MA4 – Fläche + Winkel eines Dreiecks aus 3 Punkten

Mittels der Länge des Vektorprodukts können wir die Winkel und die Fläche eines Dreiecks ABC bestimmen, wobei die Punkte A, B und C gegeben sind.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie du die Fläche eines Dreiecks und die Winkel bestimmst, wenn drei Punkte gegeben sind.

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie du die Fläche und die Winkel von einem Dreieck aus drei Punkten bestimmst, wenn die drei Punkte gegeben sind.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein anschauliches Rechenbeispiel zu dem Thema.

Wir wissen, dass wir den Flächeninhalt eines aufgespannten Parallelogramms aus zwei Vektoren mittels der Länge des Vektorprodukt bestimmen können. Ein Parallelogramm kann in zwei gleich große Dreiecke zerteilt werden:

Mit diesem Wissen können wir den Flächeninhalt eines Dreiecks aus drei Punkten bestimmen. Wie das genau funktioniert wollen wir uns im Folgenden anschauen.

Beispiel 1: Fläche – Dreieck aus drei Punkten

Beispiel!

Gegeben seien die folgenden drei Punkte im Raum:

$A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$ , $B = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ und $C = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ .

Berechne die Fläche des Dreiecks ABC!

Wir stellen uns nun vor, dass wir diese drei Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und miteinander verbinden. Es entsteht ein Dreieck. Wir wollen die Fläche dieses Dreiecks berechnen.

Wir können den Flächeninhalt dieses Dreiecks berechnen, indem wir zwei Seiten des Dreiecks als Vektoren darstellen, das Vektorprodukt aus den beiden Vektoren berechnen und dann die Länge des Vektorprodukts. Die Länge des Vektorprodukts entspricht dann der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Zwei Seiten des Dreiecks als Vektoren darstellen

Wir betrachten nun einen beliebigen der drei Punkte (z.B. Punkt A). Dieser Punkt A ist der Anfangspunkt der beiden Vektoren. Die beiden Vektoren zeigen dann jeweils auf die anderen beiden Punkte (also auf den Punkt B und Punkt C). Damit haben wir die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ gegeben, für welche wir nun aus den Punkten die Vektoren berechnen:

$\vec{a} = \vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} (-2) - 2 \\ 3 - (-1) \\ 1 - 2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$

$\vec{b} = \vec{AC} = C - A = \left( \begin{array}{c} (-6) - 2 \\ 1 - (-1) \\ 1 - 2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -8 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$

Wir haben nun den Vektor $\vec{AB}$ als Vektor $\vec{a}$ und den Vektor $\vec{AC}$ als Vektor $\vec{b}$ bezeichnet.

Merk’s dir!

Wichtig: Die ermittelten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind zunächst Ortsvektoren, die im Koordinatenursprung beginnen und auf den Punkt (-4|2) für $\vec{a}$ und (-8|-2) für $\vec{b}$ zeigen. Diese werden dann parallel zu sich selbst so verschoben, dass sie zwischen den Punkten liegen.

Vektorprodukt berechnen

Wir berechnen jetzt das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ :

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} -8 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4\cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \\ (-1) \cdot (-8) - (-4) \cdot (-1) \\ (-4) \cdot 2 - 4 \cdot (-8)\end{array}\right)$

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4\\ 24 \end{array}\right)$

Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms

Als nächstes berechnen wir den Flächeninhalt des durch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms, indem wir die Länge des Vektorprodukt berechnen:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 24^2} = 24,41$

Wir haben nun die Fläche des aufgespannte Parallelogramms der beiden Vektoren gegeben. Halbieren wir dieses Parallelogramm, so erhalten wir genau die Fläche des gesuchten Dreiecks. Dazu schauen wir uns mal die folgende Grafik an:

Flächeninhalt des Dreiecks ABC

In der obigen Grafik siehst du, dass die Fläche des Dreiecks ABC gleich der Hälfte des Parallelogramms entspricht, indem wir eine Halbierende durch die Punkte B und C zeichnen. Damit können wir die berechnete Fläche des Parallelogramms einfach durch 2 teilen bzw. mit 1/2 multiplizieren:

$F_D = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 24^2} = \frac{1}{2} \cdot 24,41 = 21,21$

Beispiel 2: Winkel – Dreieck aus drei Punkten

Beispiel!

Gegeben seien die folgenden drei Punkte im Raum:

$A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)$ , $B = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$ und $C = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ .

Berechne die Winkel des Dreiecks ABC!

Die Winkel des Dreiecks können wir über die Formel für die Berechnung der Länge des Vektorprodukt bestimmen:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin(\varphi)$

Winkel φ_A

Wir haben bereits die Vektoren $\vec{a} = \vec{AB}$ sowie $\vec{b} = \vec{AC}$ berechnet. Wir können also schon den eingeschlossenen Winkel dieser beiden Vektoren berechnen:

In der obigen Grafik siehst du das durch die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannte Parallelogramm. Der erste Winkel, den wir berechnen wollen, ist der eingeschlossene Winkel φ_A der beiden Vektoren im Punkt A. Dieser Winkel kann über die Länge des Vektorprodukts berechnet werden:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin(\varphi_A)$

Die Länge des Vektorprodukts haben wir bereits oben berechnet:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = 24,41$

Wir benötigen für die rechte Seite der Gleichung noch die Länge des Vektors a und die Länge des Vektors b:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} -8 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-1)^2} = 5,74$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + (-1)^2} = 8,31$

Wir können jetzt alle Werte in die Gleichung einsetzen und diese nach dem Winkel auflösen:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin(\varphi)$

$24,41= 5,74 \cdot 8,31 \cdot \sin(\varphi_A)$

$\sin(\varphi_A) = \frac{24,41}{5,74 \cdot 8,31}$

$\varphi_A = \sin^{-1}(\frac{24,41}{5,74 \cdot 8,31})$

$\varphi_A = 30,78^\circ$

Wir haben damit den eingeschlossenen Winkel von der Strecke AB und AC bestimmt. Als nächstes wollen wir die anderen beiden Winkel des Dreiecks ABC berechnen. Dazu müssen wir die Vektoren so legen bzw. berechnen, dass der eingeschlossene Winkel betrachtet wird:

Winkel φ_B

In der obigen Grafik haben wir die Punkt ABC eingezeichnet. Wollen wir den Winkel φ_B berechnen, der zwischen der Strecke BA und BC liegt, so müssen wir die Vektoren $\vec{BA}$ und $\vec{BC}$ berechnen. Die Vektoren beginnen dabei beide im Punkt B und enden im Punkt A bzw. C:

Der Vektor $\vec{BA}$ ist genau entgegengesetzt zum Vektor $\vec{AB} = \vec{b}$ . Wir können diesen schnell berechnen, indem wir den Vektor $-\vec{b}$ bestimmen. Hierzu ändern wir einfach die Vorzeichen der Koordinaten des Vektors $\vec{b}$ :

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} -8 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$

$-\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$

Den Vektor $\vec{BC}$ haben wir noch nicht berechnet. Diesen berechnen wir aus den beiden Punkten B und C wie folgt:

$\vec{BC} = \vec{c} = C - B = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$

$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$

Wir haben den Vektor $\vec{BC}$ mit $\vec{c}$ bezeichnet.

Wir können jetzt das Vektorprodukt $-\vec{b} \times \vec{c}$ berechnen und danach die Länge des Vektorprodukts:

$-\vec{b} \times \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -2\\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$

$-\vec{b} \times \vec{c} = \left( \begin{array}{c} (-2) \cdot 0 - 1 \cdot (-2) \\ 1 \cdot (-4) - 8 \cdot 0\\ 8 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-4) \end{array}\right)$

$-\vec{b} \times \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -4\\ -24 \end{array}\right)$

Wir bestimmen als nächstes die Länge des Vektorprodukts:

$|-\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-24)^2} = 24,41$

Wir sehen, dass die Länge des Vektorprodukts mit der Länge des Vektorprodukts $|\vec{a} \times \vec{b}|$ gleich ist.

Als nächstes berechnen wir den Winkel φ_B mittels der folgenden Formel:

$|-\vec{b} \times \vec{c}| = |-\vec{b}| |\vec{c}| \cdot \sin(\varphi_B)$

Wir benötigen für die rechte Seite der Gleichung noch die Länge des Vektors -b und die Länge des Vektors c:

$|-\vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-2)^2 + 1^2} = 8,31$

$|\vec{c}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2} = 4,47$

Wir können jetzt alle Werte in die Gleichung einsetzen und diese nach dem Winkel auflösen:

$|-\vec{b} \times \vec{c}| = |-\vec{b}| |\vec{c}| \cdot \sin(\varphi_B)$

$24,41 = 8,31 \cdot 4,47 \cdot \sin(\varphi_B)$

$\sin(\varphi_B) = \frac{24,41}{8,31 \cdot 4,47}$

$\varphi_B = \sin^{-1}(\frac{24,41}{8,31 \cdot 4,47})$

$\varphi_B = 41,08^\circ$

Winkel φ_C

Wir wollen als nächstes den Winkel φ_B berechnen, der zwischen der Strecke CA und CB liegt. Dazu müssen wir die Vektoren $\vec{CA}$ und $\vec{CB}$ bestimmen. Die Vektoren beginnen dabei beide im Punkt C und enden im Punkt A bzw. B:

Der Vektor $\vec{CA}$ ist genau entgegengesetzt zum Vektor $\vec{AC} = \vec{a}$ . Wir können diesen schnell berechnen, indem wir den Vektor $-\vec{a}$ bestimmen. Hierzu ändern wir einfach die Vorzeichen der Koordinaten des Vektors $\vec{a}$ :

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$

$-\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)$

Der Vektor $\vec{CB}$ ist genau entgegengesetzt zum Vektor $\vec{BC} = \vec{c}$ . Wir können diesen schnell berechnen, indem wir den Vektor $-\vec{c}$ bestimmen. Hierzu ändern wir einfach die Vorzeichen der Koordinaten des Vektors $\vec{c}$ :

$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$

$-\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$

Wir können jetzt das Vektorprodukt $-\vec{a} \times -\vec{c}$ berechnen und danach die Länge des Vektorprodukts:

$-\vec{a} \times -\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$

$-\vec{a} \times -\vec{c} = \left( \begin{array}{c} (-4) \cdot 0 - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 4 - 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 2 - (-4) \cdot 4 \end{array}\right)$

$-\vec{a} \times -\vec{c} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4\\ 24 \end{array}\right)$

Wir bestimmen als nächstes die Länge des Vektorprodukts:

$|-\vec{a} \times -\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 24^2} = 24,41$

Merk’s dir!

Wir sehen auch hier, dass das Vektorprodukt mit den beiden obigen Vektorprodukten übereinstimmt. Damit hätte es ausgereicht das Vektorprodukt einmalig zu bestimmen. Hast du also drei Punkte gegeben und sollst die Winkel des Dreieck dieser drei Punkte berechnen, so musst du nur einmalig die Länge des Vektorprodukts bestimmen:

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = |\vec{BA} \times \vec{BC}| = |\vec{CA} \times \vec{CB}|$

Als nächstes berechnen wir den Winkel φ_C mittels der folgenden Formel:

$|-\vec{a} \times -\vec{c}| = |-\vec{a}| |-\vec{c}| \cdot \sin(\varphi_B)$

Wir benötigen für die rechte Seite der Gleichung noch die Länge des Vektors -a und die Länge des Vektors -c. Die Länge entspricht der Länge der Vektoren a und b:

$|-\vec{a}| = |\vec{a}| = 5,74$

$|-\vec{c}| = |\vec{c}| = 4,47$

Wir können jetzt alle Werte in die Gleichung einsetzen und diese nach dem Winkel auflösen:

$|-\vec{a} \times -\vec{c}| = |-\vec{a}| |-\vec{c}| \cdot \sin(\varphi_C)$

$24,41 = 5,74\cdot 4,47 \cdot \sin(\varphi_C)$

$\sin(\varphi_C) = \frac{24,41}{5,74\cdot 4,47}$

$\varphi_C = \sin^{-1}(\frac{24,41}{5,74\cdot 4,47})$

$\varphi_C = 72,06^\circ$

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