TM2 – Normalspannung im Stab

Wir betrachten hier eine etwas ausführlichere Aufgabe zum Thema Normalspannung im Stab.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elastostatik /Festigkeitslehre findest du im Kurs: TM2-Festigkeitslehre

Um die in einem Stab auftretenden Spannungen berechnen zu können, betrachten wir zunächst einen Stab mit konstanter Querschnittsfläche A, welcher durch eine Zugkraft F belastet wird.

Aufgrund der äußeren Zugkraft F treten im Inneren des Stabs Normalspannungen auf. Zur Berechnung dieser Normalspannung führen wir einen senkrechten Schnitt durch den Stab durch:

Infolge der äußeren Zugkraft F tritt im Inneren des Stabs die Normalkraft N (senkrecht zur Schnittfläche A) auf:

Wir können die Normalkraft aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung berechnen:

$\sum F_{ix} = 0$

Alle Kräfte die nach rechts zeigen berücksichtigen wir positiv, alle Kräfte die nach links zeigen negativ:

$-F + N = 0$

$\rightarrow \; N = F$

Die Normalkraft N entspricht bei einem Zugstab gleich der Zugkraft F.

Berechnung der Normalspannung

Aus der Normalkraft können wir die Normalspannung mittels der folgenden Gleichung berechnen (vorangegangener Abschnitt):

$\sigma = \frac{dN}{dA}$

Wir haben hier nun infinitesimale Größen dN und dA gegeben. Zunächst lösen wir nach dN auf:

$dN = \sigma \cdot dA$

Wir können nun hier die Integration auf beiden Seiten durchführen und erhalten damit:

$\int dN = \int_A \sigma \; dA$

Da wir das Prinzip von St. Venant anwenden und damit den Schnitt mit hinreichendem Abstand zu den Lasteinleitungsstellen durchführen, ist die Spannungsverteilung und konstant:

$N = \sigma \cdot A$

Da uns die Normalspannung $\sigma$ interessiert, stellen wir die obige Gleichung um:

$\sigma = \frac{N}{A}$ Berechnung der Normalspannung

Wir können als nächstes $N = F$ aus der Gleichgewichtsbedingung einsetzen und erhalten dann für den obigen Zugstab:

$\sigma = \frac{F}{A}$ Normalspannung beim Zugstab

Betrachten wir hingegen einen Druckstab, so ergibt sich die Normalkraft wie folgt aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung:

$\sum F_{ix} = 0$

$F + N = 0$

$N = -F$

Setzen wir nun in die Gleichung für die Normalspannung N = -F ein, so erhalten wir:

$\sigma = \frac{-F}{A}$ Normalspannung beim Druckstab

Die Normalspannung $\sigma$ ist demnach bei einem Zugstab größer Null und bei einem Druckstab kleiner Null.

++ Videoclips – Spannungen im Stab ++

In den folgenden Videos behandeln wir die Spannungen im Stab bei einem senkrechten Schnitt.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Bei dem hier gezeigten senkrechten Schnitt zur Stabachse treten nur Normalspannungen auf. Wir betrachten im nächsten Abschnitt einen Schnitt mit Winkel zur Stabachse, bei welchem auch Schubspannungen auftreten.

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