(Ph2-09) Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz

Inhaltsverzeichnis

Das Thema dieser Lerneinheit ist die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.


 


Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz – Grundlagen


Im Gegensatz zur Anwendung des Kosinussatzes für die Bestimmung des Betrages der Resultierenden aus zwei Kräften (siehe vorige Lerneinheit), schauen wir uns in diesem Lerntext an, wie du die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz bestimmen kannst.

 

Vorschau Resultierende

 

 

Die Richtung der Resultierenden FR kann als Winkel von FR zu F2 oder von FR zu F1 angegeben werden (siehe folgende Grafik).

 

Richtung der Resultierenden bestimmen, Sinussatz
Sinussatz – Richtung

 

 

undefiniert
Hinweis:

Zur Bestimmung der Richtung der Resultierenden betrachten wir den Winkel γ von der Resultierenden FR zur Kraft F2 .

 


Sinussatz – Richtung der Resultierenden


Wir können hier den Sinussatz heranziehen. Dieser gilt für allgemeine Dreiecke und besagt:

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem allgemeinen Dreieck immer gleich groß.

 

 

Winkel der Resultierenden
Sinussatz

 

 

Wollen wir also den obigen Winkel γ berechnen (Winkel von FR zu F2), so wenden wir den Sinussatz auf das untere Teildreieck wie folgt an:

 

 \boxed{\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}}

 

Schauen wir uns mal genauer an, warum die obige Gleichung gewählt wird. Wir suchen den Winkel γ! Die gegenüberliegende Seite des Winkels γ ist F1. So ergibt sich der Quotient:

 

\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)}

 

Wir haben in der obigen Gleichung bereits eine gesuchte Variable, und zwar den Winkel \gamma. Wir dürfen im nächsten Quotienten nur gegebene Werte berücksichtigen, damit wir den Winkel \gamma berechnen können. Somit muss für den nächsten Quotienten sowohl die Länge der Seite als auch der gegenüberliegende Winkel gegeben sein.

 

\dfrac{F_R}{\sin (\beta)}

 

undefiniert
Hinweis:

Den Winkel β und den Betrag der Resultierenden FR haben wir im vorherigen Kurstext berechnet.

 

Lösen wir nun die obige Gleichung nach dem gesuchten Winkel γ auf:

 

\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}

 

Zunächst kehren wir die Brüche um, so dass sin(γ) im Zähler steht:

 

\dfrac{\sin(\gamma)}{F_1} = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R}

 

Danach multiplizieren wir mit F1, damit sin(γ) alleine steht:

 

\sin(\gamma) = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1

 

Damit der Winkel γ alleine steht, müssen wir die Umkehrfunktion des Sinus anwenden, den Arkussinus (\sin^{-1}):

 

 \boxed{\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)}          Winkel von F_R zur F_2

 

Die obige Gleichung kann herangezogen werden, wenn der Winkel von der resultierenden Kraft FR zur Kraft F2 berechnet werden soll.

 


Beispiel: Richtung der Resultierenden bestimmen
 


 

Schauen wir uns an, wie die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz berechnet wird. Betrachten wir dazu das Beispiel aus dem vorherigen Kurstext.


Beispiel: Richtung der Resultierenden bestimmen


Aufgabenstellung

 

 

Gegeben seien die beiden Kräfte F1=120 N und F2=90 N und der eingeschlossene Winkel von 120°.

Wir wollen die beiden Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzen.

In welche Richtung muss diese Kraft wirken, damit sie dieselbe Kraft wie die beiden gegebenen Kräfte auf die Kiste ausübt? Berechne dafür den Winkel zu F2.

 

Lösung

 

Betrachten wir zunächst wieder das skizzierte Parallelogramm:

Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz - Kosinussatz, Sinussatz
Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz -Resultierende bestimmen

 

Wir haben bereits im vorigen Kurstext den den Winkel β berechnet zu:

 

360^\circ - 2 \cdot 120^\circ = 2 \cdot \beta

 

\beta = 60^\circ

 

Außerdem die Größe der Resultierenden mittels Kosinussatz zu:

 

F_R = \sqrt{(120N)^2 + (90 N)^2 - 2 \cdot 120 N \cdot 90 N \cdot \cos(60^\circ)}

 

F_R = 108,17 N

 

Betrachten wir als nächstes den Sinussatz um den Winkel γ zu berechnen. Dazu betrachten wir die rechte obere Grafik.

 

\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}

 

Aufgelöst nach γ ergibt sich dann:

 

 \boxed{\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)}

 

Wir setzen alle bekannten Werte ein:

 

\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(60^\circ)}{108,17 N} \cdot 120 N)

 

\gamma = 73,89^\circ

 

Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz
Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz – Resultierende

 

Die Resultierende muss mit einem Betrag von 108,17 N und einem Winkel von 73,89° zur Kraft F2 angebracht werden, damit diese dieselbe Wirkung aufweist, wie die beiden Kräften F1 und F2  zusammen.

 

Wichtig: Die resultierende Kraft FR ersetzt die beiden Kräften F1 und F2.

 


Videoclip: Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz


Im nachfolgenden Video schauen wir uns an, wie du die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz bestimmen kannst.


Lernclip
Richtung der Resultierenden – Sinussatz

 

 


wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt das Vorgehen bei der Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz kennst, folgen einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung des Betrags und der Richtung der Resultierenden. Diese Aufgaben verhelfen dir zu einem besseren Verständnis. 

 

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