MA12 – Intervalle (Mathe) [Erklärung, Beispiele, Video]

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In der Mathematik bezeichnet der Begriff “Intervall” eine zusammenhängende Menge von reellen Zahlen, die durch zwei Grenzwerte definiert ist. Die Grenzwerte können selbst Teil des Intervalls sein oder nicht, je nachdem, ob das Intervall offen, geschlossen oder halboffen ist.

In dieser Lerneinheit behandeln wir die unterschiedlichen Intervalle.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA1 – Vorkurs Mathe.

 

Intervalle werden verwendet, um eine Teilmenge der reellen Zahlen anzugeben.

In dieser Lerneinheit betrachten wir die folgenden Intervalle:

  • Geschlossenes Intervall
  • Offenes Intervall
  • Halboffenes Intervall
  • Unendliches Intervall

 

Videos: Intervalle

In den folgenden zwei Videos schauen wir uns nochmal an, welche Intervalle es gibt und zeigen einige Beispiele auf.

Videoclip 1: Definition und Beispiel

 

Videoclip 2: Beispiele

 

Intervalle: Geschlossenes Intervall

Geschlossenes Intervall, Intervall, geschlossen, Intervallgrenzen
Geschlossene Intervalle

 

Ein geschlossenes Intervall hat die folgende Form:

 

[a, b] := \{x \in \mathbb{R} | a \le x \le b \}

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer gleich a und kleiner gleich b.

 

In einem geschlossenen Intervall befinden sich die Zahlen a und b sowie alle reellen Zahlen die dazwischen liegen. 

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

Beispiel!

Gegeben sei das Intervall:

[2, 3]

Innerhalb dieses Intervall befinden sich die Zahlen 2 und 3 sowie alle reellen Zahlen, die dazwischen liegen.

 

Intervalle: Offenes Intervall

Offenes Intervall, Intervall, Intervallgrenzen, offen
Offene Intervalle

 

Ein offenes Intervall hat die folgende Form:

Offenes Intervall

(a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a < x < b \}

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer als a und kleiner als b.

 

In einem offenen Intervall liegen alle reellen Zahlen zwischen a und b, wobei a und b nicht in dem Intervall enthalten sind.

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

Beispiel!

Gegeben sei das Intervall:

(2, 3)

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 2 und 3 liegen, wobei 2 und 3 nicht in dem Intervall enthalten sind.

 

Intervalle: Halboffenes Intervall

Halboffenes Intervall, halboffen, Intervall, Intervalle, Grenzen
Halboffene Intervalle

 

 

Ein halboffenes Intervall hat die folgende Form:

Halboffene Intervalle

(a, b] := \{x \in \mathbb{R} | a < x \le b \}

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer als a und kleiner gleich b.

 

[a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a \le x < b \}

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, für die gilt: x ist größer gleich a und kleiner als b.

 

In einem halboffenen Intervall sind alle reellen Zahlen zwischen a und b enthalten sowie diejenige Zahl, die als Intervallgrenze eine eckige Klammer aufweist ] bzw. [.

Betrachten wir dazu mal ein Beispiel:

Beispiel!

Gegeben sei das Intervall:

(4, 6]

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 4 und 6 liegen, wobei 4 nicht im Intervall liegt und 6 im Intervall enthalten ist. 

 

Gegeben sei das Intervall:

[5, 8)

Innerhalb dieses Intervall befinden sich alle reellen Zahlen die zwischen 5 und 8 liegen, wobei 5  im Intervall liegt und 8 nicht im Intervall enthalten ist. 

 

Intervalle: Unendliches Intervall

Unendliche Intervalle, unendliches Intervall, Halboffen, unendlich, Intervall, Grenzen
Unendliche Intervalle

 

Ein unendliches Intervall hat die folgende Form:

 

(-\infty, b] := \{ x \in \mathbb{R} | x \le b \}

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen für die gilt: x ist kleiner gleich b. Bei diesem Intervall gibt es eine geschlossene obere Grenze und eine linke unendliche Grenze.

 

[a, \infty) := \{ x \in \mathbb{R} | a \le x \}

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen für die gilt: x ist kleiner gleich b. Bei diesem Intervall gibt es eine geschlossene obere Grenze und eine linke unendliche Grenze.

 

Du kannst dir also Folgendes merken:

  • Zahlen, die zum Intervall gehören:  eckige Klammern
  • Zahlen, die nicht zum Intervall gehören: runde Klammern

 

Anwendung von Intervallen: Lineare Funktion

Hast du in späteren Aufgabenstellungen ein Intervall gegeben, dann dürfen nur Werte berücksichtigt werden, die in diesem Intervall liegen.

Ein Beispiel wäre, dass du eine lineare Funktion y = 5x + 10 gegeben hast, die im Intervall [-10, 5] liegt. Dann darfst du für diese Funktion nur Werte einsetzen, die größer gleich -10 und kleiner gleich 5 sind.

Lineare Funktion, Intervalle, Grenzen, geschlossenes Intervall
Intervall: Lineare Funktion

 

Die Funktion wird also nur bis zu den Intervallgrenzen eingezeichnet.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit betrachten wir das Faktorisieren bzw. Ausklammern von Faktoren.

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