Ma4 – Koordinatenform in Parameterform und umgekehrt

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In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie wir die Gleichung einer Geraden in der Ebene von der Parameterform in Koordinatenform und Koordinatenform in Parameterform umwandeln.

In dieser Lerneinheit behandeln Geraden in der Ebene und wollen dir zeigen, wie du die Parameterform einer Gerade in die Koordinatenform umwandelst und umgekehrt. Wir zeigen dir welche Formeln du benötigst und zeigen dir das Vorgehen an zwei Beispielen auf.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

 

Übersicht der Gleichungen

 

Koordinatenform

ax + bx = c

Parameterform

\vec{x} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}

 

Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Ist eine Gerade in Koordinatenform gegeben und du sollst diese in Parameterform umwandeln, dann musst du die folgenden Schritte ausführen:

1.Zwei Punkte auf der Geraden suchen, indem wir für x und y Werte einsetzen. Das geht zum Beispiel, indem wir die Schnittpunkte betrachten, also einmal x = 0 setzen und die Koordinatenform nach y auflösen und einmal y = 0 setzen und nach x auflösen. Dann haben wir die Schnittpunkte mit den Achsen gegeben.

2.Einer der Punkte P1 (x1|y1) wird als Aufpunkt des Ortsvektors gewählt. Von diesem Punkt ausgehend, bewegen wir uns zum zweiten Punkt P2(x2|y2). Dazu berechnen wir den Abstand zwischen den beiden Punkten, indem wir beide subtrahieren. Dieser Abstand ist nichts anderes als unser Richtungsvektor \vec{u}:

\vec{u} = P_2 - P_1 = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right)

 

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Beispiel: Koordinatenform in Parameterform

Beispiel!

Gegeben sei die folgende Gerade in Koordinatenform:

-4x + 2y = 12

Wie lautet die Parameterform der Geraden?

 

1.Wir suchen zunächst zwei Punkte auf der Geraden. Du kannst nun Werte für x und y so einsetzen, dass 12 reultiert, so dass die Gleichung erfüllt ist. Oder du setzt für x = 0 ein und löst nach y auf. So hast du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ermittelt:

-4 \cdot 0 + 2y = 12

2y = 12

y = 6

Wir haben den ersten Punkt gegeben mit:

P_1(0|6)

 

Für den zweiten Punkt setzen wir y = 0 und lösen nach x auf, so haben wir den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse gegeben:

-4x + 2 \cdot 0 = 12

-4x = 12

x = -3

P_2(-3|0)

 

2.Wir haben einfach zwei Punkte auf der Geraden ermittelt. Einen der Punkte wählen wir als Aufpunkt (z.B. P1 = A). Dann müssen wir diesen Aufpunkt von dem zweiten Punkt subtrahieren:

\vec{u} = P_2 - A = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array}\right)

\vec{u} = \left( \begin{array}{c} -3 - 0 \\ 0 - 6 \end{array}\right)

\vec{u} = \left( \begin{array}{c} -3 \\ -6 \end{array}\right)

 

Wir können jetzt die Parameterform aufstellen:

\vec{x} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ -6 \end{array}\right)

 

In der folgenden Grafik siehst du die Gerade eingezeichnet:

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Koordinatenform in Parameterform

 

Parameterform in Koordinatenform umwandeln


Um die gegebene Parameterform einer Geraden in Koordinatenform umwandeln zu können, betrachten wir den Richtungsvektor \vec{u} der Parameterform und bilden den dazugehörigen Normalenvektor \vec{n}, also denjenigen Vektor, der senkrecht auf dem Richtungsvektor steht.

Vorgehensweise:

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)

Dieser Normalenvektor steht senkrecht auf den Richtungsvektor. Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt Null ergibt:

\vec{u} \cdot \vec{n} = 0

 

Wir bilden das Skalarprodukt:

\left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right) = 0

u_1 \cdot a + u_2 \cdot b = 0

 

Wir setzen nun für a einen bliebigen Wert ein und berechnen b. Die ermittelten Koordinaten des Normalenvektors sind die Koeffizienten a und b innerhalb der Koordinatenform:

ax + bx = c

Um nun c zu ermitteln, setzen wir für x und y die Koordinaten des Aufpunktes ein. 

 

Betrachten wir hierzu mal ein Beispiel.

Beispiel: Parameterform in Koordinatenform

Beispiel!

Gegeben sei die folgende Gerade in Parameterform:

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \end{array}\right)  + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right)

Bestimmte die Koordinatenform der Geraden!

 

Im ersten Schritt suchen wir den Vektor, der senkrecht auf dem Richtungsvektor \vec{u} steht. Hierbei handelt es sich um den Normalenvektor \vec{n}

Der Richtungsvektor in unserem Beispiel lautet:

\vec{u} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right)

 

Der Normalenvektor weist als Koordinaten die Koeffizienten der Koordinatenform auf, weshalb wir ihn wie folgt definieren:

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)

 

Zwei Vektoren stehen dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Damit müssen wir das Skalarprodukt aus beiden Vektoren gleich Null setzen:

\vec{u} \cdot \vec{n} = 0

\left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right) = 0

 

Wiederholung Skalarprodukt (Ebene)

\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2

 

Wir berechnen das Skalarprodukt:

-2 \cdot a + 3 \cdot b = 0

-2a + 3b = 0

 

Wir suchen noch immer den Normalenvektor. Um diesen zu ermitteln, müssen wir für a oder b eine beliebige Zahl einsetzen und die andere Variable berechnen. Setzen wir also zum Beispiel für a = 1 ein, so erhalten wir:

-2 \cdot 1 + 3b = 0

b = \frac{2}{3}

Damit lautet unser Normalenvektor:

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \frac{2}{3} \end{array}\right)

 

Wir können auch andere beliebige Werte einsetzen und die Gleichung lösen, so zum Beispiel b = 2:

-2a + 3 \cdot 2 = 0

a = 3

Wir erhalten damit den Normalenvektor:

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)

 

Es gibt unendlich viele Normalenvektoren, die wir hier ermitteln können. Alle diese Normalenvektoren sind Vielfache voneinander:

3 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ \frac{2}{3} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)

 

Damit erhalten wir immer den Normalenvektor, egal welche Werte wir für a oder b einsetzen. Wir entscheiden uns hier für den folgenden Normalenvektor:

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)

Der Grund liegt darin, dass wir diesen Normalenvektor besser einzeichnen können, da 2/3 schwieriger in ein Koordinatensystem einzuzeichnen ist. Musst du keine Zeichnung der Geraden und des Normalenvektors vornehmen, so kannst du den Normalenvektor auch mit 2/3 verwenden.

Nachdem wir nun den Normalenvektor ermittelt haben, können wir die Koordinatenform aufstellen, denn a = 3 und b = 2:

3x + 2y = c

 

Im letzten Schritt benötigen wir den Aufpunkt des Ortsvektors, um c zu berechnen. Der Aufpunkt in unserem Beispiel lautet:

\vec{A} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \end{array}\right)

 

Dazu setzen wir diesen Aufpunkt in die Koordinatenform ein und berechnen c:

3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = c

6 - 2 = c

c = 4

 

Wir erhalten am Ende die folgende Koordinatenform:

3x + 2y = 4

 

In der folgenden Grafik siehst du die Gerade sowie den ermittelten Normalenvektor eingezeichnet:

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Parameterform in Koordinatenform


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