(Ph1-12) Kosinussatz und Sinussatz

Inhaltsverzeichnis

In der Lerneinheit Kosinussatz und Sinussatz zeigen wir dir einige Berechnungsbeispiele auf, in welchen du beide Verfahren benötigst.

 

Kosinussatz und Sinussatz

 

Häufig tritt der Fall auf, dass bei Berechnungen an dreieckigen Flächen sowohl Kosinussatz als auch Sinussatz angewendet werden müssen. Wir wollen uns in dieser Lerneinheit mal diesen Fall genauer anschauen.

Du benötigst hierfür die folgenden Gleichungen.

 


Formeln: Kosinussatz und Sinussatz


Kosinussatz:

 

 \boxed{c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)}}

 \boxed{a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)}}

 \boxed{b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta)}}

 

 \boxed{\gamma = \cos^{-1}(\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2 \cdot a \cdot b})}

 \boxed{\alpha = \cos^{-1}(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2 \cdot b \cdot c})}

 \boxed{\beta = cos^{-1}(\dfrac{a^2 + c^2 - b^2 }{2 \cdot a \cdot c})}

 

Sinussatz:

 

7 \boxed{\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}}

 


Kosinussatz und Sinussatz – Beispiel


Schauen wir uns mal ein Beispiel zur Berechnung einer Aufgabe an, in welcher sowohl der Sinussatz als auch der Kosinussatz benötigt wird.

 

undefiniert
Beispiel: Kosinussatz und Sinussatz
Kosinussatz Sinussatz - Anwenden
Kosinussatz und Sinussatz – Anwenden

 

 

Gegeben sei das allgemeine Dreieck mit dem Winkel α = 60° und den Seiten b = 4cm und c = 8cm.

Berechne den Winkel β.

 

Wir haben zwar zwei Seiten und ein Winkel gegeben, da die gegenüberliegenden Winkel der gegebenen Seiten aber beide unbekannt sind, kann hier die Berechnung mit dem Sinussatz zunächst nicht erfolgen. Wir haben den Winkel α gegeben und können mittels Kosinussatz die Seite a berechnen. Danach können wir dann den Sinussatz anwenden, um den Winkel β zu bestimmen.

 

Der Kosinussatz lautet:

 

a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)}

 

Danach kannst du die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte eingeben:

 

a = \sqrt{(4cm)^2 + (8cm)^2 - 2 \cdot 4cm \cdot 8cm \cdot \cos(60^\circ)} = 6,93 cm

 

Nachdem wir die Seite a berechnet haben und der gegenüberliegenden Winkel gegeben ist, können wir den Winkel β mittels Sinussatz bestimmen:

 

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}

 

Jetzt löst du die obigen Gleichung nach dem dem Winkel β auf:

 

\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(\alpha)}{a} \cdot b)

 

Im letzten Schritt setzt du die gegebenen Werte ein:

 

\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(60^\circ)}{6,93 cm} \cdot 4 cm) = 29,99 cm \approx 30 cm

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit schauen wir uns mal einige Aufgaben zum Kosinussatz und Sinussatz an.

 

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