesetzt. Der Auftrieb wird durch die Form der Tragflächen erzeugt, der Schub kommt von den Triebwerken und die Schwerkraft wirkt nach unten. Die resultierende Kraft ermöglicht dem Flugzeug, in der Luft zu bleiben und die gewünschte Flugrichtung beizubehalten.
Schiffsmanöver: Bei einem Schiffsmanöver wirken verschiedene Kräfte wie die Antriebskraft der Motoren, der Wasserwiderstand, die Strömungskräfte und die Ruderkräfte auf das Schiff. Die resultierende Kraft aus diesen Kräften ermöglicht es dem Schiff, seine Geschwindigkeit und Richtung zu kontrollieren.

Diese Beispiele zeigen, wie mehrere Kräfte in Alltagssituationen auf einen Körper wirken und eine resultierende Kraft erzeugen, die die Bewegung oder Stabilität des Körpers beeinflusst.

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit zeigen wir dir einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung der Resultierenden aus mehreren Kräften.

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Quizfrage 1

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