Ma4 – Skalarprodukt: Berechnungen

Das Skalarprodukt ist das Ergebnis der Multiplikation zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und ergibt eine Zahl, den sogenannten Skalar.

In dieser Lerneinheit behandeln das Skalarprodukt. Wir zeigen dir, wie du das Skalarprodukt berechnest und den eingeschlossenen Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmst.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Skalarprodukt: Koordinaten der Vektoren gegeben

Das Skalarprodukt wird wie folgt bestimmt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Die obige Formel kann dann angewendet werden, wenn die Koordinaten der Vektoren bekannt sind. Es können nur Vektoren der gleichen Größen miteinander multipliziert werden.

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:

Beispiel!

Gegeben seien die beiden Vektoren in der Ebene:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$

Bestimme $\vec{a} \cdot \vec{b}$ !

Da wir die Koordinaten der beiden Vektoren gegeben haben und die Vektoren dieselbe Größe aufweisen, können wir das Skalarprodukt gemäß der oben angegebenen Formel (angepasst auf die Ebene) bestimmen:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Wir setzen die gegebenen Werte in die Gleichung ein:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = 1 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) = -13$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ergibt -13. In der folgenden Grafik siehst du die beiden Vektoren eingezeichnet:

Skalarprodukt: Winkel berechnen

Sind die beiden Vektoren mit ihren Koordinaten gegeben und hast du das Skalarprodukt wie oben berechnet, so kannst du auch den Winkel φ zwischen den beiden Vektoren berechnen:

Für die Berechnung des Winkels, kannst du die folgende Formel verwenden:

$\varphi = cos^{-1} (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}})$

mit

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

Schauen wir uns hierzu mal ein Beispiel an.

Beispiel!

Gegeben seien die beiden Vektoren in der Ebene:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$

Bestimme den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel $\varphi$ !

Wir haben hier zwei Vektoren mit ihren Koordinaten und derselben Größe gegeben, demnach können wir den eingeschlossenen Winkel der beiden Vektoren berechnen:

$\varphi = cos^{-1} (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})$

Zunächst bilden wir das Skalarprodukt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 1 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) = -13$

Danach berechnen wir die Länge der beiden Vektoren:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$

$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$

Wir können jetzt die berechneten Werte in die Gleichung einsetzen:

$\varphi = cos^{-1} (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}})$

$\varphi = cos^{-1} (\frac{-13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{13}})$

$\varphi = cos^{-1} (-0,707) = 135^{\circ}$

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt 135°:

Skalarprodukt: Winkel gegeben

Es gibt eine weitere Möglichkeit das Skalarprodukt zu berechnen, wenn der eingeschlossene Winkel φ und die Längen der beiden Vektoren gegeben sind:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\varphi)$

mit

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an.

Gegeben seien die Längen der beiden Vektoren in der Ebene sowie der eingeschlossene Winkel:

$|\vec{a}| = 2\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{34}$

$\varphi = 104^{\circ}$

Bestimme das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ !

Da wir die Längen sowie den eingeschlossenen Winkel gegeben haben, können wir das Skalarprodukt mittels der folgenden Formel berechnen:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\varphi)$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{34} \cos(104^{\circ}) = -4$

Das Skalarprodukt beträgt -4.

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