MA1 – Teilmenge einer Menge (Mengenlehre) [Erklärung, Beispiel]

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Die Teilmenge ist ein Thema aus der Mengenlehre. Um eine Teilmenge zu bilden, wählt man einfach einige oder alle Elemente aus der ursprünglichen Menge aus und bildet damit eine neue Menge. Es ist wichtig zu beachten, dass die Reihenfolge der Elemente in der Teilmenge keine Rolle spielt und dass jedes Element nur einmal in der Teilmenge vorkommen darf.

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Teilmenge einer Menge. 

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und drei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zum Thema Mengenlehre findest du in unserem Onlinekurs MA1 – Vorkurs Mathe.

 

Video: Teilmenge

Im folgenden Video zeigen wir euch anhand eines Beispiels, wie die Teilmenge bestimmt wird.

 

Definition von Teilmengen

Um eine Teilmenge zu bilden, wählt man einfach einige oder alle Elemente aus der ursprünglichen Menge aus und bildet damit eine neue Menge. Es ist wichtig zu beachten, dass die Reihenfolge der Elemente in der Teilmenge keine Rolle spielt und dass jedes Element nur einmal in der Teilmenge vorkommen darf.

Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn alle Elemente von A auch in B enthalten sind. 

Das Zeichen für die Angabe der Teilmenge ist:

Ist also eine Menge A Teilmenge der Menge B, so schreiben wir:

 

A B        A ist Teilmenge von B

 

Wir können das ganze aber auch in beschreibender Mengenschreibweise wie folgt angeben:

 

A \subseteq B  \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)

Gelesen: A ist Teilmenge von B wenn gilt für alle x (\forall x): Aus x Element von A folgt x Element von B. 

 

In der nachfolgenden Grafik siehst du die Teilmenge nochmal als Venn-Diagramm und darunter in beschreibenden Mengenschreibweise angegeben:

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Teilmenge im Venn-Diagramm

 

Im Venn-Diagramm liegt die Teilmenge A innerhalb der Menge B. Alle Elemente aus der Menge A sind also auch in der Menge B enthalten.

Mehr zu der Mengenlehre findest du i

 

Schauen wir uns hierzu mal einige Beispiele an.

Beispiele zur Teilmenge

Beispiel 1 : Teilmengen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Menge A = {1; 2; 3; 5; 6}, B = {2; 3; 5} sowie C = {1; 2; 3; 5; 7}!

Schauen ob eine Menge Teilmenge einer anderen Menge ist!

 

Um herauszufinden, ob eine Menge Teilmenge einer anderen Menge ist, müssen wir die Elemente der Mengen betrachten. So sind alle Elemente der Menge B auch in der Menge A enthalten:

A = {1; 2; 3; 5; 6}

Damit ist B Teilmenge von A: B ⊆ A

 

Alle Elemente der Menge B sind ebenfalls in der Menge C enthalten, damit ist B auch Teilmenge der Menge C:

C = {1; 2; 3; 5; 7}

Damit ist B Teilmenge von C: B ⊆ C

 

Menge A kann keine Teilmenge der Menge C sein, weil die Menge C die 6 nicht enthält. Menge C kann aber auch keine Teilmenge der Menge A sein, weil Menge A die 7 nicht enthält.

 

Beispiel 2: Teilmengen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Menge A = {2; 3; 5; 6; 8}, B = {2; 3; 5; 8} sowie C = {1; 2; 3; 5; 6; 7}!

a) Ist B ⊆ A?

b) Ist B ⊆ C?

 

a) Ist die Menge B Teilmenge der Menge A?

Da alle Elemente von B auch in der Menge A enthalten sind, ist die Menge B Teilmenge der Menge A.

B ⊆ A

 

b) Ist die Menge B Teilmenge der Menge C?

Da nicht alle Elemente von B auch in C enthalten sind (8), ist B keine Teilmenge von C.

B ⊄ C

 

Beispiel 3: Teilmengen

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Menge A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} und B = \{x \in \mathbb{N}| 2 \le x \le 6 \}.

Ist B ⊆ A?

 

Wir haben in diesem Beispiel einmal eine aufzählende und eine beschreibende Mengenschreibweise gegeben. Für die beschreibende Mengenschreibweise werden alle natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen) die größer gleich 2 und kleiner gleich 6 sind betrachtet. Da wir die natürlichen Zahlen betrachten, werden hier auch keine Dezimalzahlen berücksichtigt. Vergleichen wir also die Elemente der Menge B mit den Elementen der Menge A so sehen wir, dass alle Elemente von B auch in A enthalten sind.

Zum besseren Verständnis schreiben wir uns die Menge B in aufzählender Mengenschreibweise auf. Das ist möglich, da nur natürliche Zahlen betrachtet werden (keine Dezimalzahlen):

B = {2; 3; 4; 5; 6}

Alle Elemente der Menge B sind auch in der Menge A enthalten. Die Menge B ist also Teilmenge der Menge A: B ⊆ A

 

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Schnittmenge zweier Mengen.

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