TM1 – Ritterschnittverfahren

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit schauen wir uns das Ritterschnittverfahren (auch: Ritter’sche Schnittverfahren) zur Berechnung der unbekannten Stabkräfte in einem Fachwerk an. Dabei lösen wir nachfolgende Fragestellungen:

  • WIe prüft man das Fahrwek auf statische Bestimmtheit mittels Abzählformel?
  • Wie berechnet man die Auflagerkräfte?
  • Wie bestimmt man die Winkel von den Stabkräften zur Waagerechten mittels Trigonometrie?
  • Wie ermittelt man die Stabkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen mittels Ritterschnittverfahren?

 

Ritterschnittverfahren
Ritterschnittverfahren

 


Ritterschnittverfahren: Beschreibung


Für die Berechnung der unbekannten Stabkräfte in einem Fachwerk, kannst du das Ritterschnittverfahren anwenden. Dazu wird das Fachwerk in zwei Teile zerlegt, indem durch die Stäbe des Fachwerks geschnitten wird. Grundsätzlich kannst du durch beliebig viele Stäbe schneiden. Damit du aber am Ende aus den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene die unbekannten Stabkräfte berechnen kannst (3 Stabkräfte aus 3 Gleichgewichtsbedingungen), solltest du den Schnitt wie folgt durchführen:

Ritterschnittverfahren, Regeln

 

Der Schnitt kann durch drei Stäbe des Fachwerks erfolgen, die nicht alle in einem Knoten liegen. Das Fachwerk muss nach dem Schnitt in zwei Teilen vorliegen. In der obigen Grafik haben wir den Schnitt durch die drei Stäbe S6, S5 und S4 durchgeführt. Damit liegen die drei Stäbe frei und können mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene berechnet werden.

 

Gleichgewichtsbedingungen:
 
\sum S_{ix} = 0        Summe aller Kräfte in x-Richtung muss Null ergeben
 
\sum S_{iy} = 0        Summe aller Kräfte in y-Richtung muss Null ergeben
 
\sum M_i^{(X)} = 0          Summe aller Momente auf einen gewählten Bezugspunkt X
 

Unterschied zwischen Ritterschnittverfahren und Knotenpunktverfahren


Der Unterschied liegt darin, dass beim Knotenpunktverfahren jeder Knoten freigeschnitten wird und beim Ritterschnittverfahren das Fachwerk in zwei Teile zerlegt wird. Beim Knotenpunktverfahren werden dann mittels der Gleichgewichtsbedingungen in x- und y-Richtung maximal zwei unbekannte Stabkräfte pro Knoten bestimmt. Beim Ritterschnittverfahren hingegen können dann alle drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene auf die beiden Fachwerksteile angewendet werden, um die drei freigeschnittenen Stäbe zu bestimmen.

Das Ritterschnittverfahren ist gerade dann von Vorteil, wenn du nur einige wenige Stäbe aus dem Fachwerk berechnen sollst.

 


Ritterschnittverfahren: Beispiel


Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie das Ritterschnittverfahren funktioniert.

 

Ritterschnittverfahren, Beispiel

 

undefiniert
Beispiel: Ritterschnittverfahren

Gegeben sei das obige Fachwerk, welches auf einem Festlager A und einem Loslager B gelagert ist. An das Fachwerk greift eine äußere Kraft F = 50 kN an. 

 

a) Prüfe das Fachwerk auf statische Bestimmtheit mittels Abzählformel!

b) Bestimme die Auflagerkräfte.

c) Bestimme die Stabkräfte S4, S5 und S6 mittels Ritterschnittverfahren.

 

Statische Bestimmtheit

Wir starten mit dem Aufgabenteil a) und prüfen das obige Fachwerk mittels Abzählformel auf statische Bestimmtheit:

 

f = a + s - 2k           Abzählformel für Fachwerke

 

Das Fachwerk hat a = 3 Auflagerkräfte, s = 13 Stäbe und k = 8 Knoten.

 

f = a + s - 2k = 3 + 13 - 2 \cdot 8 = 0

 

Da f = 0 ist das obige Fachwerk statisch bestimmt

 

Fachwerk freischneiden und Auflagerkräfte berechnen

Im nächsten Schritt müssen wir das Fachwerk von den Auflagern freischneiden und die unbekannten Auflagerkräfte abtragen:

Ritterschnittverfahren, Auflagerkräfte

 

Die Auflagerkräfte können wir mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene berechnen:

 

\sum F_{ix} = 0

\sum F_{iy} = 0

\sum M_i = 0

 

Wir starten mit der Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung. Da keine äußeren horizontalen Kräfte an das Fachwerk angreifen, ist die horizontale Auflagerkraft Ah gleich Null:

 

\sum F_{ix} = 0: \; A_h = 0

 

Als nächstes wenden wir die Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung an, indem wir alle vertikalen Kräfte summieren. Kräfte die nach oben zeigen berücksichtigen wir positiv, Kräfte die nach unten zeigen negativ:

 

\sum F_{iy} = 0: \; \; A_v + B - F = 0

 

Wir haben hier zwei unbekannte Kräfte Av und B gegeben. Wir können aus dieser Gleichung also noch keine Unbekannte bestimmen. Demnach betrachten wir als nächstes die Momentengleichgewichtsbedingung und wählen den Bezugspunkt so, dass eine unbekannte Kraft aus der Berechnung herausfällt. Dazu legen wir den Bezugspunkt genau in den Angriffspunkt der unbekannten Kraft. Wir wählen beliebig das Lager A:

 

\sum M_i^A = 0: \; \; B \cdot 4m  - F \cdot 6m = 0

 

Wir lösen die obige Gleichung nach der Auflagerkraft B auf:

 

B = \dfrac{F \cdot 6m}{4m}

 

Einsetzen der gegeben Werte führt uns zu:

 

B_v = \dfrac{50 kN \cdot 6m}{4m} = 75 kN

 

Die Auflagerkraft B muss insgesamt 75 kN aufnehmen, damit das Fachwerk sich nicht vertikal verschiebt.

 

Um herauszufinden wie viel die Auflagerkraft Av aufnehmen muss, können wir nun die vertikale Gleichgewichtsbedingung heranziehen und nach Av auflösen:

 

 A_v + B - F = 0

 

A_v = -B + F =  -75 kN + 50 kN = -25 kN

 

Die Auflagerkraft Av muss -25 kN aufnehmen, damit sich das Fachwerk nicht vertikal verschiebt. Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Auflagerkraft entgegen der angenommenen Richtung nach unten gerichtet ist. Für die weiteren Berechnungen gehen wir aber weiterhin von einer nach oben gerichteten Auflagerkraft Av aus und müssen somit das negative Ergebnis verwenden.

 

Zusammenfassung der Auflagerkräfte:

AuflagerkraftAvAhB
Betrag-25 kN075 kN

 

Ritterschnitt: Stabkräfte berechnen

undefiniert
Nullstäbe!

Im obigen Fachwerk sind keine Nullstäbe vorhanden!

 

Wir führen als nächstes einen Schnitt durch die drei gesuchten Stäbe durch. Diese liegen nicht alle in einem Knoten und teilen das Fachwerk in zwei Teile:

 

Schnitt durch drei Stäbe beim Ritterschnittverfahren

Nach dem Schnitt liegen die drei unbekannten Stabkräfte frei:

 

Ritterschnittverfahren, Beispiel

 

Nachdem die gesuchten drei Kräfte frei liegen, wollen wir diese als nächstes berechnen. Dazu können wir je Fachwerksteil die drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene heranziehen. Wichtig ist, dass wir hier die beiden Fachwerksteile separat betrachten.

 

Bestimmung der Winkel mittels Trigonometrie

Bevor wir allerdings mit der Berechnung beginnen können, sollten wir zunächst die Winkel von den gesuchten Stabkräften zur Waagerechten bestimmen. Dazu konstruieren wir rechtwinklige Dreiecke so, dass wir die Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck anwenden können. Wir müssen dafür die gegebenen Abmessungen heranziehen.

Wir starten mit dem Winkel zur Waagerechten des Stabs S5:

 

Ritterschnittverfahren, Trigonometrie

 

 

Wir betrachten das obige rechtwinklige Dreieck (gestrichelte Linien) um zunächst den Winkel α2 zu bestimmen. Dieser Winkel ist identisch zum Winkel α5, da beide Stäbe auf derselben Wirkungslinie liegen.  Wir können hier den Tanges anwenden, da Gegenkathete und Ankathete des rechtwinkligen Dreiecks (rechter Winkel im Knoten VII) gegeben sind:

 

\tan(\alpha_2) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

 

Die Gegenkathete ist die Höhe mit 5m, die Ankathete die Länge mit 4m:

 

\tan(\alpha_2) = \dfrac{5m}{4m}

 

Wir lösen nach dem gesuchten Winkel auf:

 

\alpha_2 = tan^{-1}(\dfrac{5m}{4m})

 

\alpha_2 = \alpha_5 = 51,34 ^{\circ}

 

undefiniert
Hiweis!

Die Berechnungen von Winkel und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden ausführlich in unserem Onlinkurs Ph1 – Grundlagen der Physik behandelt.

 

Als nächstes betrachten wir den Winkel vom Stab S4 zur Waagerechten und betrachten dabei das folgende rechtwinklige Dreieck:

Ritterschnittverfahren, Winkel bestimmen

 

 

Auch hier wenden wir den Tangens an:

 

\tan(\alpha_4) = \dfrac{3m}{4m}

 

Auflösen nach dem gesuchten Winkel:

 

\alpha_4 = \tan^{-1}(\dfrac{3m}{4m})

 

\alpha_4 = 36,87^{\circ}

 

Unbekannte Stabkräfte bestimmen

 

Ritterschnittverfahren, Stabkräfte berechnen

 

Wir kommen nun wieder zurück zum freigeschnittenen Fachwerk, um die drei Stabkräfte an den beiden Fachwerksteilen zu berechnen. Zur Berechnung der Stabkräfte stehen uns die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene zur Verfügung.

 

Beim Ritterschnittverfahren ist es in jedem Fall sinnvoll mit der Momentengleichgewichtsbedingung zu starten.

 

Für die Momentengleichgewichtsbedingung müssen wir einen Bezugspunkt wählen. Diesen müssen wir so festlegen, dass so viele unbekannte Stabkräfte wie möglich bei der Berechnung wegfallen. In diesem Fall also zwei unbekannte Stabkräfte, damit aus der Momentengleichgewichtsbedingung eine unbekannte Stabkraft berechnet werden kann.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Stabkräfte fallen dann innerhalb der Momentengleichgewichtsbedingung heraus, wenn das Moment welches sie ausüben gleich Null ist (M = F ⋅ h = 0). Dies ist dann gegeben, wenn die Wirkungslinien der Stabkräfte den Bezugspunkt schneiden!

 

Wir legen dazu den Bezugspunkt in den Knoten IV (rechter Fachwerksteil):

Momentengleichgewichtsbedingung

 

 

 

Wir können nun die Momente bestimmen, welche die Kräfte auf den Bezugspunkt ausüben. Dabei bleiben wir am rechten Fachwerksteil, weil dort der Bezugspunkt liegt.  Die Stabkräfte S4 und S5 fallen weg, da diese den Bezugspunkt schneiden. Es verbleibt eine unbekannte Stabkraft S6 sowie die gegebene äußere Kraft F. Die Wirkungslinie der Auflagerkraft B schneidet den Bezugspunkt, weshalb auch diese kein Moment ausübt und damit wegfällt.

 

\sum M_i^{(IV)} = 0: \; \; -S_6 \cdot 3m - F \cdot 2m = 0

 

Auflösen nach der unbekannten Stabkraft S6:

 

-S_6 \cdot 3m - F \cdot 2m = 0

 

S_6 \cdot 3m = - F \cdot 2m

 

S_6 = -\dfrac{F \cdot 2m}{3m}

 

Einsetzen von F = 50 kN ergibt:

 

S_6 = -\dfrac{50 kN \cdot 2m}{3m} = -33,33 kN        (Druckkraft)

 

Wir haben nun schon eine unbekannte Stabkraft bestimmt. Als nächstes können wir  die Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung anwenden:

 

Wir starten mit der Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung:

 

\sum F_{ix} = 0: \; \; -S_4 \cdot \cos(\alpha_4) - S_5 \cdot \cos(\alpha_5) - S_6 = 0

 

Einsetzen der berechneten Winkel zur Waagerechten und berechnen des Kosinus:

 

-S_4 \cdot \cos(36,87^{\circ}) - S_5 \cdot \cos(51,34 ^{\circ}) - S_6 = 0

 

-S_4 \cdot 0,8 - S_5 \cdot 0,625 - S_6 = 0

 

Einsetzen der berechneten Stabkraft S6:

 

-S_4 \cdot 0,8 - S_5 \cdot 0,625 - (-33,33 kN)= 0

 

(I)   -S_4 \cdot 0,8 - S_5 \cdot 0,625 + 33,33 kN= 0

 

In der obigen Gleichung sind zwei unbekannte Stabkräfte gegeben. Wir wenden die vertikale Gleichgewichtsbedingung an:

 

\sum F_{iy} = 0: \; \; -S_4 \cdot \sin(\alpha_4) - S_5 \cdot \sin(\alpha_5)  = 0

 

Einsetzen der Winkel und berechnen des Sinus:

 

-S_4 \cdot \sin(36,87^{\circ}) - S_5 \cdot \sin(51,34 ^{\circ})  = 0

 

(II)   -S_4 \cdot 0,6 - S_5 \cdot 0,781  = 0

 

Hier haben wir nun zwei unbekannte Kräfte gegeben. Wir können nun eine der beiden Gleichungen (I) oder (II) nach einer unbekannten auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.

 

Wir lösen die Gleichung (II) nach der Stabkraft S4 auf:

 

(II) -S_4 \cdot 0,6 - S_5 \cdot 0,781  = 0

 

S_4 \cdot 0,6  =  - S_5 \cdot 0,781

 

S_4  =  - \dfrac{S_5 \cdot 0,781}{0,6}

 

S_4  =  - S_5 \cdot 1,302

 

Einsetzen in Gleichung (I) und nach S5 auflösen:

 

- [ - S_5 \cdot 1,302 ]\cdot 0,8 - S_5 \cdot 0,625 + 33,33 kN= 0

 

S_5 \cdot 1,042 - S_5 \cdot 0,625 + 33,33 kN= 0

 

S_5 (1,042 - 0,625 )+ 33,33 kN= 0

 

S_5 \cdot 0,417 + 33,33 kN= 0

 

S_5 \cdot 0,417 = - 33,33 kN

 

S_5 = -\dfrac{33,33 kN}{0,416} = 79,93 kN        (Zugstab)

 

Wir können nun noch die Stabkraft S4 aus der nach S4 aufgelösten Gleichung II bestimmen:

 

(I)   S_4  =  - S_5 \cdot 1,302   = -79,93 kN \cdot 1,302 = -104,07 kN

 

Wir haben nun alle Stabkräfte am rechten Fachwerksteil berechnet. In der Tabelle sehen wir nochmal die Zusammenfassung der Stabkräfte:

StabS4S5S6
Betrag104,07 kN79,93 kN33,33 kN
RichtungDruckstabZugstabDruckstab
[\su_table]

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Welchen Fachwerksteil wir zur Berechnung der Stabkräfte verwenden ist unerheblich. Wir können auch zwischen den beiden Fachwerksteilen wechseln, wenn das notwendig oder einfacher für die Berechnungen ist. Wir müssen aber beachten, dass innerhalb einer Gleichgewichtsbedingung auch nur Kräfte aus einem Fachwerksteil berücksichtigt werden dürfen.

 


++ Videoreihe – Ritterschnittverfahren ++


In der folgenden Videoreihe schauen wir uns an, wie mittels Ritterschnittverfahren die unbekannten Stabkräfte in einem Fachwerk berechnet werden können.


Ritterschnittverfahren 

 
 
 
 

 

wie gehts weiter?
Nachdem dir jetzt das Ritterschnittverfahren vertraut ist,  wollen wir uns in den folgenden Lerneinheiten anschauen, wie man unbekannte Stabkräfte in einem Fachwerk grafisch lösen kann.

 

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