MA4 – Orthogonale Zerlegung von Vektoren

Bei der orthogonalen (=senkrechte) Zerlegung eines Vektors a in Bezug auf einen Vektor b, wird der Vektor a in einen Vektor parallel zum Vektor b und in einen Vektor senkrecht zu Vektor b zerlegt. Die Summe dieser beiden zerlegten Vektoren entspricht wieder dem Vektor a.

In dieser Lerneinheit behandeln die orthogonale Zerlegung von Vektoren. Wir zeigen dir welche Formeln du benötigst und ein Beispiel für die Durchführung der Zerlegung.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein anschauliches Rechenbeispiel zu dem Thema.

Orthogonale Zerlegung: Herleitung der Formeln

Betrachten wir die gegebenen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ . Der Vektor $\vec{a}$ wird nun in einen zu $\vec{b}$ parallelen und einen zu $\vec{b}$ senkrechten Vektor zerlegt:

$\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp}$

mit

$\vec{a}_{\parallel}$ Parallele Zerlegung von $\vec{a}$

$\vec{a}_{\perp}$ Orthogonale Zerlegung von $\vec{a}$

Den parallelen Vektor $\vec{a}_{\parallel}$ können wir bestimmen, indem wir den Vektor $\vec{b}$ skalieren:

$\vec{a}_{\parallel} = \lambda \cdot \vec{b}$

Wir suchen also den Skalar λ mit dem der Vektor $\vec{b}$ multipliziert werden muss, so dass der parallele Vektor $\vec{a}$ resultiert.

Damit erhalten wir die folgende Formel:

(1) $\vec{a} = \lambda \cdot \vec{b} + \vec{a}_{\perp}$

Wir haben hier den unbekannten Skalar λ gegeben sowie den unbekannten Vektor $\vec{a}_{\perp}$ , die wir berechnen müssen. Dabei ist darauf zu achten, dass der Vektor $\vec{b}$ und der Vektor $\vec{a}_{\perp}$ orthogonal (=senkrecht) zueinander sind. Dies ist dann der Fall, wenn der eingeschlossene Winkel φ zwischen den beiden Vektoren 90° aufweist:

$\vec{b} \cdot \vec{a}_{\perp} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}_{\perp}| \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$

Dadurch dass cos(90°) = 0, wird das Skalarprodukt zu Null. Für uns ist also folgendes relevant:

(2) $\vec{b} \cdot \vec{a}_{\perp} = 0$

Wir gehen nun so vor, dass wir die Gleichung (1) nach dem unbekannten Vektor $\vec{a}_{\perp}$ auflösen und in die Gleichung (2) einsetzen und diese nach λ auflösen.

Wir beginnen damit, die Gleichung (1) nach $\vec{a}_{\perp}$ aufzulösen:

(1) $\vec{a} = \lambda \cdot \vec{b} + \vec{a}_{\perp}$ | $-\lambda \cdot \vec{b}$

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \lambda \cdot \vec{b}$

Als nächstes setzen wir das Ergebnis in die Gleichung (2) ein und lösen nach λ auf:

(2) $\vec{b} \cdot \vec{a}_{\perp} = 0$ |Einsetzen

$\vec{b} \cdot (\vec{a} - \lambda \cdot \vec{b}) = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \lambda \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{a} - \lambda \cdot \vec{b} \vec{b} = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{a} = \lambda \cdot \vec{b} \vec{b}$

$\lambda = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} }{\vec{b} \vec{b}}$

Wir haben den Skalar λ zur Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ parallel zum Vektor $\vec{b}$ bestimmt:

Skalar

$\lambda = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} }{\vec{b} \vec{b}}$

Wir können nun diesen Skalar λ in die Gleichung (1) aufgelöst nach $\vec{a}_{\perp}$ einsetzen:

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \lambda \cdot \vec{b}$

Einsetzen von λ und wir erhalten die orthogonale Zerlegung von Vektor $\vec{a}$ :

Orthogonale Zerlegung von Vektoren

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} }{\vec{b} \vec{b}} \cdot \vec{b}$

Damit erhalten wir für die parallele Zerlegung (nach Einsetzen von λ):

Parallele Zerlegung

$\vec{a}_{\parallel} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} }{\vec{b} \vec{b}} \cdot \vec{b}$

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.

Beispiel: Orthogonale Zerlegung von Vektoren

Beispiel!

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Gegeben sei das folgende Beispiel:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array} \right)$

Bestimmte die orthogonale Zerlegung des Vektors $\vec{a}_{\perp}$ bezüglich des Vektors $\vec{b}$ !

Wir wollen den Vektor $\vec{a}$ so zerlegen, dass dieser genau senkrecht auf den Vektor $\vec{b}$ steht. Dazu verwenden wir die folgende Formel:

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} }{\vec{b} \vec{b}} \cdot \vec{b}$

Zunächst betrachten wir den Bruch und berechnen den Nenner. Hierbei handelt es sich um das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = a_1b_1 + a_2b_2 = 2 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 20$

Danach betrachten wir den Nenner und berechnen das Skalarprodukt aus dem Vektor $\vec{b}$ mit sich selbst:

$\vec{b} \cdot \vec{b} = b_1b_1 + b_2b_2 = 6 \cdot 6 + 2 \cdot 2 = 40$

Wir können nun den Bruch berechnen:

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \frac{20}{40} \cdot \vec{b}$

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b}$

Als nächstes berechnen wir:

$\frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 6 \\ \frac{1}{2} \cdot 2 \end{array} \right)$

$\frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$

Dies ist der hintere Teil der Gleichung. Hierbei handelt es sich um die parallele Zerlegung des Vektors a in Bezug auf den Vektor b:

$\vec{a}_{\parallel} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$

Wir setzen diesen resultierenden Vektor ein:

$\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$

Wir müssen nun noch die Subtraktion der beiden Vektoren vornehmen. Dazu setzen wir den Vektor a ein:

$\vec{a}_{\perp} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$

$\vec{a}_{\perp} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right)$

Wir haben den Vektor $\vec{a}$ in einen Vektor senkrecht zu dem Vektor b zerlegt ( $\vec{a}_{\perp}$ ). Dieser Vektor steht genau senkrecht (=im rechten Winkel) auf dem Vektor $\vec{b}$ :

In der linken Grafik siehst du zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}_{\parallel}$ und $\vec{a}_{\perp}$ eingezeichnet. Bei $\vec{a}_{\parallel}$ handelt es sich um den zu $\vec{b}$ parallelen Vektor, bei $\vec{a}_{\perp}$ um den zu Vektor $\vec{b}$ senkrechten Vektor.

In der rechten Grafik wurden die Vektoren dann so verschoben, dass eine grafische Vektoraddition der beiden zerlegten Vektoren resultiert. Der parallele Vektor beginnt im Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ , der senkrechte Vektor wird an diesen Vektor angelegt. Wir sehen sofort, dass zwischen $\vec{b}$ und $\vec{a}_{\perp}$ ein rechter Winkel gegeben ist. Damit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Außerdem sehen wir, dass aus der grafischen Vektoraddition folgendes resultiert:

$\vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp} = \vec{a}$

Wir wollen hier die Probe durchführen:

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array} \right)$

Es resultiert wieder der Vektor $\vec{a}$ .

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