(Ph2-09) Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz

Das Thema dieser Lerneinheit ist die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz – Grundlagen

Im Gegensatz zur Anwendung des Kosinussatzes für die Bestimmung des Betrages der Resultierenden aus zwei Kräften (siehe vorige Lerneinheit), schauen wir uns in diesem Lerntext an, wie du die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz bestimmen kannst.

Die Richtung der Resultierenden F_Rkann als Winkel von F_R zu F₂ oder von F_R zu F₁ angegeben werden (siehe folgende Grafik).

Richtung der Resultierenden bestimmen, Sinussatz — Sinussatz – Richtung

undefiniert

Hinweis:

Zur Bestimmung der Richtung der Resultierenden betrachten wir den Winkel γ von der Resultierenden F_R zur Kraft F₂.

Sinussatz – Richtung der Resultierenden

Wir können hier den Sinussatz heranziehen. Dieser gilt für allgemeine Dreiecke und besagt:

Merk's dir!

Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem allgemeinen Dreieck immer gleich groß.

Wollen wir also den obigen Winkel γ berechnen (Winkel von F_R zu F₂), so wenden wir den Sinussatz auf das untere Teildreieck wie folgt an:

$\boxed{\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}}$

Schauen wir uns mal genauer an, warum die obige Gleichung gewählt wird. Wir suchen den Winkel γ! Die gegenüberliegende Seite des Winkels γ ist F₁. So ergibt sich der Quotient:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)}$

Wir haben in der obigen Gleichung bereits eine gesuchte Variable, und zwar den Winkel $\gamma$ . Wir dürfen im nächsten Quotienten nur gegebene Werte berücksichtigen, damit wir den Winkel $\gamma$ berechnen können. Somit muss für den nächsten Quotienten sowohl die Länge der Seite als auch der gegenüberliegende Winkel gegeben sein.

$\dfrac{F_R}{\sin (\beta)}$

undefiniert

Hinweis:

Den Winkel β und den Betrag der Resultierenden F_R haben wir im vorherigen Kurstext berechnet.

Lösen wir nun die obige Gleichung nach dem gesuchten Winkel γ auf:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Zunächst kehren wir die Brüche um, so dass sin(γ) im Zähler steht:

$\dfrac{\sin(\gamma)}{F_1} = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R}$

Danach multiplizieren wir mit F₁, damit sin(γ) alleine steht:

$\sin(\gamma) = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1$

Damit der Winkel γ alleine steht, müssen wir die Umkehrfunktion des Sinus anwenden, den Arkussinus ( $\sin^{-1}$ ):

$\boxed{\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)}$ Winkel von $F_R$ zur $F_2$

Die obige Gleichung kann herangezogen werden, wenn der Winkel von der resultierenden Kraft F_R zur Kraft F₂ berechnet werden soll.

Beispiel: Richtung der Resultierenden bestimmen

Schauen wir uns an, wie die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz berechnet wird. Betrachten wir dazu das Beispiel aus dem vorherigen Kurstext.

Beispiel: Richtung der Resultierenden bestimmen

Aufgabenstellung

Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz

Gegeben seien die beiden Kräfte F1=120 N und F2=90 N und der eingeschlossene Winkel von 120°.

Wir wollen die beiden Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzen.

In welche Richtung muss diese Kraft wirken, damit sie dieselbe Kraft wie die beiden gegebenen Kräfte auf die Kiste ausübt? Berechne dafür den Winkel zu F2.

Lösung

Betrachten wir zunächst wieder das skizzierte Parallelogramm:

Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz - Kosinussatz, Sinussatz — Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz -Resultierende bestimmen

Wir haben bereits im vorigen Kurstext den den Winkel β berechnet zu:

$360^\circ - 2 \cdot 120^\circ = 2 \cdot \beta$

$\beta = 60^\circ$

Außerdem die Größe der Resultierenden mittels Kosinussatz zu:

$F_R = \sqrt{(120N)^2 + (90 N)^2 - 2 \cdot 120 N \cdot 90 N \cdot \cos(60^\circ)}$

$F_R = 108,17 N$

Betrachten wir als nächstes den Sinussatz um den Winkel γ zu berechnen. Dazu betrachten wir die rechte obere Grafik.

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Aufgelöst nach γ ergibt sich dann:

$\boxed{\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)}$

Wir setzen alle bekannten Werte ein:

$\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(60^\circ)}{108,17 N} \cdot 120 N)$

$\gamma = 73,89^\circ$

Die Resultierende muss mit einem Betrag von 108,17 N und einem Winkel von 73,89° zur Kraft F₂ angebracht werden, damit diese dieselbe Wirkung aufweist, wie die beiden Kräften F₁ und F₂ zusammen.

Wichtig: Die resultierende Kraft F_R ersetzt die beiden Kräften F₁ und F₂.

Videoclip: Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz

Im nachfolgenden Video schauen wir uns an, wie du die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz bestimmen kannst.

Lernclip

Richtung der Resultierenden – Sinussatz

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt das Vorgehen bei der Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz kennst, folgen einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung des Betrags und der Richtung der Resultierenden. Diese Aufgaben verhelfen dir zu einem besseren Verständnis.

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