(Ma1-10) Intervalle (Mathe)

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit behandeln wir die unterschiedlichen Intervalle.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und zwei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.


 


Intervalle – Grundlagen



Intervalle, Techniker, Nachhilfe

 

Intervalle werden verwendet, um eine Teilmenge der reellen Zahlen anzugeben.

 

Wir wollen im Folgenden geschlossene, offene, halboffene und unendliche Intervalle voneinander unterscheiden.

 


Intervalle: Geschlossenes Intervall


Geschlossenes Intervall, Techniker

 

Ein geschlossenes Intervall hat die folgende Form:

 

[a, b] := \{x \in \mathbb{R} | a \le x \le b \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer gleich a und kleiner gleich b.

 

In einem geschlossenen Intervall befinden sich die Zahlen a und b sowie alle reellen Zahlen die dazwischen liegen. 

 

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

undefiniert
Beispiel: Geschlossenes Intervall

Gegeben sei das Intervall:

[2, 3]

Innerhalb dieses Intervall befinden sich die Zahlen 2 und 3 sowie alle reellen Zahlen, die dazwischen liegen.

 


Intervalle: Offenes Intervall


Offenes Intervall, Nachhilfe

 

 

Ein offenes Intervall hat die folgende Form:

 

(a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a < x < b \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer als a und kleiner als b.

 

In einem offenen Intervall liegen alle reellen Zahlen zwischen a und b, wobei a und b nicht in dem Intervall enthalten sind.

 

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

undefiniert
Beispiel: Offenes Intervall

Gegeben sei das Intervall:

[2, 3]

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 2 und 3 liegen, wobei 2 und 3 nicht in dem Intervall enthalten sind.

 


Intervalle: Halboffenes Intervall


Halboffenes Intervall, Online lernen

 

 

Ein halboffenes Intervall hat die folgende Form:

 

(a, b] := \{x \in \mathbb{R} | a < x \le b \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer als a und kleiner gleich b.

 

[a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a \le x < b \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer gleich a und kleiner als b.

 

In einem halboffenen Intervall sind alle reellen Zahlen zwischen a und b enthalten sowie diejenige Zahl, die als Intervallgrenze eine eckige Klammer aufweist ] bzw. [.

 

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

undefiniert
Beispiel: Halboffenes Intervall

Gegeben sei das Intervall:

(4, 6]

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 4 und 6 liegen, wobei 4 nicht im Intervall liegt und 6 im Intervall enthalten ist. 

 

Gegeben sei das Intervall:

[5, 8)

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 5 und 8 liegen, wobei 5  im Intervall liegt und 8 nicht im Intervall enthalten ist. 

 


Intervalle: Unendliches Intervall


Unendliche Intervalle

 

Ein unendliches Intervall hat die folgende Form:

 

(-\infty, b] := \{ x \in \mathbb{R} | x \le b \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen für die gilt: x ist kleiner gleich b. Bei diesem Intervall gibt es eine geschlossene obere Grenze und eine linke unendliche Grenze.

 

[a, \infty) := \{ x \in \mathbb{R} | a \le x \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen für die gilt: x ist kleiner gleich b. Bei diesem Intervall gibt es eine geschlossene obere Grenze und eine linke unendliche Grenze.

 

 

Du kannst dir also Folgendes merken:

Merk's dir!
Merk's dir!

Zahlen, die zum Intervall gehören:  eckige Klammern
Zahlen, die nicht zum Intervall gehören: runde Klammern

 


Videoclips: Intervalle


In den folgenden zwei Videos schauen wir uns nochmal an, welche Intervalle es gibt und zeigen einige Beispiele auf.


Lernclip
Intervalle: Definition und Beispiele

 


Videoclip 1: Definition und Beispiel


 


Videoclip 2: Beispiele


 

undefiniert
Anwendung von Intervallen!

Hast du in späteren Aufgabenstellungen ein Intervall gegeben, dann dürfen nur Werte berücksichtigt werden, die in diesem Intervall liegen.

Ein Beispiel wäre, dass du eine lineare Funktion y = 5x + 10 gegeben hast, die im Intervall [-10, 5] liegt. Dann darfst du für diese Funktion nur Werte einsetzen, die größer gleich -10 und kleiner gleich 5 sind.

 

Intervalle, Funktion, Techniker, Onlinekurs

 

 


wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit betrachten wir das Faktorisieren bzw. Ausklammern von Faktoren.

 

Trainingsbereich

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