PH2 – Richtung der Resultierenden (Sinussatz) [Formeln, Beispiele, Video]

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Inhaltsverzeichnis:

Die Richtung der Resultierenden aus zwei gegeben Kräften kann mittels Sinussatz berechnet werden, wenn die beiden gegebenen Kräfte einen Winkel zueinander aufweisen. Die Resultierende ist die Zusammenfassung der beiden Kräfte zu einer einzigen Kraft und übt gleiche Wirkung auf den Körper aus, wie die beiden Kräfte zusammen.

Wir betrachten innerhalb dieser Lerneinheit, wie du die Richtung der Resultierenden anhand des Sinussatzes berechnest.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

 

Sinussatz: Richtung der Resultierenden

Im Gegensatz zur Anwendung des Kosinussatzes für die Bestimmung des Betrages der Resultierenden aus zwei Kräften (siehe vorige Lerneinheit), schauen wir uns in diesem Lerntext an, wie du die Richtung der Resultierenden anhand des Sinussatzes bestimmen kannst.

Resultierende, zwei Kräfte, Richtung der Resultierenden

 

Die Richtung der Resultierenden Fkann als Winkel von FR zu F2 oder von FR zu F1 angegeben werden:

Richtung der Resultierenden, Sinussatz, Richtung, Resultierende, resultierende Kraft, Sinus, Kräfteparallelogramm, Parallelogramm, zwei Kräfte, eingeschlossener Winkel
Richtung der Resultierenden: Kräfteparallelogramm

 

Merk’s dir!

Zur Bestimmung der Richtung der Resultierenden betrachten wir den Winkel γ von der Resultierenden FR zur Kraft F2 .

 

Wir können hier den Sinussatz heranziehen. Dieser gilt für allgemeine Dreiecke und besagt:

 

Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem allgemeinen Dreieck immer gleich groß.

Winkel der Resultierenden, Sinussatz, Resultierende, zwei Kräfte, Parallelogramm, Winkel
Anwendung des Sinussatzes

 

Wollen wir also den obigen Winkel γ berechnen (Winkel von FR zu F2), so wenden wir den Sinussatz auf das untere Teildreieck wie folgt an:

\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}

 

Schauen wir uns mal genauer an, warum die obige Gleichung gewählt wird. Wir suchen den Winkel γ! Die gegenüberliegende Seite des Winkels γ ist F1. So ergibt sich der Quotient:

\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)}

 

Wir haben in der obigen Gleichung bereits eine gesuchte Variable, und zwar den Winkel \gamma. Wir dürfen im nächsten Quotienten nur gegebene Werte berücksichtigen, damit wir den Winkel \gamma berechnen können. Somit muss für den nächsten Quotienten sowohl die Länge der Seite als auch der gegenüberliegende Winkel gegeben sein.

\dfrac{F_R}{\sin (\beta)}

Merk’s dir!

Den Winkel β und den Betrag der Resultierenden FR haben wir im vorherigen Kurstext berechnet.

 

Lösen wir nun die obige Gleichung nach dem gesuchten Winkel γ auf:

\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}

 

Zunächst kehren wir die Brüche um, so dass sin(γ) im Zähler steht:

\dfrac{\sin(\gamma)}{F_1} = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R}

 

Danach multiplizieren wir mit F1, damit sin(γ) alleine steht:

\sin(\gamma) = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1

 

Damit der Winkel γ alleine steht, müssen wir die Umkehrfunktion des Sinus anwenden, den Arkussinus (\sin^{-1}):

\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)          Winkel von FR zur F2

 

Die obige Gleichung kann herangezogen werden, wenn der Winkel von der resultierenden Kraft FR zur Kraft F2 berechnet werden soll.

 

Video: Richtung der resultierenden Kraft 

Im nachfolgenden Video schauen wir uns an, wie du die Richtung der resultierenden Kraft bestimmen kannst.

 
 

Beispiel: Richtung der Resultierenden bestimmen

Betrachten wir das Beispiel aus dem vorherigen Kurstext.

Aufgabenstellung

Richtung der Resultierenden, Beispiel, Sinussatz
Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften

 

Gegeben seien die beiden Kräfte F1=120 N und F2=90 N und der eingeschlossene Winkel von 120°.

Wir wollen die beiden Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzen.

In welche Richtung muss diese Kraft wirken, damit sie dieselbe Kraft wie die beiden gegebenen Kräfte auf die Kiste ausübt? Berechne dafür den Winkel zu F2.

 

Kräfteparallelogramm skizzieren

Betrachten wir zunächst das skizzierte Parallelogramm:

Richtung der Resultierenden, Sinussatz, Beispiel, Parallelogramm, Kräfteparallelogramm
Anwendung des Sinussatzes aus dem Kräfteparallelogramm

 

Wir haben bereits im vorigen Kurstext den den Winkel β berechnet zu:

360^\circ - 2 \cdot 120^\circ = 2 \cdot \beta

\beta = 60^\circ

 

Außerdem die Größe der Resultierenden mittels Kosinussatz zu:

F_R = \sqrt{(120N)^2 + (90 N)^2 - 2 \cdot 120 N \cdot 90 N \cdot \cos(60^\circ)}

F_R = 108,17 N

 

Anwendung des Sinussatzes

Betrachten wir als nächstes den Sinussatz um den Winkel γ zu berechnen. Dazu betrachten wir die rechte obere Grafik.

\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}

 

Aufgelöst nach γ ergibt sich dann:

\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)

 

Wir setzen alle bekannten Werte ein:

\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(60^\circ)}{108,17 N} \cdot 120 N)

\gamma = 73,89^\circ

 

Resultierende Kraft einzeichnen

Richtung der Resultierenden, Sinussatz
Ergebnis: Resultierende aus zwei Kräften

 

Die Resultierende muss mit einem Betrag von 108,17 N und einem Winkel von 73,89° zur Kraft F2 angebracht werden, damit diese dieselbe Wirkung aufweist, wie die beiden Kräften F1 und F2  zusammen.

Wichtig: Die resultierende Kraft FR ersetzt die beiden Kräften F1 und F2.

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt das Vorgehen bei der Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften kennst, folgen einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung des Betrags und der Richtung der Resultierenden. Diese Aufgaben verhelfen dir zu einem besseren Verständnis. 

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