MA4 – Koordinatenform in Normalenform – Geraden in der Ebene

In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie wir die Gleichung einer Geraden in der Ebene von der Koordinatenform in Normalenform umwandelst.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: MA4 – Vektorrechnung

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Koordinatenform in Normalenform | Grundlagen

In dieser Lerneinheit behandeln Geraden in der Ebene und wollen dir zeigen, wie du die Koordinatenform einer Geraden in der Ebene in die N-form umwandelst. Wir zeigen dir welche Formeln du benötigst und zeigen dir Schritt für Schritt wie das ganze funktioniert. Außerdem zeigen wir dir, wie du die Gerade aus der Parameterform und N-form einzeichnest.

Koordinatenform in Normalenform? Umwandlung und Anwendung

Die Umwandlung der Koordinatenform einer Ebene in die Normalenform ist ein wichtiger Schritt in der analytischen Geometrie. Diese Transformation erleichtert die Analyse und Berechnung von Abständen und Winkeln im dreidimensionalen Raum. In dieser Lerneinheit erfährst du, wie du die Koordinatenform in die Normalenform umwandelst und welche praktischen Anwendungen diese Formen haben.

Koordinatenform in Normalenform | Formeln

Schauen wir uns einmal die drei unterschiedlichen Formen an, die wir benötigen:

Formen

Koordinatenform

$ax + bx = c$

Normalenform

$\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$

Wir zeigen anhand eines Beispiels, wie wir die Koordinatenform in Normalenform umwandeln.

Vorgehensweise: Koordinatenform in Normalenform

Wir wollen die Koordinatenform in Normalenform umwandeln:

Zunächst bilden wir den Normalenvektor $\vec{n}$ , indem wir die Koordinaten des Normalenvektors aus der Koordinatenform ablesen.
Danach wählen wir den Aufpunkt bzw. Stützvektor $\vec{p}$ , indem für x einen Wert in die Koordinatenform einsetzen und nach y auflösen. Wir erhalten dann P(x|y). Das ist auch gleichzeitig der Aufpunkt (Hinweis: Es gibt unendlich viele Aufpunkte. Alle Punkte auf der Geraden können als Aufpunkt definiert werden).
Als nächstes setzen wir einfach den Stützvektor und den Normalenvektor in die Normalenform ein.

Umwandlung

Von

$ax + bx = c$

nach

$\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$

Gegeben sei die folgende Gerade in Koordinatenform:

$3x + y = 6$

Für die Normalenform benötigen wir den Normalenvektor $\vec{n}$ , der sofort aus den Koeffizienten der Koordinatenform abgelesen werden kann, denn:

$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)$

Hierbei ist $a = 3$ und $b = 1$ :

$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right)$

Jetzt benötigen wir nur noch einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt. Dazu setzen wir für x oder y einen Wert ein und berechnen die übrige Variable. Setzen wir zum Beispiel x = 0, so erhalten wir für y:

$3 \cdot 0 + y = 6$

$y = 6$

Wir erhalten den Punkt P(0|6). Damit haben wir einen Aufpunkt des Stützvektor $\vec{p}$ gegeben und können die Normalenform aufstellen:

$g: \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) \cdot (\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array}\right)) = 0$

Merk’s dir!

Jeder Punkt auf der Geraden kann ein Aufpunkt des Stützvektors sein.

Einzeichnen der Geraden aus Koordinatenform und Normalenform

In der nachfolgenden Grafik siehst du die Gerade eingezeichnet:

Normalenform, Steigungsform, Koordinatenform, Stützvektor, Normalenvektor, Koordinatenform in Normalenform, Stützvektor

Wir sehen zunächst die Gerade mittels Steigungsform eingezeichnet. Die Steigungsform erhalten wir einfach, indem wir die Koordinatenform nach y auflösen. Wir haben hier den Schnittpunkt mit der y-Achse aus der Steigungsform abgelesen (b = 6) und dann die Steigung m = -3 bzw. m = -3/1 von diesem Punkt aus eingetragen. Wir bewegen uns also von dem Schnittpunkt mit der y-Achse (0|6) 1 Schritt in positive x-Richtung und 3 Schritte in negative y-Richtung (-3).

Die Gerade können wir auch aus der Normalenform einzeichnen. Dazu zeichnen wir zunächst den Stützvektor $\vec{p} = (0, 6)$ ein, der ein Ortsvektor ist und damit im Koordinatenursprung beginnt und auf den Punkt (0|6) zeigt.

Danach setzen wir für y einen beliebigen Wert in die Normalenform ein und lösen nach x auf (oder umgekehrt). Wir haben hier y = 0 eingesetzt:

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) \cdot (\left( \begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array}\right)) = 0$

Zunächst berechnen wir die Differenz in der Klammer:

$\left( \begin{array}{c} x-0 \\ 0-6 \end{array}\right)$

$\left( \begin{array}{c} x\\ -6 \end{array}\right)$

Danach berechnen wir das Skalarprodukt:

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} x\\ -6 \end{array}\right) = 0$

$3 \cdot x + 1 \cdot (-6) = 0$

$3x - 6 = 0$

$3x = 6$

$x = 2$

Wir erhalten also einen weiteren Punkt auf der Geraden P(2|0). Die Gerade verläuft durch den Aufpunkt des Stützvektors (0|6) und den ermittelten Punkt (2|0).

Der Normalenvektor kann dann eingezeichnet werden, indem dieser zunächst als Ortsvektor gezeichnet wird, der auf den Punkt (3|1) zeigt und dann in den Aufpunkt des Stützvektors verschoben wird.

Anwendung in der Praxis

Ingenieurwesen: Analyse von Flächen und Strukturen.
Physik: Untersuchung von Ebenen und Kräften in der Raummechanik.
Computergraphik: Modellierung und Rendering von 3D-Oberflächen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist die Koordinatenform einer Ebene?

Diese Form ist eine Gleichung der Form $ax + bx = c$ , die eine Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt.

2. Was ist die Normalenform einer Ebene?

Diese Form ist eine Darstellung der Form $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$ , bei der $\vec{n}$ der Normalenvektor ist und $\vec{p}$ ein Punkt auf der Ebene.

3. Wie wandle ich die Koordinatenform in die Normalenform um?

Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}$ aus der Koordinatenform. Finde einen Punkt $\vec{p}$ auf der Ebene. Stelle dann die Normalenform $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$ auf.

4. Wofür wird die Normalenform verwendet?

Sie erleichtert die Berechnung von Abständen, Winkeln und Projektionen im Raum.

5. Was ist ein Normalenvektor?

Er ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht und ihre Richtung bestimmt.

Zusammenfassung

Die Umwandlung der Koordinatenform einer Ebene $ax + bx = c$ in die Normalenform $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$ ist ein wesentlicher Schritt in der analytischen Geometrie. Diese Transformation ermöglicht eine einfachere Analyse von Abständen und Winkeln im dreidimensionalen Raum. Die Normalenform betont die senkrechte Beziehung zwischen dem Normalenvektor und jedem Vektor in der Ebene, was in vielen praktischen Anwendungen von großer Bedeutung ist.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.

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