Ma4 – Koordinatenform einer Ebene

Ebenen im Raum können unterschiedlich dargestellt werden. Eine Möglichkeit der Darstellung ist über die Koordinatenform. Aus der Koordinatenform einer Ebene kannst du den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht, sofort ablesen. Außerdem ist die Bestimmung der Spurpunkte der Ebene (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) sehr einfach.

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Koordinatenform von Ebenen und wollen dir zeigen, wie du einen Punkt auf der Ebene und den Normalenvektor mittels Koordinatenform bestimmst.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein anschauliches Rechenbeispiele zu dem Thema.

Koordinatenform einer Ebene

Wir haben bereits die Koordinatenform einer Geraden in der Ebene kennengelernt:

$ax+by=c$

mit

$a,b,c \in \mathbb{R}$

Jeder Punkt (x,y) der diese Gleichung erfüllt, liegt auf der Geraden.

Wir betrachten hier die Koordinatenform einer Ebene, die wie folgt aussieht:

Koordinatenform der Ebene

$ax+by + cz = d$

mit

$a,b,c,d \in \mathbb{R}$

Jeder Punkt (x,y,z) der diese Gleichung erfüllt, liegt auf der Ebene.

Beispiel: Punkt auf Ebene

Beispiel!

Gegeben sei die Ebene in Koordinatenform:

$E: 4x + 2y + 3z = 12$

Liegt der Punkt (1|-2|4) auf der Ebene?

Um herauszufinden, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, setzen wir diesen Punkt in die Koordinatenform ein und schauen, ob die Gleichung erfüllt wird:

$4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 = 12$

$12 = 12$

Da die linke Seite und die rechte Seite gleich sind, ist die Gleichung erfüllt. Damit liegt der Punkt auf der Ebenen.

Schauen wir uns in der folgenden Grafik zunächst die Ebene E an:

Wir haben die Ebene E begrenzt eingezeichnet. Die Zeichnung der Ebene haben wir so vorgenommen, dass wir zunächst die Spurpunkte (Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen) berechnet haben und daraus die Parameterform aufgestellt haben. Die Einzeichnung der Parameterform ist mit Aufpunkt und Richtungsvektoren sehr einfach vorzunehmen (siehe vorherige Lektion Ebenen: Parameterform).

Info:

Die Berechnung der Spurpunkte folgt in der nachfolgenden Lektion Spurpunkte einer Ebene und die Umwandlung von der Koordinatenform in Parameterform in der folgenden Lektion Umwandlung der Ebenengleichungen.

In der nachfolgenden Grafik siehst du erneut die Ebene E mit ihren Spurpunkten sowie dem Punkt P. Dazu haben wir die Ebene vergrößert, so dass auch zu erkennen ist, dass der Punkt auf der Ebene liegt:

In der obigen Grafik siehst du den Punkt P(1|-2|4) eingezeichnet, der auf der Ebene E liegt.

Normalenvektor – Koordinatenform

Aus den Koeffizienten a, b und c können wir den Normalenvektor bestimmen. Das ist der Vektor, der senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Ebene steht. Man sagt auch, der Normalenvektor ist orthogonal zur Ebene.

Der Normalenvektor wird aus den Koeffizienten der Koordinatenform wie folgt bestimmt:

$E: \textbf{a}x + \textbf{b}y + \textbf{c}z = d$

$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)$

Beispiel: Normalenvektor bestimmen

Beispiel!

Gegeben sei die Ebene in Koordinatenform:

$E: 4x + 2y + 3z = 12$

a) Wie lautet der dazugehörige Normalenvektor?

b) Gibt es nur einen Normalenvektor zu einer Ebene?

Lösung a)

Zunächst bestimmen wir den Normalenvektor der gegebenen Ebene aus den Koeffizienten a, b und c:

$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)$

$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$

Wir wollen uns jetzt den berechneten Normalenvektor $\vec{n}$ anschauen, der senkrecht auf dieser Ebene E steht:

In der obigen Grafik ist der Normalenvektor der Ebene E eingezeichnet. Wir sehen genau, dass der Normalenvektor $\vec{n}$ vom Ursprung auf die Ebene zeigt bzw. bei Verlängerung durch sie durchgeht und dann im 90°-Winkel auf dieser steht.

Lösung b)

Da der Normalenvektor senkrecht zu einer Ebene liegt, ist alleine die Richtung von Bedeutung. Je nachdem auf welcher Seite der Ebene man den Normalenvektor platziert, zeigt er in zwei verschiedene Richtungen. Die Länge des Normalenvektors ist nicht entscheidend, kann also beliebig variiert werden. Daher gibt es nicht den einen Normalenvektor, sondern unendlich viele. Alle Vielfache des berechneten Normalenvektors, sind demnach ebenfalls Normalenvektoren der Ebene.

Sonderfälle der Koordinatenform

Es gibt einige Sonderfälle der Koordinatenform, die anhand der Koeffizienten a,b,c und d zu erkennen sind:

a = 0: Die Ebene verläuft parallel zur x-Achse:

In der obigen Grafik siehst du die blaue Ebene einzeichnet, die parallel zur x-Achse verläuft. Da a = 0 ist, fällt in der Koordinatendarstellung die x-Koordinate weg, damit sind nur noch die y- und z-Koordinaten enthalten. Damit existiert der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse nicht und damit ist die Ebene parallel zur x-Achse.

b = 0: Die Ebene verläuft parallel zur y-Achse:

In der obigen Grafik siehst du die blaue Ebene einzeichnet, die parallel zur y-Achse verläuft. Da b = 0 ist, fällt in der Koordinatendarstellung die y-Koordinate weg, damit sind nur noch die x- und z-Koordinaten enthalten. Damit existiert der Schnittpunkt der Ebene mit der y-Achse nicht und damit ist die Ebene parallel zur y-Achse.

c = 0: Die Ebene verläuft parallel zur z-Achse

In der obigen Grafik siehst du die blaue Ebene einzeichnet, die parallel zur z-Achse verläuft. Da c = 0 ist, fällt in der Koordinatendarstellung die z-Koordinate weg, damit sind nur noch die x- und y-Koordinaten enthalten. Damit existiert der Schnittpunkt der Ebene mit der z-Achse nicht und damit ist die Ebene parallel zur z-Achse.

d = 0: Die Ebene verläuft durch den Koordinatenursprung

d = 1: Die Ebene schneidet die Achsen bei (1/a|0|0), (0|1/b|0) und (0|0|1/c):

In der obigen Grafik haben wir die Ebene $E: x + y + z = 1$ gegeben. Wir haben d = 1 gegeben, damit können wir die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen direkt aus den Koeffizienten der Ebenengleichung bestimmen. Mit a = 1, b = 1 und c = 1 ergeben sich die folgenden Schnittpunkte:

$P_1(1|0|0)$ , $P_2(0|1|0)$ und $P_3(0|0|1)$

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