MA1 – Grundrechenarten und Rechengesetze [Erklärung, Beispiele]

Die Grundrechenarten umfassen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie bilden die grundlegenden mathematischen Operationen und sind essentiell für das Lösen verschiedener mathematischer Probleme. Rechenregeln bzw. Die Rechengesetze umfassen das Kommutativgesetz, Distributivgesetz und Assoziativgesetz.

Wir betrachten in dieser Lerneinheit die Grundrechenarten sowie die Rechengesetze.

Für ein optimales Verständnis helfen dir anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA1 – Vorkurs Mathe.

Wir starten mit den Grundrechenarten. Hier geht es um die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division.

Wir wollen uns kurz mit den Grundrechenarten beschäftigen, um die Begrifflichkeiten zu Wiederholen. So ist es für dich wichtig zu wissen, wie die Operatoren, Operanden und die Ergebnisse der einzelnen Rechenarten bezeichnet werden. Am Ende folgt eine Zusammenfassung in einer Tabelle.

Beschreibung der Grundrechenarten

Addition

Die Addition ist die Operation des Zusammenfügens von zwei oder mehr Zahlen, um ihre Summe zu erhalten. Sie wird durch das Pluszeichen (+) dargestellt.
Zum Beispiel: 2 + 3 = 5. In diesem Fall werden 2 und 3 addiert, um 5 zu erhalten. Die Reihenfolge, in der die Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis (Kommutativgesetz). Außerdem können Sie die Zahlen in Klammern setzen und dann addieren, was assoziative Eigenschaft genannt wird.

Als Addition bezeichnen wir den Vorgang des Zusammenzählens von mindestens zwei Zahlen. Der Operator für die Addition ist das Pluszeichen +, die Operanden sind die Summanden und das Ergebnis ist die Summe.

Summand + Summand = Summe

Für die Addition gilt:

Operator: +
Operand: Summand
Ergebnis: Summe

Subtraktion

Die Subtraktion ist die Operation des Entfernens einer Zahl von einer anderen, um die Differenz zu erhalten. Sie wird durch das Minuszeichen (-) dargestellt. Zum Beispiel: 7 – 4 = 3. Hier wird 4 von 7 subtrahiert, um 3 zu erhalten. Anders als bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen wichtig, da das Ergebnis unterschiedlich sein kann (nicht-kommutativ). Es ist auch wichtig zu beachten, dass die Reihenfolge der Subtraktion innerhalb einer Gruppe von Zahlen das Ergebnis beeinflussen kann, was die assoziative Eigenschaft zeigt.

Als Subtraktion bezeichnen wir das Abziehen einer Zahl von einer anderen Zahl. Der Operator für die Subtraktion ist das Minuszeichen −, die beiden Operanden werden als Minuend und Subtrahend bezeichnet und das Ergebnis ist die Differenz.

Minuend − Subtrahend = Differenz

Bei der Subtraktion wird der Subtrahend vom Minuenden abgezogen. Der Subtrahend ist also immer die Zahl, die abgezogen wird.

Für die Subtraktion gilt:

Operator: –
Operand: Minuend, Subtrahend
Ergebnis: Differenz

Multiplikation

Die Multiplikation ist die Operation des wiederholten Addierens einer Zahl mit sich selbst oder mit einer anderen Zahl. Sie wird durch das Malzeichen (×) oder durch eine Klammer ohne Operationssymbol dargestellt. Zum Beispiel: 3 × 4 = 12. Hier wird 3 viermal addiert, um 12 zu erhalten. Die Reihenfolge der Multiplikation ist kommutativ, was bedeutet, dass das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Zahlen gleich bleibt. Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation ermöglicht es, die Reihenfolge der Zahlen in Klammern zu ändern, ohne das Ergebnis zu beeinflussen.

Bei der Multiplikation werden mindestens zwei Zahlen miteinander multipliziert. Der Operator für die Multiplikation ist das Malzeichen · , die Operanden werden als Multiplikator und Multiplikand bezeichnet und das Ergebnis als Produkt.

Multiplikand · Multiplikator = Produkt

Ist keine Unterscheidung zwischen den Operanden notwendig, so können diese auch vereinfacht als Faktoren bezeichnet werden.

Faktor · Faktor = Produkt

Für die Multiplikation gilt:

Operator: ·
Operand: Faktor
Ergebnis: Produkt

Division

Die Division ist die Operation des Aufteilens einer Zahl durch eine andere, um das Verhältnis oder den Quotienten zu erhalten. Sie wird durch das Divisionszeichen (÷) oder durch eine Klammer mit einem horizontalen Bruchstrich dargestellt. Zum Beispiel: 12 ÷ 3 = 4. Hier wird 12 durch 3 geteilt, um 4 zu erhalten. Anders als bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen wichtig, da das Ergebnis unterschiedlich sein kann (nicht-kommutativ). Es ist auch zu beachten, dass die Division durch Null nicht definiert ist und ein undefiniertes Ergebnis liefert.

Wir bezeichnen als Division das Teilen einer Zahl durch eine andere Zahl. Der Operator für die Division ist das Geteilt-Zeichen [:], die beiden Operanden werden als Dividend und Divisor bezeichnet und das Ergebnis als Quotient.

Dividend : Divisor = Quotient

Bei der Division wird der Dividend durch den Divisor geteilt.

Für die Division gilt:

Operator: :
Operand: Dividend, Divisor
Ergebnis: Quotient

Diese vier Grundrechenarten sind die Bausteine, auf denen komplexere mathematische Konzepte aufbauen. Sie sind entscheidend für den täglichen Gebrauch in Bereichen wie Finanzen, Wissenschaft, Technologie und vielen anderen.

Zusammenfassung der Grundrechenarten

In der nachfolgenden Tabelle siehst du nochmals alle Grundrechenarten und deren Begrifflichkeiten. Diese solltest du für weitere Berechnungen in jedem Fall kennen, da Operanden und Ergebnisse der einzelnen Grundrechenarten im weiteren Verlauf häufig begegnen werden.

	Addition	Subtraktion	Division	Multiplikation
Operator:	+	–	:	·
Operand:	Summand	Minuend, Subtrahend	Dividend, Divisor	Faktor
Ergebnis:	Summe	Differenz	Quotient	Produkt

Rechengesetze für reelle Zahlen – Grundlagen

Wir wollen in diesem Lerntext die Rechengesetze wiederholen, die dir innerhalb der Mathematik immer wieder begegnen werden. Sie sind genau so wichtig wie die Regel “Punkt-vor-Strich-Rechnung” und stellen eine wichtige Grundvoraussetzung innerhalb der Mathematik dar. Deswegen schauen wir uns die drei Rechengesetze im Folgenden mal genauer an.

Wir unterscheiden hierbei die folgenden Rechengesetze voneinander:

- Kommutativgesetz, wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet, weil das Vertauschen von Operanden keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.
- Assoziativgesetz, wird auch als Verbindungsgesetz bezeichnet, weil eine andere Verbindung von Operanden untereinander das Ergebnis nicht beeinflusst.
- Distributivgesetz, wird auch als Klammergesetz bezeichnet, weil durch das Ausklammern von Operanden das Ergebnis nicht beeinflusst wird.

Schauen wir uns im Folgenden die drei Rechengesetze mal im Detail an.

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass die Argumente einer Operation vertauscht werden können, ohne dass sich das Ergebnis verändert.

Für reelle Zahlen $a, b \in \mathbb{R}$ gilt stets:

Kommutativgesetz der Addition

$a + b = b + a$

Das Ergebnis einer Addition ändert sich nicht, wenn man die Reihenfolge der Summanden vertauscht $\rightarrow$ Summanden dürfen vertauscht werden.

Kommutativgesetz der Multiplikation

$a \cdot b = b \cdot a$

Das Ergebnis einer Multiplikation ändert sich nicht, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht $\rightarrow$ Faktoren dürfen vertauscht werden.

Die Addition und die Multiplikation reeller Zahlen ist kommutativ.
Subtraktion und Division reeller Zahlen sowie das Potenzieren sind hingegen nicht kommutativ.

Beispiel!

$4 + 8 = 8 + 4 = 12$ Kommutativ

$5 \cdot 3 = 3 \cdot 5 = 15$ Kommutativ

$4 - 6 \neq 6 - 4$ Nicht kommutativ

$9 : 3 \neq 3 : 9$ Nicht kommutativ

$4^3 \neq 3^4$ Nicht kommutativ

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass bei der reinen Multiplikation und bei der reinen Addition mehrerer Zahlen die Klammern beliebig gesetzt werden dürfen.

Für reelle Zahlen $a, b,c \in \mathbb{R}$ gilt stets:

Assoziativgesetz bei Addition

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Das Ergebnis einer reinen Addition ändert sich nicht, wenn man die Klammersetzung vertauscht.

Assoziativgesetz bei Multiplikation

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Das Ergebnis einer reinen Multiplikation ändert sich nicht, wenn man die Klammersetzung vertauscht.

Beispiel!

$(4 + 2) + 8 = 4 + (2 + 8) = 4 + 2 + 8 = 14$

$(12 \cdot 2) \cdot 4 = 12 \cdot (2 \cdot 4) = 12 \cdot 2 \cdot 4 = 96$

Distributivgesetz (Rechengesetze)

Das Distributivgesetz besagt, dass Summen und Differenzen gliedweise multipliziert bzw. dividiert werden dürfen.

Für reelle Zahlen $a, b, c \in \mathbb{R}$ gilt dann:

Distributivgesetz Addition und Multiplikation

$c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$

Die Multiplikation einer Summe mit einem Faktor c ist gleich der Multiplikation der Summanden mit diesem Faktor und der anschließenden Addition dieser Produktwerte. Dies gilt auch für die Verknüpfungen der Addition und der Multiplikation:

Distributivgesetz Subtraktion und Multiplikation

$c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$

Das Distributivgesetz gilt ebenfalls eingeschränkt für die Division, allerdings nur dann, wenn durch den Faktor c dividiert wird, dieser also rechts steht:

$(a + b) : c = a : c + b : c$ Distributivgesetz Addition und Division

$(a - b) : c = a : c - b : c$ Distributivgesetz Subtraktion und Division

Das Distributivgesetz verwendest du eigentlich täglich, ohne dass du es bewusst wahrnimmst. So verwendest du dieses zum Beispiel beim Multiplizieren von großen Zahlen im Kopf. Schau dir dazu mal das Folgende Beispiel an:

$5 \cdot 18 =5 \cdot (10+8)= 5\cdot 10 + 5 \cdot 8 =50 +40 =90$

Natürlich lässt du im Kopf den Zwischenschritt mit der Klammer aus, aber sonst sollte dir die Vorgehensweise bekannt vorkommen. Du teilst also die zweistellige Zahl 18 in einen Zehner- und Eineranteil (10 und 8) und multiplizierst den Faktor von 5 jeweils mit dem Zehner und dem Einer. Danach addierst du beide Werte miteinander, um das Ergebnis zu erhalten.

Beispiel!

$(4 + 8) \cdot 6 = 4 \cdot 6 + 8 \cdot 6 = 72$

$(20 - 16) \cdot 2 = 20 \cdot 2 - 16 \cdot 2 = 8$

$(10 - 4) : 2 = 10 : 2 - 4 : 2 = 3$

$(2 + 10) : 4 = 2 : 4 + 10 : 4 = 3$

$(10 - 4) : 2 = 10 : 2 - 4 : 2 = 3$

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir die Rechengesetze kennengelernt haben, schauen wir uns als nächstes die negativen Zahlen an.

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