MA 4 – Spurpunkte einer Geraden im Raum

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Im Raum gibt es drei Koordinatenebenen, die x,y-Ebene, die x,z-Ebene und die die y,z-Ebene.

In dieser Lerneinheit behandeln Spurpunkte von Geraden im Raum und wollen dir zeigen, was Spurpunkte sind und wie du diese berechnest.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein anschauliches Rechenbeispiele zu dem Thema.

Spurpunkte von Geraden – Was ist das?

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir, wie du die Spurpunkte von Geraden im Raum bestimmen kannst.

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit Koordinatenebenen des Koordinatensystems.

In der nachfolgenden Grafik siehst du eine Gerade mit den 3 Ebenen eingezeichnet:

Eine Gerade kann dabei 1 Ebene, 2 Ebenen oder alle 3 Ebenen schneiden. Schneidet die Gerade eine Ebene, so ergibt sich bei der Berechnung 1 Spurpunkt, bei zwei Ebenen ergeben sich 2 Spurpunkte und bei drei Ebenen demnach 3 Spurpunkte.

Je nachdem wie viele Spurpunkte eine Gerade aufweist, besitzt die Gerade folgende Eigenschaften:

$1$ Spurpunkt: DieGerade ist parallel zu einer Koordinatenachse und liegt nicht in einer der drei Koordinatenebenen.

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene schneidet. Damit weist die Gerade 1 Spurpunkt auf. Sie liegt parallel zur y-Achse.

Spurpunkte: Die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene (und liegt nicht in dieser Koordinatenebene).

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene und die z,y-Ebene schneidet. Die Gerade weist demnach 2 Spurpunkte auf. Damit liegt die Gerade parallel zur x,y-Ebene.

Spurpunkte: Die Gerade ist nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen.

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene, z,y-Ebene und die x,y-Ebene schneidet. Die Gerade weist demnach 3 Spurpunkte auf. Damit liegt die Gerade nicht parallel zur einer der Ebenen.

Unendlich viele Spurpunkte: Die Gerade liegt in einer der Koordinatenebenen oder liegt auf einer der Koordinatenachsen.

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, auf der z-Achse liegt. Die Gerade weist demnach 1 Spurpunkt mit der x,y-Ebene im Koordinatenursprung auf und unendlich viele Spurpunkte mit der z,x-Ebene und z,y-Ebene.

Spurpunkte: Sonderfälle

Die Gerade schneidet eine Koordinatenachse: 2 Spurpunkte fallen zusammen und haben gleichen Koordinaten.
Gerade geht durch den Koordinatenursprung: Alle 3 Spurpunkte fallen zusammen

Berechnung der Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkt S_xyder Geraden g in der x,y-Ebene: z = 0 setzen.
Spurpunkt S_xzder Geraden g in der x,z-Ebene: y = 0 setzen.
Spurpunkt S_yzder Geraden g in der y,z-Ebene: x = 0 setzen.

Für die Berechnung wird die Gleichung nach dem Parameter t aufgelöst. Danach wir der berechnete Wert für t in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.

Beispiel: Spurpunkte berechnen

Beispiel!

Gegeben sei die folgende Gerade im Raum:

$g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

Bestimme mögliche Spurpunkte von g!

Berechnung des Spurpunktes S_xy in der x,y-Ebene

Zur Berechnung der Spurpunkte in der x,y-Ebene, setzen wir die z-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der z-Koordinate relevant:

(1) $x = 2 + t$

(2) $y = -1 -2t$

(3) $z = 3 - 3t$

Wir haben das lineare Gleichungssystem aufgestellt. Für uns ist zur Berechnung der Spurpunkte in der x,y-Ebene die 3. Gleichung relevant. Wir setzen hier z = 0:

(3) $z = 3 - 3t = 0$

$3 - 3t = 0$ |+3t

$3 = 3t$ |:3

$t = 1$

Als nächstes setzen wir t = 1 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen:

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3\\ -3 \\ 0 \end{array}\right)$

Der Spurpunkt der Gerade in der x,y-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der x,y-Ebene ist gegeben bei S_xy(3|-3|0).

Berechnung des Spurpunktes S_xz in der x,z-Ebene

Zur Berechnung der Spurpunkte in der x,z-Ebene, setzen wir die y-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der y-Koordinate relevant:

(2) $y = -1 -2t$

Für uns ist zur Berechnung der Spurpunkte in der x,z-Ebene die 2. Gleichung relevant. Wir setzen hier y = 0:

(2) $y = -1 -2t = 0$

$-1-2t = 0$

$-1 = 2t$

$t = -\frac{1}{2}$

Als nächstes setzen wir t = -1/2 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen:

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1,5 \\ 0 \\ 4,5 \end{array}\right)$

Der Spurpunkt der Gerade in der x,z-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der x,z-Ebene ist gegeben bei S_xz(1,5|0|4,5).

Berechnung des Spurpunktes S_yz in der y,z-Ebene

Zur Berechnung der Spurpunkte in der y,z-Ebene, setzen wir die x-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der x-Koordinate relevant:

(1) $x = 2 + t$

Für uns ist zur Berechnung der Spurpunkte in der y,z-Ebene die 1. Gleichung relevant. Wir setzen hier x = 0:

(1) $x = 2 + t = 0$

$2 + t= 0$

$t = -2$

Als nächstes setzen wir t = -2 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen:

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) - 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)$

$\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 3 \\ 9 \end{array}\right)$

Der Spurpunkt der Gerade in der y,z-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der y,z-Ebene ist gegeben bei S_yz(0|3|9).

Wir haben alle Spurpunkte der Geraden ermittelt. Die Gerade weist 3 Spurpunkte auf. Damit ist die Gerade nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen.

In den nachfolgenden Grafik siehst du die Spurpunkte eingezeichnet:

Betrachten wir jetzt die drei Koordinatenebenen, so sehen wir die Schnittpunkte mit den Ebenen:

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