PH2 – Resultierende aus mehreren Kräften [Erklärungen, Beispiele, Formeln, Videos]

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Betrachten wir mehrere Kräfte, die an einem Körper angreifen, so können wir diese zu einer einzigen Kraft zusammenfassen. Diese zusammengefasste Kraft wird als Resultierende oder resultierende Kraft bezeichnet und übt dieselbe Wirkung auf den betrachteten Körper aus, wie alle Kräfte zusammen.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Resultierende aus mehreren Kräften berechnet wird.  

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

 

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie die Resultierende aus mehreren Kräften berechnet wird. Wir betrachten hier ein zentrales Kräftesystem, in dem sich die an einem Körper angreifenden Kräfte in einem einzigen Punkt (dem Angriffspunkt) schneiden.

Betrachten wir Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt so benötigen wir den Betrag (die Größe) und die Richtung (den Winkel) der Resultierenden.

Den Angriffspunkt der Resultierenden müssen wir nicht berechnen, da dieser im gemeinsamen Angriffspunkt der gegebenen Kräfte liegt. Damit du die Berechnung richtig durchführst und innerhalb der Prüfung nicht groß nachdenken musst, merk dir die folgende Vorgehensweise. 

 

Vorgehensweise: Resultierende aus mehreren Kräften

1.Schritt: Den Winkel α von der positiven x-Achse zu jeder Kraft berechnen.

2.Schritt: Alle Kräfte müssen mittels Kosinus und Sinus in ihre x- und y-Komponenten zerlegt werden (Kräftezerlegung durchführen).  

F_x = F \cdot \cos(\alpha)}   Betrag der Komponente in x-Richtung

F_y = F \cdot \sin(\alpha)  Betrag der Komponente in y-Richtung

3. Schritt: Alle Komponenten in x-Richtung werden zu einer Teilresultierenden Rx zusammengefasst, indem diese miteinander summiert werden. Alle Komponenten in y-Richtung werden zu einer Teilresultierenden Ry zusammengefasst, indem diese miteinander summiert werden. (Vorzeichen beachten!)  

4. Schritt: Der Betrag der Resultierenden kann mittels Satz des Pythagoras aus den Teilresultierenden berechnet werden, da Rx und Ry senkrecht zueinander stehen.  

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}  

5. Schritt: Um die Richtung der Resultierenden zu bestimmen, berechnest du den Winkel γ von der Teilresultierenden Rx zur Resultierenden FR unter Verwendung des Tangens:  

\tan(\gamma) = \dfrac{R_y}{R_x}          Winkel von Rx zu FR

 

Videos: Resultierende aus mehreren Kräften

In den folgenden beiden Videos zeige ich dir, wie du die obigen Schritte durchführst, um die Resultierende aus zwei Kräften zu bestimmen.

 

Beispiel: Resultierende (zentrales Kräftesystem)

Mittels der obigen Schritte können wir uns nun das nachfolgende Beispiel mal anschauen, um die Resultierende aus mehreren Kräften zu berechnen.

Aufgabenstellung

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Beispiel: Resultierende aus mehreren Kräften

 

Gegeben sei das obige x,y-Koordinatensystem mit den 5 Kräften

F_1 = 20 N,

F_2 = 45 N,

F_3 = 70 N,

F_4 = 80 N und

F_5 = 38 N.  

Berechne den Betrag und die Richtung der Resultierenden!

 

1.Schritt: Winkel zur positiven x-Achse

Zunächst müssen wir für jede gegebene Kraft den Winkel α von der positiven x-Achse zur Kraft berechnen.

  • Zur Kraft F1 ist kein Winkel gegeben, da diese auf der x-Achse liegt.
  • Der Winkel von der positiven x-Achse zur Kraft F2 beträgt 60° gegeben (90° – 30°).
  • Von der positiven x-Achse zur Kraft F3 ergibt sich ein Winkel von 180° – 20° = 160°.
  • Zur Kraft F4 ist ein Winkel von 170° gegeben.
  • Und von der positiven x-Achse zur Kraft F5 ist ein Winkel von 315° gegeben.
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Winkel von der x-Achse zur Kraft

 

2.Schritt: Komponenten berechnen

Wir berechnen als nächstes für jede Kraft die x-Komponente F_x. Diese wird mittels Kosinus (cos) berechnet, wenn der Winkel von der x-Achse zur Kraft betrachtet wird.  

F_x = F \cdot \cos(\alpha)  

 

Gegeben sind: 

F_1 = 20 N, F_2 = 45 N, F_3 = 70 N, F_4 = 80 N und F_5 = 38 N.  

 

Wir berechnen als nächstes die x-Komponenten mittels Kosinus:

F_{x1} = 20 N \cdot \cos(0^\circ) = 20 N

F_{x2} = 45 N \cdot \cos(60^\circ) = 22,5 N

F_{x3} = 70 N \cdot \cos(160^\circ) = -65,78 N     (zeigt in negative x-Richtung)

F_{x4} = 80 N \cdot \cos(270^\circ) = 0 N

F_{x5} = 38 N \cdot \cos(315^\circ) = 26,87N  

 

Ein negativer Wert sagt aus, dass die Komponente in negative x-Richtung zeigt.  

 

Wir haben alle Komponenten in x-Richtung berechnet. Die Komponenten in y-Richtung werden mittels Sinus berechnet. Auch hier muss der Winkel von der x-Achse zur Kraft betrachtet werden:  

F_y = F \cdot \sin(\alpha)  

 

Wir wenden die Gleichung auf die gegebenen Kräfte an:

F_{y1} = 20 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N

F_{y2} = 45 N \cdot \sin(60^\circ) = 38,97 N

F_{y3} = 70 N \cdot \sin(160^\circ) = 23,94 N

F_{y4} = 80 N \cdot \sin(270^\circ) = -80 N    (zeigt in negative y-Richtung)

F_{y5} = 38 N \cdot \sin(315^\circ) = -26,87N   (zeigt in negative y-Richtung)  

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Kräftezerlegung mehrerer Kräfte in x- und y-Komponenten

 

3.Schritt: Teilresultierende berechnen

Der nächste Schritt ist nichts anderes, als die Zusammenfassung aller x-Komponenten zu einer Kraft, der Teilresultierenden R_x sowie die Zusammenfassung aller y-Komponenten zu einer Kraft, der Teilresultierenden Ry. Zur Berechnung der Teilresultierenden Rx können wir alle x-Komponenten aufsummieren.

Das ist deswegen möglich, weil die x-Komponenten aller auf der x-Achse liegen und damit dieselbe Wirkungslinie aufweisen.  

R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} + F_{5x}  

 

Merk’s dir!

Wichtig: Vorzeichen nicht vergessen!

 

Einsetzen der Werte:

R_x = 20 N + 22,5 N - 65,78 N + 0 N + 26,87N = 3,59 N  

 

Danach betrachten wir die Teilresultierende R_y. Hierfür summieren wir alle y-Komponenten miteinander, unter Berücksichtigung des Vorzeichens:  

R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} + F_{5y}  

 

Einsetzen der Werte:

R_y = 0 N + 38,97 N + 23,94 N - 80 N - 26,87N = -34,96 N  

 

Wir haben die Teilresultierenden berechnet. Die Teilresultierende Rx ist positiv und zeigt damit in positive x-Richtung. Die Teilresultierende Ry ist negativ und zeigt somit in negative y-Richtung:  

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Teilresultierende Rx und Ry

 

In der obigen Grafik sind die beiden Teilresultierenden eingezeichnet. Rx ist positiv und zeigt somit in positive x-Richtung, Ry ist negativ und zeigt in negative y-Richtung. Die Resultierende FR liegt somit im 4. Quadranten. Als nächstes bestimmen wir den Betrag und die Richtung der Resultierenden.  

 

4.Schritt: Betrag der Resultierenden bestimmen

Du kannst den Betrag der Resultierenden F_R aus den Teilresultierenden Rx und Ry berechnen. Dazu müssen die beiden Teilresultierenden zur Resultierenden zusammengefasst werden. Da es sich hierbei um zwei Kräfte in einem rechten Winkel zueinander handelt, wird der Satz des Pythagoras angewendet:  

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}  

 

Einsetzen:

F_R = \sqrt{(3,59 N)^2 + (-34,96 N)^2} = 35,14 N  

 

Merk’s dir!

Wichtig: Das Minuszeichen wird mit quadriert, so dass ein positiver Wert resultiert!

 

Die Resultierende FR weist einen Betrag von 35,14 N auf.  

 

5.Schritt: Richtung der Resultierenden bestimmen

Wir kennen den Betrag der Resultierenden und wissen, dass diese im 4. Quadranten des Koordinatensystems liegen muss. In welche Richtung genau die Resultierende zeigen muss, das wollen wir als nächstes berechnen.

Zunächst berechnen wir den Winkel γ von Teilresultierenden Rx zur Resultierenden FR mittels Tangens:  

\tan(\gamma) = \dfrac{R_y}{R_x}  

 

Auflösen nach dem Winkel γ:

\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{R_y}{R_x})  

 

Einsetzen der Werte:

\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{-34,96 N}{3,59 N})

\gamma = -84,14^\circ  

 

Das negative Vorzeichen zeigt auf, dass wir hier den Winkel von der x-Achse zur Resultierenden im Uhrzeigersinn (in einer Rechtsdrehung) abtragen müssen. Der Winkel selber wird dann aber ohne Vorzeichen angegeben:  

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Richtung der Resultierenden aus mehreren Kräften

 

Wir haben alle Kräfte zu einer einzigen Kraft – der Resultierenden – zusammengefasst. Die Resultierende hat dieselbe Wirkung wie alle Kräfte zusammen. Die Resultierende ersetzt somit alle anderen Kräfte.

Häufig wird der Winkel von der Resultierenden FR zur positiven x-Achse gesucht. Ist dies der Fall, so musst du noch zusätzlich eine kleine Berechnung durchführen. Im obigen Fall beträgt der Winkel zur positiven x-Achse:  

360^\circ - 84,14^\circ = 275,86^\circ  

Hierbei handelt es sich im einen positiven Winkel, da die Abtragung von der x-Achse zur Resultierenden gegen den Uhrzeigersinn (in einer Linksdrehung) erfolgt.  

Merk’s dir!

Ist dein Ergebnis ein positiver Winkel, so erfolgt die Abtragung des Winkels gegen den Uhrzeigersinn. Resultiert ein negativer Winkel, so erfolgt die Abtragung des Winkels mit dem Uhrzeigersinn.

 

Video: Resultierende aus Pythagoras und Tangens

In diesem Video zeige ich dir, warum du den Betrag der Resultierenden mittels Satz des Pythagoras und die Richtung mittels Tangens bestimmen kannst.

 

Resultierende aus mehreren Kräften – Beispiele im Alltag

In Alltagssituationen können viele Kräfte gleichzeitig auf einen Körper wirken, was zur Entstehung einer resultierenden Kraft führt. Hier sind einige Beispiele für die Resultierende aus mehreren Kräften im Alltag:

  1. Auto auf einer Kurve: Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, wirken mehrere Kräfte auf das Fahrzeug, darunter die Zentripetalkraft, die die Richtung des Autos zur Kurve hinzieht, und die Reibungskraft zwischen den Reifen und der Fahrbahn, die die Geschwindigkeit des Autos kontrolliert. Die resultierende Kraft ist die kombinierte Wirkung dieser Kräfte, die das Auto auf der Kurvenbahn hält.

  2. Brückenkonstruktion: Bei der Konstruktion einer Brücke wirken mehrere Kräfte auf die Tragstruktur, wie z. B. das Gewicht des Brückendecks, die Verkehrslasten und die Windkräfte. Die resultierende Kraft berücksichtigt die kombinierte Wirkung all dieser Kräfte und muss von der Brücke getragen werden, um ihre Stabilität zu gewährleisten.

  3. Zugfahrt: In einem Zug wirken verschiedene Kräfte, wie die Antriebskraft der Lokomotive, der Widerstand der Luft, die Reibungskräfte an den Schienen und die Gravitationskraft. Die resultierende Kraft aus all diesen Kräften ermöglicht es dem Zug, sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit fortzubewegen und Hindernisse zu überwinden.

  4. Flugzeug im Flug: Ein Flugzeug ist den Kräften der Schwerkraft, des Auftriebs, des Widerstands und des Schubs ausgesetzt. Der Auftrieb wird durch die Form der Tragflächen erzeugt, der Schub kommt von den Triebwerken und die Schwerkraft wirkt nach unten. Die resultierende Kraft ermöglicht dem Flugzeug, in der Luft zu bleiben und die gewünschte Flugrichtung beizubehalten.

  5. Schiffsmanöver: Bei einem Schiffsmanöver wirken verschiedene Kräfte wie die Antriebskraft der Motoren, der Wasserwiderstand, die Strömungskräfte und die Ruderkräfte auf das Schiff. Die resultierende Kraft aus diesen Kräften ermöglicht es dem Schiff, seine Geschwindigkeit und Richtung zu kontrollieren.

Diese Beispiele zeigen, wie mehrere Kräfte in Alltagssituationen auf einen Körper wirken und eine resultierende Kraft erzeugen, die die Bewegung oder Stabilität des Körpers beeinflusst.

 

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit zeigen wir dir einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung der Resultierenden aus mehreren Kräften.

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