PH2 – Resultierende aus zwei Kräfte: Kosinussatz und Sinussatz [Beispiele, Formeln, Videos]

Haben zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien, so fallen die beiden Wirkungslinien (= Verlängerung der Kräfte) nicht zusammen. Die beiden gegebenen Kräfte weisen damit einen Winkel zueinander auf.

Wir wollen innerhalb dieser Lerneinheit zeigen, wie die beiden Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden können. Wir betrachten in dieser Lerneinheit zwei Kräfte, die nicht senkrecht zueinander stehen. Um den Betrag und die Richtung der Resultierenden bestimmen zu können, müssen wir ein Kräfteparallelogramm konstruieren und den Kosinussatz und Sinussatz anwenden.

Wir wollen in dieser Lerneinheit zeigen, wie zwei nicht rechtwinklige Kräfte zu einer einzigen Kraft, der Resultierenden, zusammengefasst werden können.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

Resultierende aus zwei Kräften – Grundlagen

Zur Bestimmung der Resultierenden aus zwei Kräften gehen wir wie folgt vor:

Kräfteparallelogramm für die beiden Kräfte konstruieren
Kosinussatz anwenden, um den Betrag der Resultierenden zu berechnen.
Sinussatz anwenden, um die Richtung (den Winkel) der Resultierenden zu bestimmen.

Sind zwei Kräfte mit unterschiedlichen Wirkungslinien gegeben, dann liegen diese nicht auf einer Wirkungslinie, sondern weisen einen bestimmten Winkel zueinander auf. Ziel ist es nun diese beiden Kräfte zu einer einzigen Kraft (= resultierende Kraft) zusammenzufassen, so dass wir die beiden gegebenen Kräfte ersetzen können.

Merk’s dir!

Eine Variante die resultierende Kraft für zwei Kräfte mit einem Winkel zu bestimmen, ist die Parallelogrammkonstruktion.

In der obigen Grafik siehst du zwei Kräfte, die auf eine Kiste wirken. Wir wollen die beiden Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammenfassen – der Resultierenden. Dazu zeichnen wir zunächst die Wirkungslinien der beiden Kräfte F₁und F₂ein und verschieben diese auf ihren Wirkungslinien solange, bis sich beide Kräfte mit ihren Anfangspunkten berühren:

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Die obige Grafik zeigt die Ausgangssituation für die Anwendung der Parallelogrammform.

Merk’s dir!

Sind zwei Kräfte gegeben, die sich beide in einem Punkt schneiden (= gemeinsamer Angriffspunkt) und die einen Winkel zueinander aufweisen (nicht auf einer Wirkungslinie liegen), dann kann ein Kräfteparallelogramm konstruiert werden.

Resultierende bestimmen: Kräfteparallelogramm konstruieren

Ein Parallelogramm hat

4 Seiten, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind.
4 Winkel, wobei die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind.

Die Summe der 4 Winkel in einem Parallelogramm beträgt 360°:

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In der obigen Grafik kannst du sehen, wie du das Kräfteparallelogramm aus den zwei gegebenen Kräften zeichnen kannst. Die Summe der 4 Winkel in einem Parallelogramm beträgt 360°:

Winkelsumme

$2 \cdot \alpha + 2 \cdot \beta = 360^\circ$

Video: Kräfteparallelogramm

Im nachfolgenden Video zeigen wir dir, wie du das Kräfteparallelogramm zeichnest.

Betrag der Resultierenden: Kosinussatz

Nachdem du weißt, wie das Kräfteparallelogramm gezeichnet wird, schauen wir uns an, wie du aus zwei Kräften den Betrag der Resultierenden mittels Kosinussatz berechnest. Wir betrachten weiterhin zwei Kräfte, die einen Winkel zueinander aufweisen, und wollen diese beiden Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammenfassen.

Was genau bedeutet das?

Wir wollen nun also diejenige Kraft bestimmen, welche die beiden gegebenen Kräfte F₁ und F₂ ersetzt. Wir benötigen dafür die Größe der resultierenden Kraft F_R und den Winkel von der Resultierenden F_Rzu einer der gegebenen Kräfte, um die Richtung der resultierenden Kraft zu ermitteln.

Ziel ist es, die beiden gegebenen Kräfte durch die Resultierende F_R zu ersetzen. Dabei übt die resultierende Kraft genau dieselbe Wirkung auf den betrachteten Körper aus, wie die beiden gegebenen Kräfte zusammen.

Den Betrag der Resultierenden kannst du mittels Kosinussatz wie folgt berechnen:

Kosinussatz

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}$

In der Aufgabenstellung ist häufig nicht der Winkel $\beta$ , sondern der Winkel $\alpha$ gegeben. Wir können den Winkel $\beta$ aber ganz einfach aus der Winkelsumme des Kräfteparallelogramms berechnen:

Winkelsumme

$\beta = \frac{360^\circ - 2 \cdot \alpha}{2}$

Die nachfolgenden Beispiele sollen dir zeigen, wie du die obigen Gleichungen anwendest.

Beispiel: Betrag der Resultierende (Kosinussatz)

Aufgabenstellung: Resultierende aus zwei Kräften

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Gegeben seien die beiden Kräfte F₁=120N und F₂=90N und der eingeschlossene Winkel von 120°. Wir wollen die beiden Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzen.

Wie groß muss diese Kraft sein, damit sie dieselbe Kraft wie die beiden gegebenen Kräfte auf die Kiste ausübt?

Zunächst zeichnen wir skizzenhaft das Kräfteparallelogramm, um uns die Situation besser vorstellen zu können.

Betrag der Resultierenden, Kosinussatz, Kräfteparallelogramm, Parallelogramm — Resultierende aus zwei Kräften: Kräfteparallelogramm

Zur Berechnung der resultierenden Kraft $F_R$ wenden wir jetzt den Kosinussatz an:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\beta)}$

Bei dieser Gleichung wird der Winkel β benötigt, welcher sich rechnerisch wie folgt ermitteln lässt:

$360^\circ \degree - 2 \cdot 120^\circ = 2 \cdot \beta$

Hierbei ist die 360° die Summe aller Winkel eines Parallelogramms. Der 120°-Winkel ist der gegebene eingeschlossene Winkel. In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Winkel identisch, weshalb der 120°-Winkel zweimal vorkommt. Der verbleibende Winkel ist der gesuchte Winkel β, der ebenfalls zweimal vorkommt.

Es ergibt sich demnach:

$2 \cdot \beta = 120 \circ$

Und damit:

$\beta = 60\circ$

Mit den gegebenen Werten können wir die resultierende Kraft F_R berechnen:

$F_R = \sqrt{(120N)^2 + (90 N)^2 - 2 \cdot 120 N \cdot 90 N \cdot \cos(60°)}$

$F_R = 108,17 N$

Um die beiden Kräfte F₁ und F₂ zu ersetzen, müssen wir die Kraft F_R mit einem Betrag von 108,17 N an die Kiste anbringen.

Wir kennen nun also die Größe bzw. den Betrag der anzubringenden Kraft, aber noch nicht in welche Richtung die Kraft wirken muss, damit auch wirklich genau dieselbe Wirkung auf die Kiste ausgeübt wird, wie von den beiden gegebenen Kräften F₁ und F₂.

Video: Resultierende aus zwei Kräften (Betrag)

Im nachfolgenden Video schauen wir uns an, wie du den Betrag der Resultierenden aus zwei Kräften mittels Kosinussatz berechnen kannst.

Die Größe bzw. den Betrag der anzubringenden Kraft haben wir nun berechnet, aber noch nicht in welche Richtung die Kraft wirken muss, damit auch wirklich genau dieselbe Wirkung auf die Kiste ausgeübt wird, wie von den beiden gegebenen Kräften F1 und F2.

Besipiel: Richtung der Resultierenden (Sinussatz)

Die Richtung der Resultierenden F_Rkann als Winkel von F_R zu F₂ oder Winkel von F_R zu F₁ angegeben werden (siehe folgende Grafik).

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Hinweis!

Zur Bestimmung der Richtung der Resultierenden betrachten wir den Winkel γ von der Resultierenden F_R zur Kraft F₂.

Wir können hier den Sinussatz heranziehen. Dieser gilt für allgemeine Dreiecke und besagt:

Merk’s dir!

Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem allgemeinen Dreieck immer gleich groß.

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Wollen wir also den obigen Winkel γ berechnen (Winkel von F_R zu F₂), so wenden wir den Sinussatz auf das untere Teildreieck wie folgt an:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Schauen wir uns mal genauer an, warum die obige Gleichung gewählt wird. Wir suchen den Winkel γ! Die gegenüberliegende Seite des Winkels γ ist F₁. So ergibt sich der Quotient:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)}$

Wir haben in der obigen Gleichung bereits eine gesuchte Variable, und zwar den Winkel $\gamma$ . Wir dürfen im nächsten Quotienten nur gegebene Werte berücksichtigen, damit wir den Winkel $\gamma$ berechnen können. Somit muss für den nächsten Quotienten sowohl die Länge der Seite als auch der gegenüberliegende Winkel gegeben sein.

$\dfrac{F_R}{\sin (\beta)}$

Hinweis!

Den Winkel β und den Betrag der Resultierenden F_R haben wir im vorherigen Kurstext berechnet.

Lösen wir nun die obige Gleichung nach dem gesuchten Winkel γ auf:

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Zunächst kehren wir die Brüche um, so dass sin(γ) im Zähler steht:

$\dfrac{\sin(\gamma)}{F_1} = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R}$

Danach multiplizieren wir mit F₁, damit sin(γ) alleine steht:

$\sin(\gamma) = \dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1$

Damit der Winkel γ alleine steht, müssen wir die Umkehrfunktion des Sinus anwenden, den Arkussinus ( $\sin^{-1}$ ):

Winkel von F_R zu F₂

$\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)$

Die obige Gleichung kann herangezogen werden, wenn der Winkel von der resultierenden Kraft F_R zur Kraft F₂ berechnet werden soll.

Beispiel: Richtung der Resultierende aus zwei Kräften

Aufgabenstellung

Zwei Kräfte, eingeschlossener Winkel, Kräfte mit Winkel, Resultierende, Sinussatz, Kosinussatz, Beispiel — Beispiel: Resultierende aus zwei Kräften

Gegeben seien die beiden Kräfte F1=120 N und F2=90 N und der eingeschlossene Winkel von 120°.

Wir wollen die beiden Kräfte durch eine einzige Kraft ersetzen.

In welche Richtung muss diese Kraft wirken, damit sie dieselbe Kraft wie die beiden gegebenen Kräfte auf die Kiste ausübt? Berechne dafür den Winkel zu F2.

Betrachten wir zunächst wieder das skizzierte Parallelogramm:

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Wir haben bereits im vorigen Kurstext den den Winkel β berechnet zu:

$360^\circ - 2 \cdot 120^\circ = 2 \cdot \beta$

$\beta = 60^\circ$

Außerdem den Betrag der Resultierenden mittels Kosinussatz zu:

$F_R = \sqrt{(120N)^2 + (90 N)^2 - 2 \cdot 120 N \cdot 90 N \cdot \cos(60^\circ)}$

$F_R = 108,17 N$

Betrachten wir als nächstes den Sinussatz um den Winkel γ zu berechnen. Dazu betrachten wir die rechte obere Grafik.

$\dfrac{F_1}{\sin(\gamma)} = \dfrac{F_R}{\sin(\beta)}$

Aufgelöst nach γ ergibt sich dann:

$\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(\beta)}{F_R} \cdot F_1)$

Wir setzen alle bekannten Werte ein:

$\gamma = \sin^{-1}(\dfrac{\sin(60^\circ)}{108,17 N} \cdot 120 N)$

$\gamma = 73,89^\circ$

Richtung der Resultierenden, Resultierende, Ergebnis — Ergebnis: Resultierende aus zwei Kräften

Die Resultierende muss mit einem Betrag von 108,17 N und einem Winkel von 73,89° zur Kraft F₂ angebracht werden, damit diese dieselbe Wirkung aufweist, wie die beiden Kräften F₁ und F₂ zusammen.

Wichtig: Die resultierende Kraft F_R ersetzt die beiden Kräften F₁ und F₂.

Video: Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften

Im nachfolgenden Video schauen wir uns an, wie du die Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz bestimmen kannst.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt das Vorgehen bei der Richtung der Resultierenden mittels Sinussatz kennst, folgen einige Aufgaben inklusive Lösung zur Berechnung des Betrags und der Richtung der Resultierenden.

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