(Ma1-10) Intervalle (Mathe)

In dieser Lerneinheit behandeln wir die unterschiedlichen Intervalle.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Intervalle – Grundlagen

Intervalle werden verwendet, um eine Teilmenge der reellen Zahlen anzugeben.

Wir wollen im Folgenden geschlossene, offene, halboffene und unendliche Intervalle voneinander unterscheiden.

Intervalle: Geschlossenes Intervall

Ein geschlossenes Intervall hat die folgende Form:

$[a, b] := \{x \in \mathbb{R} | a \le x \le b \}$

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer gleich a und kleiner gleich b.

In einem geschlossenen Intervall befinden sich die Zahlen a und b sowie alle reellen Zahlen die dazwischen liegen.

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Geschlossenes Intervall

Gegeben sei das Intervall:

$[2, 3]$

Innerhalb dieses Intervall befinden sich die Zahlen 2 und 3 sowie alle reellen Zahlen, die dazwischen liegen.

Intervalle: Offenes Intervall

Ein offenes Intervall hat die folgende Form:

$(a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a < x < b \}$

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer als a und kleiner als b.

In einem offenen Intervall liegen alle reellen Zahlen zwischen a und b, wobei a und b nicht in dem Intervall enthalten sind.

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Offenes Intervall

Gegeben sei das Intervall:

$[2, 3]$

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 2 und 3 liegen, wobei 2 und 3 nicht in dem Intervall enthalten sind.

Intervalle: Halboffenes Intervall

Ein halboffenes Intervall hat die folgende Form:

$(a, b] := \{x \in \mathbb{R} | a < x \le b \}$

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer als a und kleiner gleich b.

$[a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a \le x < b \}$

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer gleich a und kleiner als b.

In einem halboffenen Intervall sind alle reellen Zahlen zwischen a und b enthalten sowie diejenige Zahl, die als Intervallgrenze eine eckige Klammer aufweist ] bzw. [.

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

undefiniert

Beispiel: Halboffenes Intervall

Gegeben sei das Intervall:

$(4, 6]$

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 4 und 6 liegen, wobei 4 nicht im Intervall liegt und 6 im Intervall enthalten ist.

Gegeben sei das Intervall:

$[5, 8)$

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 5 und 8 liegen, wobei 5 im Intervall liegt und 8 nicht im Intervall enthalten ist.

Intervalle: Unendliches Intervall

Ein unendliches Intervall hat die folgende Form:

$(-\infty, b] := \{ x \in \mathbb{R} | x \le b \}$

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen für die gilt: x ist kleiner gleich b. Bei diesem Intervall gibt es eine geschlossene obere Grenze und eine linke unendliche Grenze.

$[a, \infty) := \{ x \in \mathbb{R} | a \le x \}$

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen für die gilt: x ist kleiner gleich b. Bei diesem Intervall gibt es eine geschlossene obere Grenze und eine linke unendliche Grenze.

Du kannst dir also Folgendes merken:

Merk's dir!

Zahlen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
Zahlen, die nicht zum Intervall gehören: runde Klammern

Videoclips: Intervalle

In den folgenden zwei Videos schauen wir uns nochmal an, welche Intervalle es gibt und zeigen einige Beispiele auf.

Lernclip

Intervalle: Definition und Beispiele

Videoclip 1: Definition und Beispiel

Videoclip 2: Beispiele

undefiniert

Anwendung von Intervallen!

Hast du in späteren Aufgabenstellungen ein Intervall gegeben, dann dürfen nur Werte berücksichtigt werden, die in diesem Intervall liegen.

Ein Beispiel wäre, dass du eine lineare Funktion y = 5x + 10 gegeben hast, die im Intervall [-10, 5] liegt. Dann darfst du für diese Funktion nur Werte einsetzen, die größer gleich -10 und kleiner gleich 5 sind.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit betrachten wir das Faktorisieren bzw. Ausklammern von Faktoren.

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