PH1 – Satz des Pythagoras [Erklärung, Formel, Beispiele]

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Inhaltsverzeichnis:

Der Satz des Pythagoras wird bei rechtwinkligen Dreiecken angewendet, um eine Seite des Dreiecks zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind. Rechtwinklige Dreiecke weisen einen 90°-Winkel (=rechten Winkel) auf.

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Satz des Pythagoras.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und vier ausführlich gelöste Beispiele.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH1-Grundlagen der Physik.

 

Video: Satz des Pythagoras

 

Satz des Pythagoras – Definition

Wir schauen uns in dieser Lerneinheit an, was der Satz des Pythagoras aussagt und wie du eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck mittels Satz von Pythagoras berechnest.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Satz des Pythagoras, rechtwinkliges Dreieck, Beispiel, Kathete, Hypotenuse
Satz des Pythagoras

 

Die Hypotenuse c ist die Seite gegenüber vom rechten Winkel. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten a und b. Wir quadrieren jede Kathetenseite und addieren beide miteinander. Das Ergebnis ist die quadrierte Hypotenuse.

Der Satz des Pythagoras in Formeldarstellung lautet also:

 

c^2 = a^2 + b^2       Satz des Pythagoras

 

Ist also die Seitenlänge a und die Seitenlänge b gegeben, so können wir die Seitenlänge c berechnen. Dazu muss aber noch die Wurzel gezogen werden:

Hypotenuse c berechnen

c= \sqrt{a^2 + b^2}

Merk’s dir!

Die Katheten sind je nach betrachtetem Winkel die Ankathete und Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Definition wird aber für den Satz des Pythagoras nicht benötigt, da der Winkel nicht mit in die Formel einfließt.

 

Kathete, Satz des Pythagoras, Kathetenquadrate, Hypotenuse

 

In der Grafik ist nochmal veranschaulicht, was genau der Satz des Pythagoras eigentlich aussagt. Wir sehen dort drei Quadrate. Das grüne Kathetenquadrat und das blaue Kathetenquadrat sind von der Fläche zusammen genau so groß, wie das rote Quadrat der Hypotenuse.

Merk’s dir!

Der Satz des Pythagoras wird innerhalb der technischen Mechanik dazu genutzt, um eine Seitenlänge aus zwei gegebenen Seitenlängen bei rechtwinkligen Flächen zu berechnen.

 

Kathetenseite berechnen

Es ist natürlich ebenfalls möglich die Gleichung so umzustellen, dass aus einer gegebenen Kathetenseite und der Hypotenuse die andere Kathetenseite berechnet werden kann.

Berechnung von a:

c^2 = a^2 + b^2     |-b^2

a^2 = c^2 - b^2

Kathetenseite a berechnen

a = \sqrt{c^2 - b^2}

 

Analog Berechnung von b:

c^2 = a^2 + b^2     |-a^2

b^2 = c^2 - a^2

Kathetenseite b berechnen

b = \sqrt{c^2 - a^2} 

Merk’s dir!

Hier müsst ihr euch einfach merken: Wenn die Hypotenuse und eine Kathetenseite gegeben ist, dann zieht ihr die quadrierte Kathetenseite von der quadrierten Hypotenuse ab.

 

In den nachfolgenden drei Beispielen sollst du lernen, wann du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.

 

Beispiel 1: Rampe

Aufgabenstellung

Deine Freunde und du schauen sich bei dir ein paar Actionclips der X-Games bei Youtube an. Nach dem 8. Bier denkt ihr euch, hey das können wir doch auch. Fest entschlossen wollt auch ihr eine kleine Rampe anfertigen und geht in die Werkstatt deines Vaters.

Rampe, Satz des Pythagoras
Beispiel

 

Die Rampe soll eine Höhe von 1m haben. Ihr habt außerdem noch ein Brett mit der Länge von 3 m gegeben. Dieses wollt ihr als horizontale Unterlagen verwenden.

Wie lang muss das befahrbare Brett sein, damit ihr die Rampe fertig stellen könnt?

 

In dem obigen Beispiel sind die beiden Kathetenseiten gegeben. Die befahrbare Seite ist also die Hypotenuse gegenüber vom rechten Winkel. Der Satz des Pythagoras lautet:

c^2 = a^2 + b^2

 

Hierbei ist c die Seite gegenüber vom rechten Winkel (=Hypotenuse) und damit genau die Seite, die wir suchen. Die anderen beiden Seiten sind die Kathetenseiten, die wir als nächstes quadrieren:

(3m)^2 = 9m^2

(1m)^2 = 1m^2

 

Wir addieren beide Kathetenquadrate miteinander:

c^2 = 9m^2 + 1m^2

 

Danach müssen wir die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, damit wir die Seitenlänge c erhalten:

c = \sqrt{9m^2 + 1m^2}

 

Auf der linken Seite verbleibt die Seitenlänge c, weil die Wurzel aus einer quadrierten Zahl die quadrierte Zahl selbst ergibt. Wir erhalten also:

c = \sqrt{9m^2 + 1m^2} =3,16 m

 

Die befahrbare Brett muss eine Länge von 3,16 m aufweisen.

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