PH1 – Beispiel zum Kosinussatz und Sinussatz

In der Lerneinheit Kosinussatz und Sinussatz zeigen wir dir ein Berechnungsbeispiel auf, in welchen du beide Verfahren benötigst.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH1 – Grundlagen der Physik.

Häufig tritt der Fall auf, dass bei Berechnungen an dreieckigen Flächen sowohl Kosinussatz als auch Sinussatz angewendet werden müssen. Wir wollen uns in dieser Lerneinheit mal diesen Fall genauer anschauen.

Du benötigst hierfür die folgenden Gleichungen.

Formeln: Kosinussatz und Sinussatz

Kosinussatz:

Berechnung von Seiten

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)}$

$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)}$

$b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta)}$

Berechnung von Winkel

$\gamma = \cos^{-1}(\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2 \cdot a \cdot b})$

$\alpha = \cos^{-1}(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2 \cdot b \cdot c})$

$\beta = cos^{-1}(\dfrac{a^2 + c^2 - b^2 }{2 \cdot a \cdot c})$

Sinussatz:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

Beispiel: Kosinussatz und Sinussatz

Schauen wir uns mal ein Beispiel zur Berechnung einer Aufgabe an, in welcher sowohl der Sinussatz als auch der Kosinussatz benötigt werden.

Beispiel!

Kosinussatz Sinussatz - Anwenden — Kosinussatz und Sinussatz – Anwenden

Gegeben sei das allgemeine Dreieck mit dem Winkel α = 60° und den Seiten b = 4cm und c = 8cm.

Berechne den Winkel β.

Wir haben zwar zwei Seiten und ein Winkel gegeben, da die gegenüberliegenden Winkel der gegebenen Seiten aber beide unbekannt sind, kann hier die Berechnung mit dem Sinussatz zunächst nicht erfolgen. Wir haben den Winkel α gegeben und können mittels Kosinussatz die Seite a berechnen. Danach können wir dann den Sinussatz anwenden, um den Winkel β zu bestimmen.

Der Kosinussatz lautet:

$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)}$

Danach kannst du die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte eingeben:

$a = \sqrt{(4cm)^2 + (8cm)^2 - 2 \cdot 4cm \cdot 8cm \cdot \cos(60^\circ)} = 6,93 cm$

Nachdem wir die Seite a berechnet haben und der gegenüberliegenden Winkel α gegeben ist, können wir den Winkel β mittels Sinussatz bestimmen:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}$

Jetzt löst du die obigen Gleichung nach dem dem Winkel β auf:

$\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(\alpha)}{a} \cdot b)$

Im letzten Schritt setzt du die gegebenen Werte ein:

$\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(60^\circ)}{6,93 cm} \cdot 4 cm) = 29,99 cm \approx 30 cm$

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