Ma4 – Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren

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In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie du mittels Gauß Algorithmus die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren bestimmen kannst. Dazu tragen wir das lineare Gleichungssystem in eine Matrix ein und führen elementare Zeilenumformungen durch. Wir versuchen so, dass die letzte Zeile der Matrix zu Null wird. Gelingt uns dies, so sind die drei Vektoren linear abhängig voneinander.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie du die lineare Abhängigkeit von Vektoren mittels Gauß Algorithmus bestimmst.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

 

Nachdem wir bereits die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren in den vorangegangenen Lerneinheiten kennengelernt haben und wie man diese mittels Einsetzungsverfahren und Determinante bestimmt, wollen wir uns jetzt anschauen, wie die lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren mittels Gauß Algorithmus bestimmt wird.

Vektoren heißen linear abhängig, wenn es eine Linearkombination von ihnen gibt, die Null ergibt.

Wir können das lineare Gleichungssystem aus drei Vektoren also auch so aufstellen, dass der Nullvektor als Linearkombination der anderen drei Vektoren dargestellt wird:

\vec{0} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c}

mit

r,s,t \in \mathbb{R}

 

Die Variablen r, s und t dürfen den Wert Null annehmen, es dürfen aber nicht alle zu Null werden. Tritt hingegen der Fall ein, dass r = s = t = 0 werden, dann sind die Vektoren linear unabhängig voneinander.

 

Gauß Algorithmus für lineare Abhängigkeit


Wir wenden den Gauß Algorithmus für die Bestimmung der linearen Abhängigkeit von drei Vektoren an, indem wir den Rang bestimmen. Der Rang einer Matrix gibt an, wie viele der Vektoren linear unabhängig sind.

  • Ist der Rang kleiner als die Anzahl der Vektoren, so sind nicht alle Vektoren linear unabhängig. Damit gibt es linear abhängige Vektoren.  Die Vektoren (insgesamt) sind dann linear abhängig.
  • Ist der Rang gleich der Anzahl der Vektoren, so sind alle gegebenen Vektoren linear unabhängig.

Um den Rang der Matrix und damit die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen, tragen wir alle Vektoren in eine Matrix ein und führen elementare Zeilenumformungen durch. 

Merk’s dir!

Elementare Zeilenumformungen sind:

  • Vertauschen von zwei Zeilen,
  • Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl (außer 0)
  • Addition/Subtraktion des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

 

Wird durch diese Zeilenumformungen die letzte Zeile zu Null, dann ist der Rang der Matrix 2 und damit sind zwei linear unabhängige Vektoren gegeben. Da wir aber drei Vektoren gegeben habe, sind die Vektoren insgesamt also linear abhängig.

Wird die letzte Zeile nicht zu Null, so ist der Rang der Matrix 3 und damit sind alle 3 Vektoren linear unabhängig.

 

Schauen wir uns das ganze mal an zwei Beispielen an.

Beispiel 1: Lineare Abhängigkeit und Gauß Algorithmus


Beispiel!

Gegeben seien die drei Vektoren:

\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)

\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}\right)

\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 7 \\ -1 \\ 7 \end{array}\right)

Sind die drei Vektoren linear abhängig voneinander? Bestimme mittels Gauß Algorithmus!

 

Beim Gauß Algorithmus stellen wir das lineare Gleichungssystem so auf, dass der Nullvektor als Linearkombination aller drei Vektoren dargestellt wird. Dabei treten drei Variablen auf:

\vec{0} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c}

 

Das lineare Gleichungssystem sieht dann wie folgt aus:

1r + 2s + 4t = 0

3r + 1s + 5t = 0

7r - 1s + 7t = 0

 

Wir tragen dieses lineare Gleichungssystem in eine Matrix ein. Danach führen wie elementare Zeilenumformungen durch. In der folgenden Grafik siehst du, wie du am Besten vorgehst, um Nullen in der letzten Zeile zu erzeugen:

Lineare Abhängigkeit, Gauß Algorithmus, Gauß, Rang, Matrix

 

Wir starten immer mit dem Eintrag unten links und bringen diesen mit der 1. oder 2.Zeile auf Null. Danach betrachten wir den Eintrag genau darüber und bringen diesen mit der 1. Zeile auf Null. Danach betrachten wir die weiteren Einträge in der untersten Zeile und bringen diese mit der 2. Zeile auf Null. Resultiert am Ende die letzte Zeile mit Nullen, so sind die drei Vektoren linear abhängig voneinander. 

Das Ergebnis dieser Berechnung ist nichts anderes als der Rang der Matrix, der hier 2 ergibt, da die letzte Zeile zu Null wird. Damit sind zwei Vektoren linear unabhängig, nicht aber die drei Vektoren. Im Ergebnis (insgesamt) sind also die Vektoren linear voneinander abhängig.

Betrachten wir hierzu ein weiteres Beispiel.

 

Beispiel 2: Lineare Abhängigkeit und Gauß Algorithmus


Beispiel!

Gegeben seien die drei Vektoren:

\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 9 \end{array}\right)

\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 8 \end{array}\right)

\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)

Sind die drei Vektoren linear abhängig voneinander?

 

Beim Gauß Algorithmus stellen wir das lineare Gleichungssystem so auf, dass der Nullvektor als Linearkombination aller drei Vektoren dargestellt wird. Dabei treten drei Variablen auf:

\vec{0} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c}

 

Das lineare Gleichungssystem sieht dann wie folgt aus:

2r + 4s + 9t = 0

3r + 2s + 8t = 0

5r - 1s + 2t = 0

 

Wir tragen das lineare Gleichungssystem in eine Matrix ein und wenden die elementaren Zeilenumformungen an:

Lineare Abhängigkeit, Gauß Algorithmus, Matrix, Rang

Wir starten immer mit dem Eintrag unten links und bringen diesen mit der 1. oder 2.Zeile auf Null. Danach betrachten wir den Eintrag genau darüber und bringen diesen mit der 1. Zeile auf Null. Danach betrachten wir die weiteren Einträge in der untersten Zeile und bringen diese mit der 2. Zeile auf Null. Resultiert am Ende die letzte Zeile mit Nullen, so sind die drei Vektoren linear abhängig voneinander. 

Das Ergebnis dieser Berechnung ist nichts anderes als der Rang der Matrix, der hier 3 ergibt, da die letzte Zeile zu nicht zu Null wird. Damit sind alle drei Vektoren linear unabhängig.



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