In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie wir die Gleichung einer Geraden in der Ebene von der Koordinatenform in Normalenform umwandelst.
Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de
Für ein optimales Verständnis hilft dir ein anschauliches Rechenbeispiel zu dem Thema.
Schauen wir uns einmal die drei unterschiedlichen Formen an, die wir benötigen:
Koordinatenform
Normalenform
Wir zeigen anhand eines Beispiels, wie wir die Koordinatenform in Normalenform umwandeln.
Vorgehensweise: Koordinatenform in Normalenform
Wir wollen die Koordinatenform in Normalenform umwandeln:
- Zunächst bilden wir den Normalenvektor
, indem wir die Koordinaten des Normalenvektors aus der Koordinatenform ablesen.
- Danach wählen wir den Aufpunkt bzw. Stützvektor
, indem für x einen Wert in die Koordinatenform einsetzen und nach y auflösen. Wir erhalten dann P(x|y). Das ist auch gleichzeitig der Aufpunkt (Hinweis: Es gibt unendlich viele Aufpunkte. Alle Punkte auf der Geraden können als Aufpunkt definiert werden).
- Als nächstes setzen wir einfach den Stützvektor und den Normalenvektor in die Normalenform ein.
Von
nach
Gegeben sei die folgende Gerade in Koordinatenform:
Für die Normalenform benötigen wir den Normalenvektor , der sofort aus den Koeffizienten der Koordinatenform abgelesen werden kann, denn:
Hierbei ist und
:
Jetzt benötigen wir nur noch einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt. Dazu setzen wir für x oder y einen Wert ein und berechnen die übrige Variable. Setzen wir zum Beispiel x = 0, so erhalten wir für y:
Wir erhalten den Punkt P(0|6). Damit haben wir einen Aufpunkt des Stützvektor gegeben und können die Normalenform aufstellen:
Jeder Punkt auf der Geraden kann ein Aufpunkt des Stützvektors sein.
Einzeichnen der Geraden aus Koordinatenform und Normalenform
In der nachfolgenden Grafik siehst du die Gerade eingezeichnet:
Wir sehen zunächst die Gerade mittels Steigungsform eingezeichnet. Die Steigungsform erhalten wir einfach, indem wir die Koordinatenform nach y auflösen. Wir haben hier den Schnittpunkt mit der y-Achse aus der Steigungsform abgelesen (b = 6) und dann die Steigung m = -3 bzw. m = -3/1 von diesem Punkt aus eingetragen. Wir bewegen uns also von dem Schnittpunkt mit der y-Achse (0|6) 1 Schritt in positive x-Richtung und 3 Schritte in negative y-Richtung (-3).
Die Gerade können wir auch aus der Normalenform einzeichnen. Dazu zeichnen wir zunächst den Stützvektor ein, der ein Ortsvektor ist und damit im Koordinatenursprung beginnt und auf den Punkt (0|6) zeigt.
Danach setzen wir für y einen beliebigen Wert in die Normalenform ein und lösen nach x auf (oder umgekehrt). Wir haben hier y = 0 eingesetzt:
Zunächst berechnen wir die Differenz in der Klammer:
Danach berechnen wir das Skalarprodukt:
Wir erhalten also einen weiteren Punkt auf der Geraden P(2|0). Die Gerade verläuft durch den Aufpunkt des Stützvektors (0|6) und den ermittelten Punkt (2|0).
Der Normalenvektor kann dann eingezeichnet werden, indem dieser zunächst als Ortsvektor gezeichnet wird, der auf den Punkt (3|1) zeigt und dann in den Aufpunkt des Stützvektors verschoben wird.
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