MA4 – Schnittpunkt zweier Geraden – Erklärung, Berechnung, Beispiel

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Den Schnittpunkt zweier Geraden im Raum kannst du über die Parameterform ermitteln. Dazu überprüfst du die Richtungsvektoren auf lineare Unabhängigkeit und setzt die Geraden dann gleich. Nach Aufstellung des linearen Gleichungssystems, kannst du dieses mittels z.B. Gleichsetzungsverfahren lösen und so den Schnittpunkt ermitteln.

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Schnittpunkt zweier Geraden und wollen dir zeigen, wie du herausfindest, ob zwei Geraden sich schneiden und wie du den Schnittpunkt berechnest.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein anschauliches Rechenbeispiele zu dem Thema.

 

Geraden im Raum – Beispiele aus dem Alltag


Ein Beispiel für den Einsatz von Geraden im Raum im Alltag ist die Navigationssysteme in Autos oder Smartphones. Diese verwenden häufig GPS-Technologie, um den aktuellen Standort des Benutzers zu bestimmen und eine Route zum gewünschten Ziel zu berechnen.

Um eine Route zu berechnen, werden verschiedene Geraden im Raum verwendet. Eine Gerade kann beispielsweise die Strecke zwischen dem aktuellen Standort und dem nächsten Abbiegepunkt darstellen. Das Navigationssystem verwendet dann Informationen wie die aktuelle Geschwindigkeit des Fahrzeugs und die verbleibende Entfernung, um den Zeitpunkt und die Position des nächsten Abbiegens zu berechnen.

Ein weiteres Beispiel ist die 3D-Modellierung und virtuelle Realität (VR). Bei der Erstellung von 3D-Modellen oder virtuellen Umgebungen werden oft Geraden im Raum verwendet, um Objekte zu positionieren und zu manipulieren. Zum Beispiel werden Geraden verwendet, um die Bewegung von virtuellen Kameras oder die Flugbahn von Projektilen zu berechnen.

In der Architektur und beim Bau von Gebäuden werden Geraden im Raum verwendet, um die Positionierung von Wänden, Säulen oder anderen Strukturelementen festzulegen. Die Baupläne verwenden oft mathematische Konzepte wie Geraden und Ebenen, um die genaue Platzierung der Bauelemente zu bestimmen.

Beispiel!

Den Schnittpunkt zweier Geraden können wir zum Beispiel für sich schneidende Flugbahnen zweier Flugzeuge heranziehen. Dazu können wir die Flugbahnen als Geraden in Parameterform darstellen und den Schnittpunkt berechnen. Erhalten wir einen Schnittpunkt der Flugbahnen, so heißt dies noch lange nicht, dass es auch zum Zusammenstoß der beiden Flugzeuge kommt. Relevant sind hier noch die Parameter der beiden Geraden. Nur wenn diese auch gleich sind, dann stoßen die beiden Flugzeuge zusammen (siehe Beispiel 2).

 

Schnittpunkt zweier Geraden – Vektoren


Haben zwei Geraden denselben Punkt (x,y), so schneiden sich diese beiden Geraden genau in diesem Punkt:

 

Geraden im Raum, Schnittpunkt zweier Geraden, Lagebeziehung zweier Geraden, schneidende Geraden

 

In der obigen Grafik siehst du die beiden Geraden g und h, die sich in dem roten Punkt schneiden. 

Merk’s dir!

Die Voraussetzung für sich schneidende und windschiefe Geraden ist die lineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren beider Geraden. Zunächst müssen also die Richtungsvektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden. Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so haben haben wir entweder zwei sich schneidende Geraden oder zwei zueinander windschiefe Geraden gegeben.

Wir setzen die Geradegleichungen dann gleich und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Hat das lineare Gleichungssystem eine Lösung, so schneiden sich die beiden Geraden. Hat es keine Lösung, so sind die Geraden windschief zueinander.

 

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

Beispiel: Schnittpunkt zweier Geraden – Parameterform


Beispiel!

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)

h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)

 

Zunächst prüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren vielfache voneinander sind und damit linear abhängig. Wir betrachten hierzu die beiden Richtungsvektoren und setzen diese in Abhängigkeit zueinander:

t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)

Wenn wir den Richtungsvektor der Geraden g mit einer reellen Zahl t multiplizieren, erhalten wir dann den Richtungsvektor der Geraden h? Stellen wir das lineare Gleichungssystem auf und erhalten für t überall denselben Wert, so sind die beiden Richtungsvektoren linear abhängig voneinander, andernfalls linear unabhängig:

 

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

-1t = -2

2t = 1

4t = 4

 

Wir berechnen als nächstes den Parameter t:

t = \frac{-2}{-1} = 2

t = \frac{1}{2} = 0,5

t = \frac{4}{4} = 1

 

Der Parameter t nimmt nicht für jede Gleichung denselben Wert an. Damit sind die beiden Richtungsvektoren keine vielfache voneinander und somit linear unabhängig. Es liegen entweder sich schneidende oder windschiefe Geraden vor. Um dies zu überprüfen, setzen wir die beiden Geraden g und h gleich und stellen das Gleichungssystem auf. 

Zunächst setzen wir die beiden Geraden gleich:

\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)

 

Dann stellen wir das lineare Gleichungssystem auf:

(1) \; 3 - 1t  = 2 - 2s

(2) \; 2 + 2t  = 1 + 1s

(3) \; 0 + 4t  = 0 + 4s

 

Wir haben nun ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gegeben. Hier können wir das Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren anwenden.

Schauen wir uns das Gleichungssystem an und fassen soweit wie möglich zusammen:

(1) \; 3 - 1t  = 2 - 2s

(2) \; 2 + 2t  = 1 + 1s

(3) \; 4t  = 4s

 

Wir benötigen zwei Gleichungen, da wir zwei Unbekannte gegeben haben. Das Gleichsetzungsverfahren ist grundsätzlich am Einfachsten anzuwenden. Hier stellen wir einfach zwei der drei Gleichungen nach derselben Variable (hier t oder s) um und setzen diese beiden Gleichungen gleich. Wir stellen beliebig die 2. und 3. Gleichung nach um:

(2) \; 2 + 2t  = 1 + 1s

t = -0,5 + 0,5s

 

(3) \; 4t  = 4s

t = s

 

Gleichsetzen von (2) und (3):

-0,5 + 0,5s = s

 

Nach s auflösen:

-0,5 + 0,5s = s    |-0,5s

-0,5 = 0,5s

s = -1

 

Wir haben für s = -1 erhalten. Als nächstes berechnen wir aus einer dieser beiden Gleichungen (2) oder (3) den Wert t:

(3) t = s = -1

 

Wir haben nun die Gleichung (2) und (3) verwendet, um s = -1 und t = -1 zu erhalten. Die dritte nicht verwendete Gleichung (hier: (1)) nutzen wir, um die Ergebnisse zu überprüfen. Dazu setzen wir t = -1 und s = -1 ein und schauen, ob die Gleichung erfüllt ist (d.h. beide Seiten gleich sind):

(1) \; 3 - 1 \cdot (-1)  = 2 - 2 \cdot (-1)

(1) \; 4  = 4

 

Die Gleichung ist erfüllt, damit ist hier ein Schnittpunkt gegeben. Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt. Wir wollen nun noch wissen, in welchem Punkt sich die beiden Geraden schneiden. Dazu nehmen wir eine der beiden Geraden und setzen s = -1 bzw t = -1 ein:

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right)

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist bei S(4|0|-4) gegeben.

 

Beispiel 2: Kreuzende Flugbahnen von Flugzeugen


Beispiel!

Flugzeug 1 durchfliegt auf einer geradlinigen Flugbahn Punkt A(4|-6|10) und eine Minute später B( 14|-11|9). Zeitgleich durchfliegt Flugzeug 2 den Punkt C(-12|-40|5) und eine Minute später D(0|-32|6). [Alle Längenangaben in km].

  1. Bestimme die Fluggeraden beider Flugzeuge sowie ihre Geschwindigkeiten. Zeige, dass die beiden Flugbahnen sich schneiden, jedoch keine Gefahr eines Zusammenstoßes besteht.
  2. Berechne die Entfernung beider Flugzeuge zu dem Zeitpunkt, an dem Flugzeug 1 den gemeinsamen Schnittpunkt beider Flugbahnen erreicht.

 

Lösung zu 1)

Wir beginnen damit die Parameterform der Flugzeuge aufzustellen.

Das Flugzeug 1 fliegt durch den Punkt A und danach durch den Punkt B. Wir verwenden den ersten Punkt A als Aufpunkt des Flugzeugs 1. Wir benötigen nun noch den Richtungsvektor. Dazu ziehen wir den Punkt B heran. Wir können nun den Richtungsvektor aus der Differenz der beiden Punkt bestimmen. Da das Flugzeugt vom Aufpunkt A zum Punkt B fliegt, müssen wir den Aufpunkt abziehen:

\vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} 14 \\ -11 \\ 9 \end{array}\right)  - \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ 10 \end{array}\right)

\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} 10 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right)

 

Wir können für das Flugzeug 1 die Gerade in Parameterform aufstellen:

F1: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ 10 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 10 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right)

 

Das Flugzeug 2 fliegt durch den Punkt C und danach durch den Punkt D. Wir verwenden den ersten Punkt C als Aufpunkt des Flugzeugs 2. Wir benötigen nun noch den Richtungsvektor. Dazu ziehen wir den Punkt D heran. Wir können nun den Richtungsvektor aus der Differenz der beiden Punkt bestimmen. Da das Flugzeugt vom Aufpunkt C zum Punkt D fliegt, müssen wir den Aufpunkt abziehen:

\vec{CD} = D - C = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -32 \\ 6 \end{array}\right)  - \left( \begin{array}{c} -12 \\ -40 \\ 5 \end{array}\right)

\vec{CD} = \left( \begin{array}{c} 12\\ 8 \\ 1 \end{array}\right)

 

Wir können für das Flugzeug 2 die Gerade in Parameterform aufstellen:

F2: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} -12 \\ -40 \\ 5 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 12\\ 8 \\ 1 \end{array}\right)

 

Nachdem wir die Geraden in Parameterform aufgestellt haben, können wir als nächstes den Schnittpunkt berechnen. Da in der Aufgabe schon zu erlesen ist, dass der Schnittpunkt existiert, müssen wir die Richtungsvektoren nicht zusätzlich auf lineare Unabhängigkeit prüfen, da diese gegeben sein muss, damit sich Geraden schneiden.

Wir können also direkt die beiden Geradengleichungen gleichsetzen:

\left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ 10 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 10 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -12 \\ -40 \\ 5 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 12\\ 8 \\ 1 \end{array}\right)

Wir wollen jetzt den Schnittpunkt der beiden Geraden berechnen. Da diese Geraden die Flugbahnen der beiden Flugzeuge angeben, berechnen wir also den Schnittpunkt der Flugbahnen der beiden Flugzeuge. Wir können dann ganz einfach zeigen, dass die beiden Flugzeuge trotzdem nicht kollidieren. 

Zunächst stellen wir wieder das lineare Gleichungssystem auf:

(1) \; 4 + 10t = -12 + 12s

(2) \; -6 - 5t = -40 + 8s

(3) \; 10 - 1t = 5 + 1s

 

Wir wählen zwei beliebige Gleichungen aus und lösen diese nach derselben Variable auf. Wir wählen hier beliebig Gleichung (1) und (2) und lösen diese nach t auf:

(1) \; 4 + 10t = -12 + 12s

t = -1,6 + 1,2s

 

(2) \; -6 - 5t = -40 + 8s

t = 6,8 -1,6s

 

Wir setzen als nächstes die beiden Gleichungen gleich und lösen nach s auf:

-1,6 + 1,2s = 6,8 -1,6s

2,8s = 8,4

s = 3

 

Wir können als nächstes den Parameter t aus (1) oder (2) berechnen:

t = -1,6 + 1,2s = -1,6 + 1,2 \cdot 3 = 2

 

Wir haben für t = 2 und für s = 3 ermittelt. Dass sich die Flugbahnen auch wirklich kreuzen, können wir mittels der nicht verwendeten 3. Gleichung bestimmen, indem wir t und s einsetzen:

(3) \; 10 - 1 \cdot 2 = 5 + 1 \cdot 3

(3) \; 8 = 8

Die Gleichung ist erfüllt, damit kreuzen sich die beiden Flugbahnen. Das war aber bereits in der Aufgabenstellung angegeben. Wir sollen zeigen, dass sich die Flugzeuge nicht zur selben Zeit kreuzen. Dazu betrachten wir die ermittelten Parameter t und s.

Das Flugzeug 1 mit dem Paramater t durchfliegt (ausgehend vom Aufpunkt A) den Schnittpunkt bei t = 2min, also 2 Minuten nach dem Durchfliegen des Aufpunktes.

Das Flugzeug 2 mit dem Parameter s durchfliegt (ausgehend vom Aufpunkt C) den Schnittpunkt bei s = 3min, also 3 Minuten nach dem Durchfliegen des Aufpunktes.

Da beide Flugzeuge ihren Aufpunkt zur gleichen Zeit durchfliegen (siehe Aufgabenstellung), ist das 1. Flugzeug 1 Minute eher am Schnittpunkt als das Flugzeug 2. Damit verpassen sich beide Flugzeuge um 1 Minute.

Zur Berechnung des Schnittpunktes, können wir eine der Geradengleichungen heranziehen und den dazugehörigen Parameter einsetzen:

F1: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ 10 \end{array}\right) + 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 10 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right)

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ 10 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} 20 \\ -10 \\ -2 \end{array}\right)

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 24 \\ -16\\ 8 \end{array}\right)

Die beiden Flugbahnen kreuzen sich am Schnittpunkt (24|-16|8).

 


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