MA4 – Parameterform: Geraden im Raum

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Auch für Geraden im Raum gibt es die Parameterform der Geradengleichung. Es gibt aber keine Koordinatenform oder Normalenform von Geraden im Raum.

In dieser Lerneinheit behandeln Geraden im Raum und wollen dir zeigen, wie du die Parameterform einer Geraden im Raum aufstellen kannst und wie du die Gerade grafisch einzeichnest. 

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis heflen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

 

Parameterdarstellung von Geraden (3D)


Für die Darstellung einer Geraden in Parameterform benötigen wir zwei Punkte auf der Geraden:

Parameterform, Geraden im Raum, Punkte, Beispiel, Zeichnen

 

Um vom Punkt A nach Punkt B zu gelangen, müssen wir 3 Schritte in negative x-Richtung, 3 Schritte in positive y-Richtung und 5 Schritte in negative z-Richtung gehen (Berechnung: B – A):

Parameterform, Geraden im Raum, Aufpunkt, Richtungsvektor

Wir sind vom Punkt A zum Punkt mithilfe der 3 Koordinaten (x,y,z) gelangt. Dazu haben wir den Punkt A vom Punkt B subtrahiert:

\vec{u} = B - A = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right)

Wir haben damit den Richtungsvektor \vec{u} bestimmt, der im Punkt A beginnt und auf den Punkt B zeigt. Der Punkt, indem der Richtungsvektor beginnt, wird auch als Aufpunkt \vec{A} bezeichnet.

 

Damit ergibt sich die folgende Parameterform:

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1\\ -2 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right)

 

Zunächst geben wir den Punkt an, an welchem wir starten. Das ist nichts anderes als der Aufpunkt des Ortsvektors. Wir starten hier im Punkt A. Der Ortsvektor lautet also:

\vec{A} = \left( \begin{array}{c} 1\\ -2 \\ 3 \end{array}\right)

 

Von diesem Punkt aus gehen wir nun in Richtung des zweiten Punktes B. Dieser Abstand von Punkt A zu Punkt B ist der Richtungsvektor:

\vec{u} = B - A = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right)

 

Der Parameter t gibt dabei an, wie “weit” wir in diese Richtung gehen. Setzen wir t = 1, so gehen wir 3 Schritte in negative x-Richtung, 3 Schritte in positive y-Richtung und 5 Schritte in negative z-Richtung (landen also genau im Punkt B). Dabei darf t alle Werte aus den reellen Zahlen annehmen, so dass jeder Punkt auf der Geraden beschrieben wird.

 

Allgemeine Gleichung der Parameterform


Die Parameterform einer Geraden im Raum ist genau so aufgebaut, wie die Darstellung in der Ebene:

 

g: \vec{x} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}

Hierbei ist \vec{A} der Aufpunkt des Ortsvektors (auch: Stützvektor) und \vec{u} der Richtungsvektor der Gerade g. t ist der Parameter, der jede reelle Zahl annehmen kann.

 

Beispiel:

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} -6\\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 12 \\ 8 \\ -4 \end{array}\right)

 

Wir betrachten hier Vektoren im Raum. Eine Zeichnung ist deswegen etwas schwieriger als in der Ebene, da wir ein dreidimensionales Koordinatensystem betrachten müssen:

Vektor im Raum, Raum, Vektor, Koordinatensystem

 

Beispiel: Parameterform einer Geraden im Raum


Beispiel!

Gegeben sei eine Gerade, die durch den Punkt  P = (2|-4|1), in Richtung des Vektors \left( \begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) verläuft.

Gibt die Geradengleichung an!

 

Es ist ganz einfach hier die Parameterform der Geraden zu wählen. Dazu benötigen wir einen Punkt auf der Geraden (hier gegeben mit P) und den Richtungsvektor. Dieser Vektor gibt die Richtung der Geraden an. Der Punkt auf der Geraden kann als Aufpunkt verwendet \vec{A} werden. Der Richtungsvektor \vec{u} ist bereits in der Aufgabenstellung gegeben.

Wir suchen diese Darstellung:

g: \vec{x} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}

 

Mit dem Punkt und dem Vektor aus der Aufgabenstellung erhalten wir:

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -4 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)

 

In der folgenden Grafik siehst du die Gerade eingezeichnet:

Geraden im Raum, Parameterdarstellung, Vektor, Aufpunkt, Richtungsvektor, Parameterform

Wir tragen zunächst den Aufpunkt A ein. Danach gehen wir von diesem Punkt aus die x,y und z-Schritte des Richtungsvektors. Wir haben dann den Richtungsvektor gegeben, der im Aufpunkt beginnt und auf den Punkt P = (1|03) zeigt. Wir können jetzt die Gerade einzeichnen, indem wir eine Gerade durch diese beiden Punkte ziehen:

Parameterdarstellung, Gerade, Raum, Aufpunkt, Richtungsvektor, Koordinatensystem, Grafik



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