PH2 – Richtung der Resultierenden (Sinussatz) [Formeln, Beispiele, Video]

Die Richtung der Resultierenden aus zwei gegeben Kräften kann mittels Sinussatz berechnet werden, wenn die beiden gegebenen Kräfte einen Winkel zueinander aufweisen. Die Resultierende ist die Zusammenfassung der beiden Kräfte zu einer einzigen Kraft und übt gleiche Wirkung auf den Körper aus, wie die beiden Kräfte zusammen.

Wir betrachten innerhalb dieser Lerneinheit, wie du die Richtung der Resultierenden anhand des Sinussatzes berechnest.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

Sinussatz: Richtung der Resultierenden

Im Gegensatz zur Anwendung des Kosinussatzes für die Bestimmung des Betrages der Resultierenden aus zwei Kräften (siehe vorige Lerneinheit), schauen wir uns in diesem Lerntext an, wie du die Richtung der Resultierenden anhand des Sinussatzes bestimmen kannst.

Die Richtung der Resultierenden F_Rkann als Winkel von F_R zu F₂ oder von F_R zu F₁ angegeben werden:

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Merk’s dir!

Zur Bestimmung der Richtung der Resultierenden betrachten wir den Winkel γ von der Resultierenden F_R zur Kraft F₂.

Wir können hier den Sinussatz heranziehen. Dieser gilt für allgemeine Dreiecke und besagt:

Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem allgemeinen Dreieck immer gleich groß.

Winkel der Resultierenden, Sinussatz, Resultierende, zwei Kräfte, Parallelogramm, Winkel — Anwendung des Sinussatzes

Wollen wir also den obigen Winkel γ berechnen (Winkel von F_R zu F₂), so wenden wir den Sinussatz auf das untere Teildreieck wie folgt an:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Schauen wir uns mal genauer an, warum die obige Gleichung gewählt wird. Wir suchen den Winkel γ! Die gegenüberliegende Seite des Winkels γ ist F₁. So ergibt sich der Quotient:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)}$

Wir haben in der obigen Gleichung bereits eine gesuchte Variable, und zwar den Winkel $\gamma$ . Wir dürfen im nächsten Quotienten nur gegebene Werte berücksichtigen, damit wir den Winkel $\gamma$ berechnen können. Somit muss für den nächsten Quotienten sowohl die Länge der Seite als auch der gegenüberliegende Winkel gegeben sein.

$\dfrac{F_R}{\sin (\beta)}$

Merk’s dir!

Den Winkel β und den Betrag der Resultierenden F_R haben wir im vorherigen Kurstext berechnet.

Lösen wir nun die obige Gleichung nach dem gesuchten Winkel γ auf:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Zunächst kehren wir die Brüche um, so dass sin(γ) im Zähler steht:

$\dfrac{\sin(\gamma)}{F_1} = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R}$

Danach multiplizieren wir mit F₁, damit sin(γ) alleine steht:

$\sin(\gamma) = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1$

Damit der Winkel γ alleine steht, müssen wir die Umkehrfunktion des Sinus anwenden, den Arkussinus ( $\sin^{-1}$ ):

$\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)$ Winkel von F_R zur F₂

Die obige Gleichung kann herangezogen werden, wenn der Winkel von der resultierenden Kraft F_R zur Kraft F₂ berechnet werden soll.

Video: Richtung der resultierenden Kraft

Im nachfolgenden Video schauen wir uns an, wie du die Richtung der resultierenden Kraft bestimmen kannst.

Beispiel: Richtung der Resultierenden bestimmen

Betrachten wir das Beispiel aus dem vorherigen Kurstext.

Aufgabenstellung

Richtung der Resultierenden, Beispiel, Sinussatz — Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften

Gegeben seien die beiden Kräfte F1=120 N und F2=90 N und der eingeschlossene Winkel von 120°.

Wir wollen die beiden Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzen.

In welche Richtung muss diese Kraft wirken, damit sie dieselbe Kraft wie die beiden gegebenen Kräfte auf die Kiste ausübt? Berechne dafür den Winkel zu F₂.

Kräfteparallelogramm skizzieren

Betrachten wir zunächst das skizzierte Parallelogramm:

Richtung der Resultierenden, Sinussatz, Beispiel, Parallelogramm, Kräfteparallelogramm — Anwendung des Sinussatzes aus dem Kräfteparallelogramm

Wir haben bereits im vorigen Kurstext den den Winkel β berechnet zu:

$360^\circ - 2 \cdot 120^\circ = 2 \cdot \beta$

$\beta = 60^\circ$

Außerdem die Größe der Resultierenden mittels Kosinussatz zu:

$F_R = \sqrt{(120N)^2 + (90 N)^2 - 2 \cdot 120 N \cdot 90 N \cdot \cos(60^\circ)}$

$F_R = 108,17 N$

Anwendung des Sinussatzes

Betrachten wir als nächstes den Sinussatz um den Winkel γ zu berechnen. Dazu betrachten wir die rechte obere Grafik.

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Aufgelöst nach γ ergibt sich dann:

$\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)$

Wir setzen alle bekannten Werte ein:

$\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(60^\circ)}{108,17 N} \cdot 120 N)$

$\gamma = 73,89^\circ$

Resultierende Kraft einzeichnen

Richtung der Resultierenden, Sinussatz — Ergebnis: Resultierende aus zwei Kräften

Die Resultierende muss mit einem Betrag von 108,17 N und einem Winkel von 73,89° zur Kraft F₂ angebracht werden, damit diese dieselbe Wirkung aufweist, wie die beiden Kräften F₁ und F₂ zusammen.

Wichtig: Die resultierende Kraft F_R ersetzt die beiden Kräften F₁ und F₂.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt das Vorgehen bei der Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften kennst, folgen einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung des Betrags und der Richtung der Resultierenden. Diese Aufgaben verhelfen dir zu einem besseren Verständnis.

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