In dieser Lerneinheit behandeln wir die Gleitkommazahlen.
Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei Videoclips und mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.
Gleitkommazahlen – Grundlagen
Die Gleitkommazahlen gehören zu den rationalen bzw. reellen Zahlen und beinhalten Zahlen mit Stellen vor und nach dem Komma. Sie werden auch als Fließkommazahlen bezeichnet (englisch: floating point numbers). Der Name rührt daher, dass das Komma bei dieser Darstellung gleitet.
Gleitkommazahlen wurden entwickelt, um Kommazahlen für den Computer darzustellen.
Die Gleitkommadarstellung setzt sich zusammen aus einer Vorzahl und einer Zehnerpotenz:
Gleitkommadarstellung mit positiven Exponenten
Wir betrachten zunächst positive Exponenten bei der Darstellung von Zahlen als Gleitkommazahlen.
Gleitkommazahl in Zahl umwandeln
Im ersten Schritt schauen wir uns an, wie du eine gegebene Gleitkommazahl in eine Zahl überführen kannst.
5 · 104 = 5 · 10 · 10 · 10 · 10 = 50.000
Hierbei ist 104 eine Zehnerpotenz.
Eine Potenz (siehe Lerneinheit zur Potenz) ist ja nichts anderes als die Multiplikation der gegebenen Basis mit sich selbst. Die Anzahl der Multiplikation gibt dabei der Exponent (hier: 4) an.
Das Ziel ist natürlich nicht jedes Mal die Zehnerpotenz auszuschreiben. Du kannst dir also das folgenden Vorgehen bei der Umwandlung einer Gleitkommazahl mit positiven Exponenten in eine Zahl merken:
Ausgehend von der letzten Zahl der Vorzahl verschiebst du das Komma so viele Stelle nach rechts, wie es der Exponent angibt. Die leeren Stellen füllst du mit Null.
Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:
Gegeben sei die Gleitkommazahl
14 · 105
Gib diese als Zahl an.
Die Vorzahl ist die 14. Dies kann man auch schreiben als 14,00. Von der letzten Zahl der Vorzahl ausgehend (der 4) gehen wir insgesamt 5 Stellen nach rechts. Wir nehmen das Komma mit und füllen die Stellen mit Nullen:
1400000,00 = 1.400.000
Wir haben nun das Komma um fünf Stellen nach rechts verschoben und die Stellen mit Nullen gefüllt.
Betrachten wir nun eine Dezimalzahl als Vorzahl. In diesem Fall werden die Stellen zunächst mit den gegebenen Nachkommastellen gefüllt:
Gegeben sei die Gleitkommazahl
12,56 · 102
Gib diese als Zahl an.
In diesem Fall müssen wir das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben und erhalten:
1256,00 = 1.256
Gegeben sei die Gleitkommazahl
146,25 · 103
Gib diese als Zahl an.
In diesem Fall müssen wir das Komma um 3 Stellen nach rechts verschieben und erhalten:
146250,00 = 146.250
Hier haben wir zunächst die ersten beiden Stellen mit den gegebenen Nachkommastellen gefüllt und die dritte Stelle mit einer Null.
Zahl in Gleitkommazahl umwandeln
Nun schauen wir uns an, wie du eine gegebene Zahl in eine Gleitkommazahl umwandeln kannst:
4.000
Du kannst diese Zahl als Gleitkommazahl angegeben. Dazu musst du natürlich vorher festlegen, ob du die Vorzahl einstellig oder mehrstellig wählst. Gehen wir von einer einstelligen Vorzahl aus, dann gilt:
4.000 = 4000,00 = 4 · 103
Du verschiebst nun das Komma bis hinter die erste Zahl nach links und zählst die Stellen.
Für den obigen Fall musst du also das Komma um genau 3 Stellen nach links verschieben. Demnach ist der Exponent deiner Zehnerpotenz 3.
Gegeben sei die Zahl
45.205
Gib diese als Gleitkommazahl mit einer einstelligen Vorzahl an.
45.205 = 45.205,00 = 4,5205 · 104
Du musst das Komma also um 4 Stellen nach links verschieben um zur ersten Zahl zu gelangen. Demnach ist der Exponent hier die 4.
Gegeben sei die Zahl
15.690
Gib diese als Gleitkommazahl mit einer zweistelligen Vorzahl an.
15.690 = 15.690,00 = 15,690 · 103
Hier wird nach einer zweistelligen Vorzahl verlangt. Du musst das Komma also um 3 Stellen nach links verschieben um zur zweiten Zahl zu gelangen. Demnach ist der Exponent hier die 3. Du kannst natürlich in diesem Fall die Null am Ende wegfallen lassen, da diese nach dem Komma steht und danach nur Nullen folgen:
15,69 · 103 = 15.690
Video: Gleitkommazahlen mit positiven Exponenten
Schauen wir uns zum besseren Verständnis zum Thema Gleitkommazahlen das folgende Video an:
Gleitkommadarstellung mit negativen Exponenten
Wir wollen jetzt negative Exponenten bei der Darstellung von Zahlen als Gleitkommazahlen berücksichtigen. Sind negative Exponente gegeben, dann liegen die betrachteten Zahlen zwischen 0 und 1. Wir betrachten also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0 und -1.
Gleitkommazahl in Zahl umwandeln
Im ersten Schritt schauen wir uns an, wie du eine gegebene Gleitkommazahl in eine Zahl überführen kannst.
5 · 10-4 = 5 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,0005
Hierbei ist 10-4 eine Zehnerpotenz. Dabei gilt für 10-1 = 0,1.
Das Ziel ist natürlich nicht jedes Mal die Zehnerpotenz auszuschreiben. Du kannst dir also das Vorgehen bei der Umwandlung einer Gleitkommazahl mit negativen Exponenten in eine Zahl wie folgt merken:
Ausgehend von der letzten Zahl der Vorzahl verschiebst du das Komma so viele Stelle nach links, wie es der Exponent angibt. Die leeren Stellen füllst du mit Null.
Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:
Gegeben sei die Gleitkommazahl
21 · 10-3
Gib diese als Zahl an.
Die Vorzahl ist die 21. Dies kann man auch schreiben als 21,0. Von der letzten Zahl der Vorzahl ausgehend (der 1) gehen wir insgesamt 3 Stellen nach links. Wir nehmen das Komma mit und füllen die leeren Stellen mit Nullen:
21 · 10-3 = 0,021
Wir haben nun das Komma um drei Stellen nach links verschoben und die leeren Stellen mit Nullen gefüllt (hier: Eine leere Stelle).
Betrachten wir nun eine Dezimalzahl als Vorzahl.
Gegeben sei die Gleitkommazahl
12,56 · 10-6
Gib diese als Zahl an.
In diesem Fall müssen wir das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben und erhalten:
12,56 · 10-6 = 0,00001256
Wir haben nun das Komma um sechs Stellen nach links verschoben und die leeren Stellen mit Nullen gefüllt (hier: Vier leere Stelle).
Zahl in Gleitkommazahl umwandeln
Nun schauen wir uns an, wie du eine gegebene Zahl in eine Gleitkommazahl umwandeln kannst:
0,0004
Du kannst diese Zahl als Gleitkommazahl angegeben. Dazu musst du natürlich vorher festlegen, ob du die Vorzahl einstellig oder mehrstellig wählst. Gehen wir von einer einstelligen Vorzahl aus, dann gilt:
0,0004 = 4 · 10-4
In diesem Fall gehst du genau in die entgegengesetzte Richtung (nach rechts).
Du verschiebst nun das Komma bis hinter die erste Zahl nach dem Komma die ungleich Null und zählst die Stellen.
Im obigen Fall musst du das Komma also um 4 Stellen nach rechts verschieben. Dein Exponent ist also -4.
Gegeben sei die Zahl
0,002405
Gib diese als Gleitkommazahl mit einer einstelligen Vorzahl an.
0,002405 = 2,405 · 10-3
Du musst das Komma bis zur ersten Zahl nach dem Komma (die ungleich Null ist) nach rechts verschieben. Das sind insgesamt 3 Stellen. Demnach ist dein Exponent die -3.
Gegeben sei die Zahl
0,0005436
Gib diese als Gleitkommazahl mit einer zweistelligen Vorzahl an.
0,0005436 = 54,36 · 10-5
Hier wird nach einer zweistelligen Vorzahl verlangt. Du musst das Komma bis zur zweiten Zahl nach dem Komma (die ungleich Null ist) nach rechts verschieben. Das sind insgesamt 5 Stellen. Demnach ist dein Exponent die -5.
Video: Gleitkommazahlen mit negativen Exponenten
Schauen wir uns zum besseren Verständnis das folgende Video an:
Nachdem du jetzt Gleitkommazahlen kennengelernt hast, behandelt wir in der nachfolgenden Lerneinheit den Betrag einer Zahl.
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