(Ph2-16) Resultierende aus mehreren Kräften

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Resultierende aus mehreren Kräften berechnet wird.  

 

Prüfungsrelevant 

 

In dieser Lerneinheit betrachten wir mehrere Kräfte und wollen diese zu einer einzigen Kraft – der Resultierenden – zusammenfassen. Wir benötigen bei Kräften mit einem gemeinsamen Angriffspunkt immer den Betrag (die Größe) und die Richtung (den Winkel) der Resultierenden.

Den Angriffspunkt der Resultierenden müssen wir nicht berechnen, da dieser im gemeinsamen Angriffspunkt der gegebenen Kräfte liegt.   Damit du die Berechnung richtig durchführst und innerhalb der Prüfung nicht groß nachdenken musst, merk dir die folgende Vorgehensweise.  

 


Vorgehensweise: Resultierende aus mehreren Kräften


1.Schritt: Den Winkel \alpha von der positiven x-Achse zu jeder Kraft berechnen.

 

2.Schritt: Alle Kräfte müssen mittels Kosinus und Sinus in ihre x- und y-Komponenten zerlegt werden (Kräftezerlegung durchführen).  

 

 \boxed{F_x = F \cdot \cos(\alpha)}  \boxed{F_y = F \cdot \sin(\alpha)}  

 

3. Schritt: Alle Komponenten in x-Richtung werden zu einer Teilresultierenden R_x zusammengefasst, indem diese miteinander summiert werden. Alle Komponenten in y-Richtung werden zu einer Teilresultierenden R_y zusammengefasst, indem diese miteinander summiert werden. (Vorzeichen beachten!)  

 

4. Schritt: Der Betrag der Resultierenden kann mittels Satz des Pythagoras aus den Teilresultierenden berechnet werden, da R_x und R_y senkrecht zueinander stehen.  

 

 \boxed{F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}}  

 

5. Schritt: Um die Richtung der Resultierenden zu bestimmen, berechnest du den Winkel \gamma von der Teilresultierenden R_x zur Resultierenden F_R unter Verwendung des Tangens:  

 

 \boxed{\tan(\gamma) = \dfrac{R_y}{R_x}}          Winkel von R_x zu F_R  

 

Videos: Resultierenden bei mehreren Kräften

 In den folgenden beiden Videos zeige ich dir, wie du die obigen Schritte durchführst, um die Resultierende aus zwei Kräften zu bestimmen.


Lernclip
Resultierende aus mehreren Kräften

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Mittels der obigen Schritte können wir uns nun das nachfolgende Beispiel mal anschauen.  


Beispiel: Resultierende bestimmen


undefiniert
Service-Titel

Resultierende aus mehreren Kräften  

Gegeben sei das obige x,y-Koordinatensystem mit den 5 Kräften F_1 = 20 N, F_2 = 45 N, F_3 = 70 N, F_4 = 80 N und F_5 = 38 N.  

 

Berechne den Betrag und die Richtung der Resultierenden!

 


1.Schritt: Winkel zur positiven x-Achse


Zunächst müssen wir für jede gegebene Kraft den Winkel \alpha von der positiven x-Achse zur Kraft berechnen.

  • Zur Kraft F_1 ist kein Winkel gegeben, da diese auf der x-Achse liegt.
  • Der Winkel von der positiven x-Achse zur Kraft F_2 beträgt 60° gegeben (90° – 30°).
  • Von der positiven x-Achse zur Kraft F_3 ergibt sich ein Winkel von 180° – 20° = 160°.
  • Zur Kraft F_4 ist ein Winkel von 170° gegeben.
  • Und von der positiven x-Achse zur Kraft F_5 ist ein Winkel von 315° gegeben.

  Winkel von der x-Achse zur Kraft    

 


2.Schritt: Komponenten berechnen


Wir berechnen als nächstes für jede Kraft die x-Komponente F_x. Diese wird mittels Kosinus (cos) berechnet, wenn der Winkel von der x-Achse zur Kraft betrachtet wird.  

 

 \boxed{F_x = F \cdot \cos(\alpha)}  

 

Gegeben sind: 

F_1 = 20 N, F_2 = 45 N, F_3 = 70 N, F_4 = 80 N und F_5 = 38 N.  

 

Wir berechnen als nächstes die x-Komponenten mittels Kosinus:

 

F_{x1} = 20 N \cdot \cos(0^\circ) = 20 N

 

F_{x2} = 45 N \cdot \cos(60^\circ) = 22,5 N

 

F_{x3} = 70 N \cdot \cos(160^\circ) = -65,78 N     (zeigt in negative x-Richtung)

 

F_{x4} = 80 N \cdot \cos(270^\circ) = 0 N

 

F_{x5} = 38 N \cdot \cos(315^\circ) = 26,87N  

 

Ein negativer Wert sagt aus, dass die Komponente in negative x-Richtung zeigt.  

 

Wir haben alle Komponenten in x-Richtung berechnet. Die Komponenten in y-Richtung werden mittels Sinus berechnet. Auch hier muss der Winkel von der x-Achse zur Kraft betrachtet werden:  

 

 \boxed{F_y = F \cdot \sin(\alpha)}  

 

Wir wenden die Gleichung auf die gegebenen Kräfte an:

 

F_{y1} = 20 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N

 

F_{y2} = 45 N \cdot \sin(60^\circ) = 38,97 N

 

F_{y3} = 70 N \cdot \sin(160^\circ) = 23,94 N

 

F_{y4} = 80 N \cdot \sin(270^\circ) = -80 N    (zeigt in negative y-Richtung)

 

F_{y5} = 38 N \cdot \sin(315^\circ) = -26,87N   (zeigt in negative y-Richtung)  

 

Kräftezerlegung  

 


3.Schritt: Teilresultierende berechnen


Der nächste Schritt ist nichts anderes, als die Zusammenfassung aller x-Komponenten zu einer Kraft, der Teilresultierenden R_x sowie die Zusammenfassung aller y-Komponenten zu einer Kraft, der Teilresultierenden R_y. Zur Berechnung der Teilresultierenden R_x können wir alle x-Komponenten aufsummieren.

Das ist deswegen möglich, weil die x-Komponenten aller auf der x-Achse liegen und damit dieselbe Wirkungslinie aufweisen.  

 

R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} + F_{5x}  

 

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Wichtig: Vorzeichen nicht vergessen!

 

Einsetzen der Werte:

 

R_x = 20 N + 22,5 N - 65,78 N + 0 N + 26,87N = \mathbf{3,59 N}  

 

Danach betrachten wir die Teilresultierende R_y. Hierfür summieren wir alle y-Komponenten miteinander, unter Berücksichtigung des Vorzeichens:  

 

R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} + F_{5y}  

 

Einsetzen der Werte:

 

R_y = 0 N + 38,97 N + 23,94 N - 80 N - 26,87N = \mathbf{-34,96 N}  

 

Wir haben die Teilresultierenden berechnet. Die Teilresultierende R_x ist positiv und zeigt damit in positive x-Richtung. Die Teilresultierende R_y ist negativ und zeigt somit in negative y-Richtung:  

Teilresultierende  

In der obigen Grafik sind die beiden Teilresultierenden eingezeichnet. R_x ist positiv und zeigt somit in positive x-Richtung, R_y ist negativ und zeigt in negative y-Richtung. Die Resultierende F_R liegt somit im 4. Quadranten. Als nächstes bestimmen wir den Betrag und die Richtung der Resultierenden.  

 


4.Schritt: Betrag der Resultierenden bestimmen


Du kannst den Betrag der Resultierenden F_R aus den Teilresultierenden R_x und R_y berechnen. Dazu müssen die beiden Teilresultierenden zur Resultierenden zusammengefasst werden. Da es sich hierbei um zwei Kräfte in einem rechten Winkel zueinander handelt, wird der Satz des Pythagoras angewendet:  

 

 \boxed{F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}}  

 

Einsetzen:

 

F_R = \sqrt{(3,59 N)^2 + (-34,96 N)^2} = 35,14 N  

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Wichtig: Das Minuszeichen wird mit quadriert, so dass ein positiver Wert resultiert!

 

Die Resultierende F_R weist einen Betrag von 35,14 N auf.  

 


5.Schritt: Richtung der Resultierenden bestimmen


Wir kennen den Betrag der Resultierenden und wissen, dass diese im 4. Quadranten des Koordinatensystems liegen muss. In welche Richtung genau die Resultierende zeigen muss, das wollen wir als nächstes berechnen.

Zunächst berechnen wir den Winkel \gamma von Teilresultierenden R_x zur Resultierenden F_R mittels Tangens:  

 

 \boxed{\tan(\gamma) = \dfrac{R_y}{R_x}}  

 

Auflösen nach dem Winkel \gamma:

 

\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{R_y}{R_x})  

 

Einsetzen der Werte:

 

\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{-34,96 N}{3,59 N}) \gamma = -84,14^\circ  

 

Das negative Vorzeichen zeigt auf, dass wir hier den Winkel von der x-Achse zur Resultierenden im Uhrzeigersinn (in einer Rechtsdrehung) abtragen müssen. Der Winkel selber wird dann aber ohne Vorzeichen angegeben:  

Richtung der Resultierenden  

Wir haben alle Kräfte zu einer einzigen Kraft – der Resultierenden – zusammengefasst. Die Resultierende hat dieselbe Wirkung wie alle Kräfte zusammen. Die Resultierende ersetzt somit alle anderen Kräfte.

Häufig wird der Winkel von der Resultierenden F_R zur positiven x-Achse gesucht. Ist dies der Fall, so musst du noch zusätzlich eine kleine Berechnung durchführen. Im obigen Fall beträgt der Winkel zur positiven x-Achse:  

 

360^\circ - 84,14^\circ = 275,86^\circ  

 

Hierbei handelt es sich im einen positiven Winkel, da die Abtragung von der x-Achse zur Resultierenden gegen den Uhrzeigersinn (in einer Linksdrehung) erfolgt.  

 

Merk's dir!
Merk's dir!
Ist dein Ergebnis ein positiver Winkel, so erfolgt die Abtragung des Winkels gegen den Uhrzeigersinn. Resultiert ein negativer Winkel, so erfolgt die Abtragung des Winkels mit dem Uhrzeigersinn.

 

Video: Resultierende aus Pythagoras und Tangens

In diesem Video zeige ich dir, warum du den Betrag der Resultierenden mittels Satz des Pythagoras und die Richtung mittels Tangens bestimmen kannst.


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Resultierenden aus Pythagoras und Tangens
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wie gehts weiter
Wie geht's weiter?
In der nachfolgenden Lerneinheit zeigen wir dir einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung der Resultierenden aus mehreren Kräften.

 

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