Bei der orthogonalen (=senkrechte) Zerlegung eines Vektors a in Bezug auf einen Vektor b, wird der Vektor a in einen Vektor parallel zum Vektor b und in einen Vektor senkrecht zu Vektor b zerlegt. Die Summe dieser beiden zerlegten Vektoren entspricht wieder dem Vektor a.
Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de
Für ein optimales Verständnis hilft dir ein anschauliches Rechenbeispiel zu dem Thema.
Orthogonale Zerlegung: Herleitung der Formeln
Betrachten wir die gegebenen Vektoren und
. Der Vektor
wird nun in einen zu
parallelen und einen zu
senkrechten Vektor zerlegt:
mit
Parallele Zerlegung von
Orthogonale Zerlegung von
Den parallelen Vektor können wir bestimmen, indem wir den Vektor
skalieren:
Wir suchen also den Skalar λ mit dem der Vektor multipliziert werden muss, so dass der parallele Vektor
resultiert.
Damit erhalten wir die folgende Formel:
(1)
Wir haben hier den unbekannten Skalar λ gegeben sowie den unbekannten Vektor , die wir berechnen müssen. Dabei ist darauf zu achten, dass der Vektor
und der Vektor
orthogonal (=senkrecht) zueinander sind. Dies ist dann der Fall, wenn der eingeschlossene Winkel φ zwischen den beiden Vektoren 90° aufweist:
Dadurch dass cos(90°) = 0, wird das Skalarprodukt zu Null. Für uns ist also folgendes relevant:
(2)
Wir gehen nun so vor, dass wir die Gleichung (1) nach dem unbekannten Vektor auflösen und in die Gleichung (2) einsetzen und diese nach λ auflösen.
Wir beginnen damit, die Gleichung (1) nach aufzulösen:
(1) |
Als nächstes setzen wir das Ergebnis in die Gleichung (2) ein und lösen nach λ auf:
(2) |Einsetzen
Wir haben den Skalar λ zur Zerlegung des Vektors parallel zum Vektor
bestimmt:
Wir können nun diesen Skalar λ in die Gleichung (1) aufgelöst nach einsetzen:
Einsetzen von λ und wir erhalten die orthogonale Zerlegung von Vektor :
Damit erhalten wir für die parallele Zerlegung (nach Einsetzen von λ):
Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.
Beispiel: Orthogonale Zerlegung von Vektoren
Gegeben sei das folgende Beispiel:
Bestimmte die orthogonale Zerlegung des Vektors bezüglich des Vektors
!
Wir wollen den Vektor so zerlegen, dass dieser genau senkrecht auf den Vektor
steht. Dazu verwenden wir die folgende Formel:
Zunächst betrachten wir den Bruch und berechnen den Nenner. Hierbei handelt es sich um das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
Danach betrachten wir den Nenner und berechnen das Skalarprodukt aus dem Vektor mit sich selbst:
Wir können nun den Bruch berechnen:
Als nächstes berechnen wir:
Dies ist der hintere Teil der Gleichung. Hierbei handelt es sich um die parallele Zerlegung des Vektors a in Bezug auf den Vektor b:
Wir setzen diesen resultierenden Vektor ein:
Wir müssen nun noch die Subtraktion der beiden Vektoren vornehmen. Dazu setzen wir den Vektor a ein:
Wir haben den Vektor in einen Vektor senkrecht zu dem Vektor b zerlegt (
). Dieser Vektor steht genau senkrecht (=im rechten Winkel) auf dem Vektor
:
In der linken Grafik siehst du zunächst die beiden Vektoren und
eingezeichnet. Bei
handelt es sich um den zu
parallelen Vektor, bei
um den zu Vektor
senkrechten Vektor.
In der rechten Grafik wurden die Vektoren dann so verschoben, dass eine grafische Vektoraddition der beiden zerlegten Vektoren resultiert. Der parallele Vektor beginnt im Anfangspunkt des Vektors , der senkrechte Vektor wird an diesen Vektor angelegt. Wir sehen sofort, dass zwischen
und
ein rechter Winkel gegeben ist. Damit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Außerdem sehen wir, dass aus der grafischen Vektoraddition folgendes resultiert:
Wir wollen hier die Probe durchführen:
Es resultiert wieder der Vektor .
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