(Ph2-11) Resultierende aus zwei rechtwinkligen Kräften

In dieser Lerneinheit betrachten wir das Thema Resultierende mittels Satz des Pythagoras bestimmen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Resultierende mittels Satz des Pythagoras – Grundlagen

Wir betrachten in diesem Lerntext zwei Kräfte, die im rechten Winkel zueinander liegen und wollen für diese beiden Kräfte die Resultierende mittels Satz des Pythagoras (Betrag) und mittels Tangens (Richtung)berechnen.

Resultierende aus zwei rechtwinkligen Kräften — Rechtwinklige Kräfte

Haben wir nun zwei Kräfte gegeben, die genau im 90°-Winkel zueinander liegen so können wir den Satz des Pythagoras anwenden, um die Größe der Resultierende der beiden Kräfte zu berechnen.

$\boxed{F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}}$ Resultierende mittels Satz des Pythagoras

Dies ergibt sich auch aus dem Kosinussatz:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}$

Der Winkel β ergibt sich zu:

$360^\circ - 2 \cdot 90^\circ = 2 \cdot \beta$

$\beta = 90^\circ$

Der Kosinus von 90 ° ergibt Null:

$\cos(90^\circ) = 0$

Eingesetzt in die Gleichung für den Kosinussatz ergibt sich der Satz des Pythagoras:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot 0}$

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$

Sind also zwei Kräfte in einem 90°-Winkel (rechtem Winkel) zueinander gegeben, dann kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um den Betrag der Resultierenden zu bestimmen. Alternativ kannst du auch den Kosinussatz anwenden, da aber cos(90°) = 0 ist, ergibt sich genau der Satz des Pythagoras.

Richtung der Resultierenden

Für die Berechnung des Winkels von einer der gegebenen beiden Kräfte zur Resultierenden, kann der Tangens herangezogen werden. Wollen wir zum Beispiel den Winkel γ von der Resultierenden $F_R$ zur Kraft $F_2$ berechnen, dann gilt die folgende Gleichung:

$\boxed{\tan(\gamma) = \dfrac{F_1}{F_2}}$

Aufgelöst nach dem Winkel γ mittels Arkustangens ( $\tan^{-1}$ ) ergibt:

$\boxed{\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{F_2}{F_1})}$

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Beispiel: Resultierende mittels Satz des Pythagoras

Wir schauen uns im nachfolgenden Beispiel mal an, wie der Betrag und die Richtung der Resultierenden für zwei zueinander rechtwinklige Kräfte berechnet wird.

Beispiel: Resultierende aus zwei zueinander rechtwinkligen Kräften

Aufgabenstellung

Resultierende mittels Satz des Pythagoras

Gegeben seien die beiden Kräfte F1 = 120 N und F2 = 178 N welche rechtwinklig zueinander stehen.

Berechne die Größe und Richtung der Resultierenden!

Lösung

Resultierende mittels Satz des Pythagoras – Betrag

Da beide Kräfte in einem rechten Winkel zueinander stehen, können wir zur Berechnung des Betrags der Resultierenden den Satz des Pythagoras anwenden:

$\boxed{F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}}$

Einsetzen der Werte:

$F_R = \sqrt{(120 N)^2 + (178 N)^2}$

$F_R = 214,67 N$

Die Größe der Resultierenden beträgt 214,67 N.

Richtung der Resultierenden – Tangens

Als nächstes betrachten wir die Richtung der Resultierenden. Wir können hier den Tangens heranziehen, da beide Kräfte in einem rechten Winkel zueinander stehen. Wir betrachten den Winkel von der Kraft F₂ zur Resultierenden F_R:

$\tan(\gamma) = \dfrac{F_1}{F_2}$

Auflösen nach dem Winkel γ:

$\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{F_1}{F_2})$

Einsetzen der Werte:

$\gamma = \tan^{-1}(\dfrac{120 N}{178 N})$

$\gamma = 33,99^\circ$

Der Winkel von der Resultierenden F_R zur Kraft F₂ beträgt 33,99°.

Videoclip: Resultierende mittels Satz des Pythagoras

Im folgenden Video schauen wir uns die Berechnung der Resultierenden aus zwei rechtwinklig zueinander liegenden Kräften an.

Lernclip

Resultierende berechnen

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt weißt wie man die Resultierende mittels Satz des Pythagoras bestimmt, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit ausführlich die Zerlegung einer Kraft in zwei Kraftkomponenten (Kräftezerlegung).

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