MA4 – Spurpunkte einer Geraden im Raum

In dieser Lerneinheit behandeln Spurpunkte einer Geraden im Raum und wollen dir zeigen, was Spurpunkte (S-Punkte) sind und wie du diese berechnest.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Beispiele mit Zahlenwerten zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Mathematik findest du im Kurs: MA4 – Vektorrechnung

Oder lieber mit den Grundlagen starten? Alles dazu findest du im Kurs: Ma1-Grundlagen der Mathematik

Die S-Punkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Im Raum gibt es drei Koordinatenebenen, die x,y-Ebene, die x,z-Ebene und die die y,z-Ebene.

Spurpunkte von Geraden – Was ist das?

Spurpunkte einer Geraden im Raum?

Die Bestimmung der S-Punkte einer Geraden im Raum ist ein zentrales Thema in der analytischen Geometrie. S-Punkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Diese Punkte sind hilfreich, um die Lage und Orientierung der Geraden im dreidimensionalen Raum zu verstehen.

Grundprinzipien

Definition von S-Punkten:
- Spurpunkt in der xy-Ebene: Der Punkt, an dem die Gerade die xy-Ebene schneidet ( $z = 0$ ).
- Spurpunkt in der yz-Ebene: Der Punkt, an dem die Gerade die yz-Ebene schneidet ( $x = 0$ ).
- Spurpunkt in der xz-Ebene: Der Punkt, an dem die Gerade die xz-Ebene schneidet ( $y = 0$ ).
Darstellung einer Geraden:
- Parametergleichung:
  - $\vec{r_0}$ : Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden.
  - $\vec{d}$ : Richtungsvektor der Geraden.
  - $t$ : Parameter.
Berechnung der S-Punkte:
- Setze die jeweilige Koordinate (abhängig von der Ebene) gleich null und löse die Parametergleichung nach $t$ auf.
- Substituiere den gefundenen Wert von $t$ zurück in die Parametergleichung, um die anderen Koordinaten zu berechnen.

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir, wie du die S-Punkte von Geraden im Raum bestimmen kannst. Die S-Punkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit Koordinatenebenen des Koordinatensystems.

In der nachfolgenden Grafik siehst du eine Gerade mit den 3 Ebenen eingezeichnet:

Spurpunkte, Gerade, Geraden im Raum, Ebenen

Eine Gerade kann dabei 1 Ebene, 2 Ebenen oder alle 3 Ebenen schneiden. Schneidet die Gerade eine Ebene, so ergibt sich bei der Berechnung 1 S-Punkt, bei zwei Ebenen ergeben sich 2 S-Punkte und bei drei Ebenen demnach 3 S-Punkte.

Je nachdem wie viele S-Punkte eine Gerade aufweist, besitzt die Gerade folgende Eigenschaften:

$1$ S-Punkt: DieGerade ist parallel zu einer Koordinatenachse und liegt nicht in einer der drei Koordinatenebenen.

Spurpunkt einer Geraden, Spurpunkte, Koordinatenebene, Koordinatenachse, Geraden im Raum

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene schneidet. Damit weist die Gerade 1 S-Punkt auf. Sie liegt parallel zur y-Achse.

S-Punkte: Die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene (und liegt nicht in dieser Koordinatenebene).

2 Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Spurpunkte, Geraden im Raum, Schnittpunkt mit Ebene

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene und die z,y-Ebene schneidet. Die Gerade weist demnach 2 S-Punkte auf. Damit liegt die Gerade parallel zur x,y-Ebene.

S-Punkte: Die Gerade ist nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen.

3 Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Spurpunkte, Geraden im Raum, Schnittpunkt mit Ebene

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene, z,y-Ebene und die x,y-Ebene schneidet. Die Gerade weist demnach 3 S-Punkte auf. Damit liegt die Gerade nicht parallel zur einer der Ebenen.

Unendlich viele S-Punkte: Die Gerade liegt in einer der Koordinatenebenen oder liegt auf einer der Koordinatenachsen.

Spurpunkte, unendlich viele Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Geraden im Raum

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, auf der z-Achse liegt. Die Gerade weist demnach 1 S-Punkte mit der x,y-Ebene im Koordinatenursprung auf und unendlich viele S-Punkte mit der z,x-Ebene und z,y-Ebene.

Spurpunkte: Sonderfälle

Die Gerade schneidet eine Koordinatenachse: 2 S-Punkte fallen zusammen und haben gleichen Koordinaten.
Gerade geht durch den Koordinatenursprung: Alle 3 S-Punkte fallen zusammen

Berechnung der Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte

Spurpunkt S_xyder Geraden g in der x,y-Ebene: z = 0 setzen.
Spurpunkt S_xzder Geraden g in der x,z-Ebene: y = 0 setzen.
Spurpunkt S_yzder Geraden g in der y,z-Ebene: x = 0 setzen.

Für die Berechnung wird die Gleichung nach dem Parameter t aufgelöst. Danach wir der berechnete Wert für t in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des S-Punktes zu erhalten.

Beispiel: Spurpunkte berechnen

Beispiel!

Gegeben sei die folgende Gerade im Raum:

$g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

Bestimme mögliche S-Punkte von g!

Berechnung des Spurpunktes S_xy in der x,y-Ebene

Zur Berechnung der S-Punkte in der x,y-Ebene, setzen wir die z-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der z-Koordinate relevant:

(1) $x = 2 + t$

(2) $y = -1 -2t$

(3) $z = 3 - 3t$

Wir haben das lineare Gleichungssystem aufgestellt. Für uns ist zur Berechnung der S-Punkte in der x,y-Ebene die 3. Gleichung relevant. Wir setzen hier z = 0:

(3) $z = 3 - 3t = 0$

$3 - 3t = 0$ |+3t

$3 = 3t$ |:3

$t = 1$

Als nächstes setzen wir t = 1 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des S-Punkte zu berechnen:

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3\\ -3 \\ 0 \end{array}\right)$

Der S-Punkt der Gerade in der x,y-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der x,y-Ebene ist gegeben bei S_xy(3|-3|0).

Berechnung des Spurpunktes S_xz in der x,z-Ebene

Zur Berechnung der S-Punkte in der x,z-Ebene, setzen wir die y-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der y-Koordinate relevant:

(2) $y = -1 -2t$

Für uns ist zur Berechnung der S-Punkte in der x,z-Ebene die 2. Gleichung relevant. Wir setzen hier y = 0:

(2) $y = -1 -2t = 0$

$-1-2t = 0$

$-1 = 2t$

$t = -\frac{1}{2}$

Als nächstes setzen wir t = -1/2 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des S-Punktes zu berechnen:

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1,5 \\ 0 \\ 4,5 \end{array}\right)$

Der S-Punkt der Gerade in der x,z-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der x,z-Ebene ist gegeben bei S_xz(1,5|0|4,5).

Berechnung des Spurpunktes S_yz in der y,z-Ebene

Zur Berechnung der S-Punkte in der y,z-Ebene, setzen wir die x-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der x-Koordinate relevant:

(1) $x = 2 + t$

Für uns ist zur Berechnung der S-Punkte in der y,z-Ebene die 1. Gleichung relevant. Wir setzen hier x = 0:

(1) $x = 2 + t = 0$

$2 + t= 0$

$t = -2$

Als nächstes setzen wir t = -2 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des S-Punkte zu berechnen:

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) - 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 3 \\ 9 \end{array}\right)$

Der S-Punkt der Gerade in der y,z-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der y,z-Ebene ist gegeben bei S_yz(0|3|9).

Wir haben alle S-Punkte der Geraden ermittelt. Die Gerade weist 3 S-Punkte auf. Damit ist die Gerade nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen.

In den nachfolgenden Grafik siehst du die S-Punkte eingezeichnet:

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Betrachten wir jetzt die drei Koordinatenebenen, so sehen wir die Schnittpunkte mit den Ebenen:

Anwendung der Spurpunkte

Analytische Geometrie: Bestimmung der Lage und Orientierung von Geraden im Raum.
Ingenieurwesen: Berechnung von Schnittpunkten in räumlichen Konstruktionen.
Physik: Analyse von Bahnkurven und Strahlengängen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was sind Spurpunkte?

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen (xy-, yz- und xz-Ebene).

2. Wie findet man Spurpunkte?

Durch Setzen der jeweiligen Koordinate (abhängig von der Ebene) gleich null in der Parametergleichung und Lösen der resultierenden Gleichungen.

3. Warum sind Spurpunkte wichtig?

Sie helfen, die Lage und Orientierung von Geraden im dreidimensionalen Raum zu verstehen und sind in vielen Anwendungen der Geometrie und Physik nützlich.

4. Kann eine Gerade keine Spurpunkte haben?

Eine Gerade hat immer S-Punkte, es sei denn, sie ist parallel zu einer oder mehreren der Koordinatenebenen.

5. Was ist eine Parametergleichung?

Eine Parametergleichung beschreibt eine Gerade im Raum durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor in Abhängigkeit von einem Parameter $t$ .

Zusammenfassung

Die Bestimmung der S-Punkte einer Geraden im Raum erfordert die Analyse der Parametergleichung und das Setzen der Koordinaten gleich null, um die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen zu finden.

Diese Methode ist in der analytischen Geometrie, im Ingenieurwesen und in der Physik von großer Bedeutung und hilft, die Lage und Orientierung von Geraden im dreidimensionalen Raum präzise zu bestimmen.

Was kommt als Nächstes?

In der folgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie Ableiten mit der Produktregel abläuft.

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