(Ma1-04) Rechengesetze für reelle Zahlen

In dieser Lerneinheit schauen wir uns die Rechengesetze für reelle Zahlen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir mehrere ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Rechengesetze für reelle Zahlen – Grundlagen

Wir wollen in diesem Lerntext die Rechengesetze wiederholen, die dir innerhalb der Mathematik immer wieder begegnen werden. Sie sind genau so wichtig wie die Regel “Punkt-vor-Strich-Rechnung” und stellen eine wichtige Grundvoraussetzung innerhalb der Mathematik dar. Deswegen schauen wir uns die drei Rechengesetze im Folgenden mal genauer an.

Wir unterscheiden hierbei die folgenden Rechengesetze voneinander:

- Kommutativgesetz, wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet, weil das Vertauschen von Operanden keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.
- Assoziativgesetz, wird auch als Verbindungsgesetz bezeichnet, weil eine andere Verbindung von Operanden untereinander das Ergebnis nicht beeinflusst.
- Distributivgesetz, wird auch als Klammergesetz bezeichnet, weil durch das Ausklammern von Operanden das Ergebnis nicht beeinflusst wird.

Schauen wir uns im Folgenden die drei Rechengesetze mal im Detail an.

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass die Argumente einer Operation vertauscht werden können, ohne dass sich das Ergebnis verändert.

Für reelle Zahlen $a, b \in \mathbb{R}$ gilt stets:

$a + b = b + a$ Kommutativgesetz der Addition

Das Ergebnis einer Addition ändert sich nicht, wenn man die Reihenfolge der Summanden vertauscht $\rightarrow$ Summanden dürfen vertauscht werden.

$a \cdot b = b \cdot a$ Kommutativgesetz der Multiplikation

Das Ergebnis einer Multiplikation ändert sich nicht, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht $\rightarrow$ Faktoren dürfen vertauscht werden.

Die Addition und die Multiplikation reeller Zahlen ist kommutativ.
Subtraktion und Division reeller Zahlen sowie das Potenzieren sind hingegen nicht kommutativ.

undefiniert

Beispiel: Kommutativgesetz

$4 + 8 = 8 + 4 = 12$ Kommutativ

$5 \cdot 3 = 3 \cdot 5 = 15$ Kommutativ

$4 - 6 \neq 6 - 4$ Nicht kommutativ

$9 : 3 \neq 3 : 9$ Nicht kommutativ

$4^3 \neq 3^4$ Nicht kommutativ

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass bei der reinen Multiplikation und bei der reinen Addition mehrerer Zahlen die Klammern beliebig gesetzt werden dürfen.

Für reelle Zahlen $a, b,c \in \mathbb{R}$ gilt stets:

$(a + b) + c = a + (b + c)$ Assoziativgesetz bei Addition

Das Ergebnis einer reinen Addition ändert sich nicht, wenn man die Klammersetzung vertauscht.

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ Assoziativgesetz einer Multiplikation

Das Ergebnis einer reinen Multiplikation ändert sich nicht, wenn man die Klammersetzung vertauscht.

undefiniert

Beispiel: Assoziativgesetz

$(4 + 2) + 8 = 4 + (2 + 8) = 4 + 2 + 8 = 14$

$(12 \cdot 2) \cdot 4 = 12 \cdot (2 \cdot 4) = 12 \cdot 2 \cdot 4 = 96$

Distributivgesetz (Rechengesetze)

Das Distributivgesetz besagt, dass Summen und Differenzen gliedweise multipliziert bzw. dividiert werden dürfen.

Für reelle Zahlen $a, b, c \in \mathbb{R}$ gilt dann:

$c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$ Distributivgesetz Addition und Multiplikation

Die Multiplikation einer Summe mit einem Faktor c ist gleich der Multiplikation der Summanden mit diesem Faktor und der anschließenden Addition dieser Produktwerte. Dies gilt auch für die Verknüpfungen der Addition und der Multiplikation:

$c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$ Distributivgesetz Subtraktion und Multiplikation

Das Distributivgesetz gilt ebenfalls eingeschränkt für die Division, allerdings nur dann, wenn durch den Faktor c dividiert wird, dieser also rechts steht:

$(a + b) : c = a : c + b : c$ Distributivgesetz Addition und Division

$(a - b) : c = a : c - b : c$ Distributivgesetz Subtraktion und Division

Das Distributivgesetz verwendest du eigentlich täglich, ohne dass du es bewusst wahrnimmst. So verwendest du dieses zum Beispiel beim Multiplizieren von großen Zahlen im Kopf. Schau dir dazu mal das Folgende Beispiel an:

$5 \cdot 18 =5 \cdot (10+8)= 5\cdot 10 + 5 \cdot 8 =50 +40 =90$

Natürlich lässt du im Kopf den Zwischenschritt mit der Klammer aus, aber sonst sollte dir die Vorgehensweise bekannt vorkommen. Du teilst also die zweistellige Zahl in einen Zehner- und Eineranteil und multiplizierst den Faktor von jeweils mit dem Zehner und dem Einer. Danach addierst du beide Werte miteinander, um das Ergebnis zu erhalten.

undefiniert

Beispiel: Distributivgesetz

$(4 + 8) \cdot 6 = 4 \cdot 6 + 8 \cdot 6 = 72$

$(20 - 16) \cdot 2 = 20 \cdot 2 - 16 \cdot 2 = 8$

$(10 - 4) : 2 = 10 : 2 - 4 : 2 = 3$

$(2 + 10) : 4 = 2 : 4 + 10 : 4 = 3$

$(10 - 4) : 2 = 10 : 2 - 4 : 2 = 3$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir die Rechengesetze kennengelernt haben, schauen wir uns als nächstes die negativen Zahlen an.

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