MA 4 – Spurpunkte einer Geraden im Raum

Zu unseren Spartarifen
Zu unseren Angeboten
Inhaltsverzeichnis:

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Im Raum gibt es drei Koordinatenebenen, die x,y-Ebene, die x,z-Ebene und die die y,z-Ebene. 

In dieser Lerneinheit behandeln Spurpunkte von Geraden im Raum und wollen dir zeigen, was Spurpunkte sind und wie du diese berechnest.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA4 – Vektorrechnung auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein anschauliches Rechenbeispiele zu dem Thema.

 

Spurpunkte von Geraden – Was ist das?

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir, wie du die Spurpunkte von Geraden im Raum bestimmen kannst.

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit Koordinatenebenen des Koordinatensystems. 

In der nachfolgenden Grafik siehst du eine Gerade mit den 3 Ebenen eingezeichnet:

Spurpunkte, Gerade, Geraden im Raum, Ebenen

Eine Gerade kann dabei 1 Ebene, 2 Ebenen oder alle 3 Ebenen schneiden. Schneidet die Gerade eine Ebene, so ergibt sich bei der Berechnung 1 Spurpunkt, bei zwei Ebenen ergeben sich 2 Spurpunkte und bei drei Ebenen demnach 3 Spurpunkte.

Je nachdem wie viele Spurpunkte eine Gerade aufweist, besitzt die Gerade folgende Eigenschaften:

  • Spurpunkt: DieGerade ist parallel zu einer Koordinatenachse und liegt nicht in einer der drei Koordinatenebenen.

Spurpunkt einer Geraden, Spurpunkte, Koordinatenebene, Koordinatenachse, Geraden im Raum

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene schneidet. Damit weist die Gerade 1 Spurpunkt auf. Sie liegt parallel zur y-Achse.

  • 2 Spurpunkte: Die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene (und liegt nicht in dieser Koordinatenebene).

2 Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Spurpunkte, Geraden im Raum, Schnittpunkt mit Ebene

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene und die z,y-Ebene schneidet. Die Gerade weist demnach 2 Spurpunkte auf. Damit liegt die Gerade parallel zur x,y-Ebene.

 

  • 3 Spurpunkte: Die Gerade ist nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen.

3 Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Spurpunkte, Geraden im Raum, Schnittpunkt mit Ebene

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, welche die z,x-Ebene, z,y-Ebene und die x,y-Ebene schneidet. Die Gerade weist demnach 3 Spurpunkte auf. Damit liegt die Gerade nicht parallel zur einer der Ebenen.

 

  • Unendlich viele Spurpunkte: Die Gerade liegt in einer der Koordinatenebenen oder liegt auf einer der Koordinatenachsen.

Spurpunkte, unendlich viele Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Geraden im Raum

In der obigen Grafik siehst du eine Gerade eingezeichnet, auf der z-Achse liegt. Die Gerade weist demnach 1 Spurpunkt mit der x,y-Ebene im Koordinatenursprung auf und unendlich viele Spurpunkte mit der z,x-Ebene und z,y-Ebene.

 

Spurpunkte: Sonderfälle


  • Die Gerade schneidet eine Koordinatenachse: 2 Spurpunkte fallen zusammen und haben gleichen Koordinaten.
  • Gerade geht durch den Koordinatenursprung: Alle 3 Spurpunkte fallen zusammen

 

Berechnung der Spurpunkte einer Geraden


 

  • Spurpunkt Sxy der Geraden g in der x,y-Ebene: z = 0 setzen.
  • Spurpunkt Sxz der Geraden g in der x,z-Ebene: y = 0 setzen.
  • Spurpunkt Syz der Geraden g in der y,z-Ebene: x = 0 setzen.

Für die Berechnung wird die Gleichung nach dem Parameter t aufgelöst. Danach wir der berechnete Wert für t in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten.

 

Beispiel: Spurpunkte berechnen


Beispiel!

Gegeben sei die folgende Gerade im Raum:

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)

Bestimme mögliche Spurpunkte von g!

 

Berechnung des Spurpunktes Sxy in der x,y-Ebene

Zur Berechnung der Spurpunkte in der x,y-Ebene, setzen wir die z-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der z-Koordinate relevant:

(1) x = 2 + t

(2) y = -1 -2t

(3) z = 3 - 3t

 

Wir haben das lineare Gleichungssystem aufgestellt. Für uns ist zur Berechnung der Spurpunkte in der x,y-Ebene die 3. Gleichung relevant. Wir setzen hier z = 0:

(3) z = 3 - 3t = 0

3 - 3t = 0    |+3t

3 = 3t  |:3

t = 1

 

Als nächstes setzen wir t = 1 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen:

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3\\ -3 \\ 0 \end{array}\right)

Der Spurpunkt der Gerade in der x,y-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der x,y-Ebene ist gegeben bei Sxy(3|-3|0).

 

Berechnung des Spurpunktes Sxz in der x,z-Ebene

Zur Berechnung der Spurpunkte in der x,z-Ebene, setzen wir die y-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der y-Koordinate relevant:

(2) y = -1 -2t

 

Für uns ist zur Berechnung der Spurpunkte in der x,z-Ebene die 2. Gleichung relevant. Wir setzen hier y = 0:

(2) y = -1 -2t = 0

-1-2t = 0

-1 = 2t

t = -\frac{1}{2}

 

Als nächstes setzen wir t = -1/2 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen:

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1,5 \\ 0 \\ 4,5 \end{array}\right)

Der Spurpunkt der Gerade in der x,z-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der x,z-Ebene ist gegeben bei Sxz(1,5|0|4,5).

 

Berechnung des Spurpunktes Syz in der y,z-Ebene

Zur Berechnung der Spurpunkte in der y,z-Ebene, setzen wir die x-Koordinate gleich Null und berechnen den Parameter t. Wir betrachten die obige Geradengleichung in Parameterform und stellen das lineare Gleichungssystem auf. Für uns ist aber nur die Gleichung mit der x-Koordinate relevant:

(1) x = 2 + t

 

Für uns ist zur Berechnung der Spurpunkte in der y,z-Ebene die 1. Gleichung relevant. Wir setzen hier x = 0:

(1) x = 2 + t = 0

2 + t= 0

t = -2

 

Als nächstes setzen wir t = -2 in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Spurpunktes zu berechnen:

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right) - 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right)

\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 3 \\ 9 \end{array}\right)

Der Spurpunkt der Gerade in der y,z-Ebene, also der Schnittpunkt der Geraden mit der y,z-Ebene ist gegeben bei Syz(0|3|9).

 

Wir haben alle Spurpunkte der Geraden ermittelt. Die Gerade weist 3 Spurpunkte auf. Damit ist die Gerade nicht parallel zu einer der drei Koordinatenebenen.

In den nachfolgenden Grafik siehst du die Spurpunkte eingezeichnet:

Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Beispiel Spurpunkte, Schnittpunkte, Koordinatenebene, Geraden im Raum

 

Betrachten wir jetzt die drei Koordinatenebenen, so sehen wir die Schnittpunkte mit den Ebenen:

Spurpunkte, Spurpunkte einer Geraden, Beispiel Spurpunkte, Schnittpunkte, Koordinatenebene, Geraden im Raum

 

Was gibt es noch bei uns?

Tausende interaktive Übungsaufgaben

Übungsbereich

Quizfrage 1

 

“Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?”  

shadow3

Bild 2021 11 01 101435

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:  

shadow3

 

Das erwartet dich!

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!
shadow3

 

Auszüge aus unserem Kursangebot!

Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen 

WT3 (Werkstoffprüfung) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

building 4794329 1280
TM1 (Technische Mechanik – Kurs)
scientist 6621069 1280
WT3 (Werkstoffprüfung – Kurs)

 

 

 

 

 

 

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 14,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs 
 ++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied  << werden und >> Zugriff auf alle 26 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 7,40 EUR/Monat 
++ Besser geht’s nicht!! ++ 

shadow3

 

Technikermathe.de meets Social-Media

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

photo 1611162616475 46b635cb6868

  Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram 

photo 1611262588024 d12430b98920

Technikermathe auf Facebook

photo 1611162618071 b39a2ec055fb

shadow3

Dein Technikermathe.de-Team

Zu unseren Kursen
Zu unseren Kursen