MA4 – Spurpunkte einer Ebene – Beispiel und Berechnung

In dieser Lerneinheit behandeln Spurpunkte von Ebenen im Raum und wollen dir zeigen, was Spurpunkte sind, wie du diese berechnest und vor allem, wie du die Ebene einzeichnest.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: MA4 – Vektorrechnung

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Spurpunkte – Grundlagen

Als Spurpunkte einer Ebene E werden die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen des Koordinatensystems bezeichnet. Mithilfe der Spurpunkte können wir eine Ebene in das Koordinatensystem einzeichnen.

Was sind Spurpunkte einer Ebene?

Die Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese Konzepte sind in der analytischen Geometrie von zentraler Bedeutung, insbesondere bei der Analyse und Darstellung von Ebenen im dreidimensionalen Raum.

Grundprinzipien

Definition von Spurpunkten:
- Die Spurpunkte einer Ebene sind die Punkte, an denen die Ebene die x-, y- und z-Achse schneidet.
Mathematische Darstellung:
- Eine Ebene in der Standardform lautet: $ax + by + cz = d$
- Die Spurpunkte sind:
  - $S_x$ (Spurpunkt auf der x-Achse): $( \frac{d}{a}, 0, 0)$
  - $S_y$ (Spurpunkt auf der y-Achse): $(0, \frac{d}{b}, 0)$
  - $S_z$ (Spurpunkt auf der z-Achse): $(0, 0, \frac{d}{c})$

Wir haben bis jetzt Ebenen in verschiedenen Darstellungsformen betrachten und diese auch mittels Parameterform in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Wir haben dabei aber immer vernachlässigt, dass die Ebenen die Koordinatenachsen schneiden. Mithilfe der Spurpunkte einer Ebene und der Parameterform einer Ebene, können wir die Ebene exakt einzeichnen.

Spurpunkte berechnen

Am Einfachsten erfolgt die Berechnung der Spurpunkte über die Koordinatenform. Sofern du also die Ebene E in Parameterform oder Normalenform vorliegen hast, solltest du diese in Koordinatenform umwandeln, um die Spurpunkte zu berechnen.

Schnittpunkt mit der x-Achse

Zur Berechnung des Schnittpunktes der Ebene mit der x-Achse, setzt du die beiden anderen Koordinaten gleich Null und löst die Ebenengleichung nach x auf:

$E: ax + by + cz = d$

$y = z = 0$

$x = \frac{d}{a}$

Schnittpunkt mit der y-Achse

Zur Berechnung des Schnittpunktes der Ebene mit der y-Achse, setzt du die beiden anderen Koordinaten gleich Null und löst die Ebenengleichung nach y auf:

$E: ax + by + cz = d$

$x = z = 0$

$y = \frac{d}{b}$

Schnittpunkt mit der z-Achse

Zur Berechnung des Schnittpunktes der Ebene mit der z-Achse, setzt du die beiden anderen Koordinaten gleich Null und löst die Ebenengleichung nach z auf:

$E: ax + by + cz = d$

$x = y = 0$

$z = \frac{d}{c}$

Beispiele, Aufgaben

Beispiel: 3 Spurpunkte einer Ebene

Beispiel!

Gegeben sei die Ebene E in Koordinatenform:

$E: 4x + 2y - 8z = 8$

Bestimme die Spurpunkte der Ebene E!

Wir wollen die Spurpunkte einer Ebene berechnen. Starten wir mit dem Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse. Dazu setzt du innerhalb der Koordinatenform alle Koordinaten außer x gleich Null.

$y = z = 0$ :

$4x + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 = 8$

$4x = 8$ $:4$

$x = 2$

Der Schnittpunkt der Ebene E mit der x-Achse ist bei x = 2 gegeben:

$S_x(2|0|0)$

Als nächstes berechnen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse. Dazu setzt du innerhalb der Koordinatenform alle Koordinaten außer y gleich Null.

$x = z = 0$ :

$4 \cdot 0 + 2y - 8 \cdot 0 = 8$

$2y = 8$ $:2$

$y = 4$

Der Schnittpunkt der Ebene E mit der y-Achse ist bei y = 4 gegeben:

$S_y(0|4|0)$

Zum Schluss berechnen wir den Schnittpunkt mit der z-Achse. Dazu setzt du innerhalb der Koordinatenform alle Koordinaten außer z gleich Null.

$x = y = 0$ :

$4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 8z = 8$

$8z = 8$ $:8$

$z = 1$

Der Schnittpunkt der Ebene E mit der z-Achse ist bei z = 1 gegeben:

$S_z(0|0|1)$

Wollen wir die Ebene E zeichnen, so können wir das ganz einfach machen, wenn wir 3 Spurpunkte gegeben haben. Wie die Ebene bei weniger als 3 Spurpunkten eingezeichnet wird, zeigen wir dir in der folgenden Lerneinheit.

Wir haben hier drei Spurpunkte gegeben, d.h. die Ebene schneidet die x-,y- und z-Achse. Für die Zeichnung der Ebene, zeichnest du zunächst die drei Spurpunkte ein:

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Wenn wir uns die Parameterform einer Ebene vorstellen, dann haben wir einen Aufpunkt gegeben und zwei Richtungsvektoren, die auf jeweils einen Punkt auf der Ebene zeigen. Auch der Aufpunkt liegt auf der Ebene. Die obigen drei Spurpunkte liegen auf der Ebene, somit können wir einen der drei Punkte als Aufpunkt wählen. Die beiden Richtungsvektoren zeigen dann von diesem Aufpunkt ausgehend auf die beiden anderen Spurpunkte. Dabei ist es egal, welchen Spurpunkt wir als Aufpunkt wählen:

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Wir haben uns hier für den Spurpunkt S_z als Aufpunkt entschieden. Die beiden Richtungsvektoren zeigen dann von dem Aufpunkt auf die beiden anderen Spurpunkte. Wir können jetzt die Ebene zeichnen, indem wir aus den beiden Richtungsvektoren ein Parallelogramm konstruieren:

Wir sehen die Ebene E als Ausschnitt oben eingezeichnet. An den Spurpunkten wird die Ebene durch die drei Koordinatenachsen durchstoßen. Zeichnen wir die Ebene etwas größer ein, so können wir diesen Sachverhalt gut abbilden:

Da das ganze grafisch manchmal schwer abzubilden ist, betrachten wir nochmal die folgende Grafik:

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Wir haben einmal die Ebene, die sich oberhalb der z-Achse befindet und die Ebene, die sich unterhalb der z-Achse befindet. Die beiden Bereiche sind in der obigen Grafik durch die gestrichelte Linie getrennt dargestellt. Der Ebenenteil unterhalb der gestrichelten Linie befindet sich im negativen z-Bereich, der Ebenenteil oberhalb im positiven z-Bereich.

Beispiel: 2 Spurpunkte einer Ebene

Beispiel!

Gegeben sei die Ebene E in Koordinatenform:

$E: 4y - 8z = 8$

Bestimme die Spurpunkte der Ebene E!

Wir wollen die Spurpunkte berechnen. Die x-Koordinaten ist nicht in der Ebenengleichung vorhanden, demnach gibt es hier keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Wir haben hier also einen Sonderfall gegeben, mit 2 Spurpunkten. Beim Zeichnen der Ebene müssen wir beachten, dass die Ebene parallel zur x-Achse ist.

Starten wir mit dem Schnittpunkt der Ebene mit der y-Achse. Dazu setzt du innerhalb der Koordinatenform alle Koordinaten außer y gleich Null.

$z = 0$ :

$4y - 8 \cdot 0 = 8$

$4y = 8$ $:4$

$y = 2$

Der Schnittpunkt der Ebene E mit der y-Achse ist bei y = 2 gegeben.

$S_y(0|2|0)$

Als nächstes berechnen wir den Schnittpunkt mit der z-Achse. Dazu setzt du innerhalb der Koordinatenform alle Koordinaten außer z gleich Null.

$y = 0$ :

$4 \cdot 0 - 8 \cdot z = 8$

$8z = 8$ $:8$

$z = 1$

$S_x(0|0|1)$

Der Schnittpunkt der Ebene E mit der z-Achse ist bei z = 1 gegeben.

Wollen wir die Ebene E zeichnen, so können wir das ganz einfach machen, wenn wir 2 Spurpunkte gegeben haben.

Wir haben hier zwei Spurpunkte gegeben, d.h. die Ebene schneidet die y- und z-Achse, nicht aber die x-Achse. Für die Zeichnung der Ebene, zeichnest du zunächst die zwei Spurpunkte ein und verbindest diese miteinander:

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Sind zwei Spurpunkte gegeben, so ist die Ebene parallel zu der Achse, die nicht von der Ebene geschnitten wird. In unserem Beispiel wird die Ebene nicht von der x-Achse geschnitten. Damit ist die Ebene parallel zu der x-Achse. Du zeichnest nun durch die beiden Spurpunkte zwei Geraden parallel zur x-Achse ein und schließt das Parallelogramm mit der Verbindungslinie:

Wir sehen die Ebene E als Ausschnitt oben eingezeichnet. An den Spurpunkten wird die Ebene durch die zwei Koordinatenachsen durchstoßen. Zeichnen wir die Ebene etwas größer ein, so können wir diesen Sachverhalt gut abbilden:

Beispiel: 1 Spurpunkte einer Ebene

Beispiel!

Gegeben sei die Ebene E in Koordinatenform:

$E: 8y = 24$

Bestimme die Spurpunkte der Ebene E!

Wir wollen die Spurpunkte berechnen. Die x- und z-Koordinaten sind nicht in der Ebenengleichung vorhanden, demnach gibt es hier keine Schnittpunkte mit der x- und z-Achse. Wir haben hier also einen Sonderfall gegeben, mit 1 Spurpunkt. Beim Zeichnen der Ebene müssen wir beachten, dass die Ebene parallel zur x-und z-Achse ist und damit parallel zur x,z-Ebene.

Berechnen wir den Schnittpunkt der Ebene mit der y-Achse:

$8y = 24$

$8y = 24$ $:8$

$y = 3$

Der Schnittpunkt der Ebene E mit der y-Achse ist bei y = 3 gegeben.

$S_y(0|3|0)$

Wollen wir die Ebene E zeichnen, so können wir das ganz einfach machen, wenn wir 1 Spurpunkte gegeben haben.

Wir haben hier einen Spurpunkt gegeben, d.h. die Ebene schneidet die y-Achse, nicht aber die x- und z-Achse. Für die Zeichnung der Ebene, zeichnest du zunächst den Spurpunkte ein:

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Danach zeichnest du eine Linie parallel zur x-Achse und eine Linie parallel zur z-Achse durch den Spurpunkt:

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Im nächsten Schritt konstruierst du ein Parallelogramm (gegenüberliegende Seiten sind gleich lang):

Du erhältst den Ausschnitt der Ebene, die parallel zur x,z-Ebene ist. An dem Spurpunkt wird die Ebene durch die y-Achse durchstoßen. Zeichnen wir die Ebene etwas größer ein, so können wir diesen Sachverhalt gut abbilden:

Anwendung der Spurpunkte

Visualisierung: Die Spurpunkte helfen bei der grafischen Darstellung von Ebenen im dreidimensionalen Raum.
Geometrische Analyse: Bestimmen der Lage und Orientierung von Ebenen relativ zu den Koordinatenachsen.
Schnittpunkte: Analyse der Schnittpunkte von Ebenen mit den Achsen für technische und wissenschaftliche Anwendungen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was sind Spurpunkte?

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen.

2. Wie berechne ich die Spurpunkte einer Ebene?

Setze jeweils zwei Koordinaten gleich null und löse die Ebenengleichung nach der dritten Koordinate auf.

3. Wofür werden Spurpunkte verwendet?

Zur grafischen Darstellung und geometrischen Analyse von Ebenen im dreidimensionalen Raum.

4. Was bedeuten negative Spurpunkte?

Negative Spurpunkte geben an, dass die Ebene die Achse in einem negativen Bereich schneidet.

5. Können Spurpunkte auf einer Achse null sein?

Ja, wenn der entsprechende Koeffizient in der Ebenengleichung null ist, hat die Ebene keinen Spurpunkt auf dieser Achse.

Zusammenfassung

Die Spurpunkte einer Ebene sind wesentliche Elemente zur Darstellung und Analyse von Ebenen im dreidimensionalen Raum. Durch die Bestimmung der Spurpunkte auf den x-, y- und z-Achsen kann man die Lage und Orientierung der Ebene relativ zu den Koordinatenachsen verstehen und visualisieren.

Diese Methode findet breite Anwendung in der analytischen Geometrie, Physik und Ingenieurwesen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.

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