MA1 – Schnittmenge von Mengen (Mengenlehre) – Erklärung, Beispiele, Video

Für zwei Mengen $A$ und $B$ ist die Schnittmenge $A \cap B$ definiert als die Menge aller Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Schnittmenge zweier Mengen (Mengenlehre).

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA1 – Vorkurs Mathe.

Schnittmenge – Definition

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B sind alle Elemente, die in der Menge A und in der Menge B enthalten sind.

Das Zeichen für die Angabe der Schnittmenge ist: ∩

Ist also eine Menge A Schnittmenge der Menge B, so schreiben wir:

Schnittmenge

$A \cap B$ A geschnitten mit B

Wir können das ganze aber auch in beschreibender Mengenschreibweise wie folgt angeben:

Schnittmenge: Mengenschreibweise

$A \cap B = \{x | x \in A \wedge x \in B \}$

Gelesen: A geschnitten mit B ist gleich die Menge aller x für die gilt: x ist Element von A und ( $\wedge$ ) Element von B.

Das $\wedge$ -Zeichen ist das logische UND und bedeutet, dass beide Aussagen (die links und die rechts) erfüllt sein müssen, damit die gesamte Aussage erfüllt (wahr) ist.

Venn-Diagramm

Das Venn Diagramm ist ein hilfreiches Werkzeug zur Veranschaulichung von Mengen. In einem Venn-Diagramm werden Mengen durch Kreise dargestellt. Der Überlappungsbereich der beiden Kreise repräsentiert die Schnittmenge.

In der nachfolgenden Grafik siehst du die Schnittmenge nochmal als Venn-Diagramm und in beschreibenden Mengenschreibweise angegeben:

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Im Venn-Diagramm ist die Schnittmenge der beiden Mengen genau der Bereich, bei welchem sich die Flächen der beiden Kreise überschneiden.

Videoclip: Schnittmenge zweier Mengen

Im folgenden Video zeigen wir dir anhand eines Beispiels, wie du die Schnittmenge zweier Mengen bildest.

Beispiele: Schnittmenge zweier Mengen

Schauen wir uns im folgenden mal einige Beispiele zur Schnittmenge zweier Mengen an.

Beispiel 1: Bestimme A ∩ B‏

Beispiel!

Gegeben seien die beiden Mengen A = {-4, -2, 0, 4, 5, 8, 10} und B = {-1, -2, 0, 8, 9, 10 }.

Bestimme $A \cap B$ !

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B sind alle Elemente, die in der Menge A UND in der Menge B enthalten sind.

$A \cap B = \{-2, 0, 8 \}$

Die Schnittmenge der beiden Mengen enthält drei Elemente.

Beispiel 2: Bestimme B ∩ A!

Beispiel!

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 5, 7 \}$ und $B = \{x \in \mathbb{Z} | -1 \le x \le 3 \}$ .

Bestimme $B \cap A$ !

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B sind alle Elemente, die in der Menge A UND in der Menge B enthalten sind. Die Menge B ist als beschreibende Mengenschreibweise angegeben. Da es sich hierbei um die ganzen Zahlen handelt, können wir diese auch in aufzählender Mengenschreibweise angeben:

$B = \{-1, 0, 1, 2, 3 \}$

Wir können nun die gemeinsamen Elemente der beiden Mengen in der Schnittmenge zusammenfassen:

$A \cap B = \{-1, 0, 1, 2 \}$

Beispiel 3: Bestimme A ∩ B bzw. B ∩ A!

Beispiel!

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \{x \in \mathbb{R} | -10 \le x \le 5 \}$ und $B = \{x \in \mathbb{R} | -5 \le x \le 20 \}$ .

Bestimme $A \cap B$ bzw. $B \cap A$ !

Die Schnittmenge ist kommutativ, d.h. $A \cap B= B \cap A$ .

Wir haben hier beide Mengen in beschreibender Mengenschreibweise angegeben. Für beide Mengen ist x Element der reellen Zahlen. Wir können dies Mengen nun nicht in aufzählender Mengenschreibweise angegeben, aber da sie den gleichen Zahlenbereich aufweisen miteinander vergleichen.

Menge A startet bei -10. Menge B startet bei -5.

Menge A endet bei 5. Menge B endet bei 20.

Die Zahlen dazwischen haben beide Mengen gemeinsamen, also von -5 bis 5. Wir müssen aber hier die Schnittmenge auch in beschreibender Form angegeben, da alle Zahlen zwischen -5 und 5 berücksichtigt werden (auch die Dezimalzahlen):

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} | -5 \le x \le 5\}$

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Vereinigung zweier Mengen (Vereinigungsmenge).

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