Ma4 – Koordinatenform in Normalenform – Geraden in der Ebene

In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie wir die Gleichung einer Geraden in der Ebene von der Koordinatenform in Normalenform umwandelst.

In dieser Lerneinheit behandeln Geraden in der Ebene und wollen dir zeigen, wie du die Koordinatenform einer Geraden in der Ebene in die Normalenform umwandelst. Wir zeigen dir welche Formeln du benötigst und zeigen dir Schritt für Schritt wie das ganze funktioniert. Außerdem zeigen wir dir, wie du die Gerade aus der Parameterform und Normalenform einzeichnest.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein anschauliches Rechenbeispiel zu dem Thema.

Schauen wir uns einmal die drei unterschiedlichen Formen an, die wir benötigen:

Koordinatenform

$ax + bx = c$

Normalenform

$\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$

Wir zeigen anhand eines Beispiels, wie wir die Koordinatenform in Normalenform umwandeln.

Vorgehensweise: Koordinatenform in Normalenform

Wir wollen die Koordinatenform in Normalenform umwandeln:

Zunächst bilden wir den Normalenvektor $\vec{n}$ , indem wir die Koordinaten des Normalenvektors aus der Koordinatenform ablesen.
Danach wählen wir den Aufpunkt bzw. Stützvektor $\vec{p}$ , indem für x einen Wert in die Koordinatenform einsetzen und nach y auflösen. Wir erhalten dann P(x|y). Das ist auch gleichzeitig der Aufpunkt (Hinweis: Es gibt unendlich viele Aufpunkte. Alle Punkte auf der Geraden können als Aufpunkt definiert werden).
Als nächstes setzen wir einfach den Stützvektor und den Normalenvektor in die Normalenform ein.

Von

$ax + bx = c$

nach

$\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$

Gegeben sei die folgende Gerade in Koordinatenform:

$3x + y = 6$

Für die Normalenform benötigen wir den Normalenvektor $\vec{n}$ , der sofort aus den Koeffizienten der Koordinatenform abgelesen werden kann, denn:

$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)$

Hierbei ist $a = 3$ und $b = 1$ :

$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right)$

Jetzt benötigen wir nur noch einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt. Dazu setzen wir für x oder y einen Wert ein und berechnen die übrige Variable. Setzen wir zum Beispiel x = 0, so erhalten wir für y:

$3 \cdot 0 + y = 6$

$y = 6$

Wir erhalten den Punkt P(0|6). Damit haben wir einen Aufpunkt des Stützvektor $\vec{p}$ gegeben und können die Normalenform aufstellen:

$g: \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) \cdot (\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array}\right)) = 0$

Merk’s dir!

Jeder Punkt auf der Geraden kann ein Aufpunkt des Stützvektors sein.

Einzeichnen der Geraden aus Koordinatenform und Normalenform

In der nachfolgenden Grafik siehst du die Gerade eingezeichnet:

Wir sehen zunächst die Gerade mittels Steigungsform eingezeichnet. Die Steigungsform erhalten wir einfach, indem wir die Koordinatenform nach y auflösen. Wir haben hier den Schnittpunkt mit der y-Achse aus der Steigungsform abgelesen (b = 6) und dann die Steigung m = -3 bzw. m = -3/1 von diesem Punkt aus eingetragen. Wir bewegen uns also von dem Schnittpunkt mit der y-Achse (0|6) 1 Schritt in positive x-Richtung und 3 Schritte in negative y-Richtung (-3).

Die Gerade können wir auch aus der Normalenform einzeichnen. Dazu zeichnen wir zunächst den Stützvektor $\vec{p} = (0, 6)$ ein, der ein Ortsvektor ist und damit im Koordinatenursprung beginnt und auf den Punkt (0|6) zeigt.

Danach setzen wir für y einen beliebigen Wert in die Normalenform ein und lösen nach x auf (oder umgekehrt). Wir haben hier y = 0 eingesetzt:

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) \cdot (\left( \begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array}\right)) = 0$

Zunächst berechnen wir die Differenz in der Klammer:

$\left( \begin{array}{c} x-0 \\ 0-6 \end{array}\right)$

$\left( \begin{array}{c} x\\ -6 \end{array}\right)$

Danach berechnen wir das Skalarprodukt:

$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} x\\ -6 \end{array}\right) = 0$

$3 \cdot x + 1 \cdot (-6) = 0$

$3x - 6 = 0$

$3x = 6$

$x = 2$

Wir erhalten also einen weiteren Punkt auf der Geraden P(2|0). Die Gerade verläuft durch den Aufpunkt des Stützvektors (0|6) und den ermittelten Punkt (2|0).

Der Normalenvektor kann dann eingezeichnet werden, indem dieser zunächst als Ortsvektor gezeichnet wird, der auf den Punkt (3|1) zeigt und dann in den Aufpunkt des Stützvektors verschoben wird.

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