Isochore Zustandsänderung – [Definition, Beispiel, Aufgabe]

Eine isochore Zustandsänderung ist ein thermodynamischer Prozess, bei dem das Volumen eines Gases konstant bleibt, während sich Druck und Temperatur ändern. Da das Volumen fest ist, findet keine Volumenänderungsarbeit statt.

In diesem Auszug aus unserem Onlinekurs PH5-Wärmelehre zeigen wir dir, was die isochore Zustandsänderung ist und welche Formeln du benötigst bzw. sich ändern, wenn das Volumen konstant bleibt. Ein Beispiel mir schrittweiser Lösung findest du unten auf der Seite.

Mehr zu diesem Thema und weitere Themen findest du in unserem Onlinkurs:PH5 – Wärmelehre

Isochore Zustandsänderung: Beschreibung

Vorgang in einem geschlossenen Gefäß mit idealem Gas und starren Wänden:

Stellen wir uns ein geschlossenes Gefäß vor, das mit einem idealen Gas gefüllt ist, und dessen Wände fest (starr) sind. Zu Beginn herrscht ein bestimmter Anfangszustand mit einer festgelegten Temperatur, einem definierten Druck und einem konstanten Volumen.

Im Gegensatz zu einem Gefäß mit verschiebbaren Wänden bleibt das Volumen hier während des gesamten Vorgangs konstant, da die Wände unbeweglich sind. Das bedeutet, dass das Gas nicht expandieren oder sich zusammenziehen kann.

Nun wird dem System Wärme zugeführt, was dazu führt, dass sich die Temperatur des Gases erhöht. Infolge der höheren Temperatur bewegen sich die Gasteilchen schneller. Diese schnellere Bewegung bewirkt, dass die Teilchen häufiger und mit größerer Kraft (Impuls) gegen die starren Wände des Gefäßes prallen.

Wie beeinflusst dies den Druck?

Da das Volumen konstant bleibt, haben die Teilchen keinen zusätzlichen Raum, um sich auszubreiten. Sie bleiben also innerhalb des ursprünglichen Volumens und prallen in der Folge häufiger und mit mehr Energie gegen die Wände. Dies führt zu einer Erhöhung des Drucks, weil der Impulsübertrag durch die häufigeren und stärkeren Stöße zunimmt.

Das Gesetz, das diese Beziehung beschreibt, ist das Gay-Lussac’sche Gesetz (auch als zweites Gasgesetz bekannt). Es besagt, dass bei konstantem Volumen der Druck eines idealen Gases proportional zur Temperatur ist. Mathematisch ausgedrückt:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Hier zeigt die Gleichung, dass bei einer Zunahme der Temperatur $T_2 > T_1$ auch der Druck p $_2 > p_1$ steigt, wenn das Volumen konstant bleibt.

Zusammenfassung des Prozesses:

Bei einer isochoren Zustandsänderung bleibt das Volumen unverändert, da die Wände starr sind.
Wird dem System Wärme zugeführt, erhöht sich die Temperatur des Gases, wodurch sich die Teilchen schneller bewegen und häufiger gegen die Wände stoßen.
Da sich das Volumen nicht ändern kann, steigt der Druck im Inneren des Gefäßes, weil die Teilchen bei höherer Temperatur häufiger und mit mehr Kraft gegen die starren Wände prallen.
Solange Wärme zugeführt wird, steigt sowohl der Druck als auch die Temperatur weiter an.

Was passiert, wenn die Temperatur sinkt?

Wenn die Temperatur wieder auf den Anfangswert absinkt, verlangsamen sich die Gasteilchen, und sie stoßen weniger oft und weniger heftig gegen die Wände. Der Druck im Gefäß nimmt entsprechend ab, bleibt aber immer an das konstante Volumen gebunden.

Merk’s dir!

Es gelten die in den vorangegangenen Abschnitten aufgezeigten Gleichungen. In diesem Abschnitt zeigen wir, welche Gleichungen sich ändern und damit angepasst werden müssen. Alle anderen Gleichungen gelten weiterhin und ändern sich damit nicht.

Zustandsgleichung idealer Gase

Zunächst betrachten wir die thermische Zustandsgleichung idealer Gase:

Ideale Gasgleichung

$p \cdot V= n \cdot R \cdot T$

Gehen wir von einer Zustandsänderung von Zustand 1 zu Zustand 2 aus, so erhalten wir die ideale Gasgleichung in den beiden Zuständen wie folgt:

$p_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1$

$p_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2$

Bei einem konstanten Volumen gilt das Gesetz von Amontons:

Gesetz von Amontons

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Volumenänderungsarbeit

Betrachten wir ein geschlossenes System und hier die bereits bekannte Formel für die innere Energie:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{Diss}$

Bei einem konstanten Volumen findet keine Volumenänderungsarbeit statt. Diese ist nur dann gegeben, wenn sich das Volumen ändert:

Volumenänderungsarbeit, V = const

$W_V = \int_1^2 p \; dV = 0$

Die Volumenänderungsarbeit kann im p,V-Diagramm dargestellt werden und entspricht der Fläche unter der Kurve zur Abszisse (V-Achse). Da bei isochorer Zustandsänderung keine Volumenänderungsarbeit gegeben ist, gibt es auch keine Fläche unter der Kurve. Die Kurve der isochoren Zustandsänderung ist im pV-Diagramm eine vertikale Linie:

Innere Energie und Enthalpie

Die Änderung der inneren Energie kann über die folgenden Gleichung bestimmt werden:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{Diss}$

Da die Volumenänderungsarbeit W_V wegfällt, ergibt sich die folgende Gleichung:

Innere Energie (V const.)

$U_2 - U_1 = Q + W_{Diss}$

Kalorisch:

$U_2 - U_1 = m \cdot c_v \cdot (T_2 - T_1)$

Kalorisch wird die innere Energie über die folgende Gleichung bestimmt:

$U_2 - U_1 = n \cdot c_v \cdot \Delta T$

Wir können die obige Gleichung nach der Wärme Q auflösen:

Wärme (V const.)

$Q = U_2 - U_1 - W_{Diss} = m \cdot c_v \cdot \Delta T - W_{diss}$

Reversible Systeme

Die Dissipationsarbeit W_Diss tritt in realen System auf. Betrachten wir hingegen ein reversibles System, so fällt die Dissipationsenergie weg. Unter Dissipationsenergie versteht man den Energieverlust, der durch Reibung entsteht und als Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Diese Energie steht dem System daher nicht mehr zur Verfügung. In jedem realen System tritt Dissipationsenergie auf. Um Berechnungen zu vereinfachen, werden jedoch häufig reversible Systeme betrachtet, bei denen Reibungsverluste vernachlässigt werden.

Wärme (V const.), reversibel

$Q = U_2 - U_1 = m \cdot c_v \cdot \Delta T$

Aufgabe 1) Isochore Zustandsänderung

Aufgabenstellung

1.200 Liter Luft mit p = 1 bar werden bei konstantem Volumen von 20 °C auf 0 °C abgekühlt (Kühlschrank).

Berechne für den Zustand 1 die Stoffmenge n in Mol, die Teilchenzahl N und die innere Energie U.
Berechne die Masse der Luft (molare Masse M = 29 g/mol).
Berechne die Zustandsgrößen für den Zustand 2.
Zeichne die Zustände und die Zustandsänderung im p(V) Diagramm.
Berechne die Änderung der inneren Energie und die Wärmeabfuhr. Was fällt dir auf?

Betrachte die Luft als ideales zweiatomiges Gas. Schwingungsfreiheitsgrade sind bei diesen Temperaturen zu vernachlässigen.

Gegebene Werte in SI-Einheiten umgerechnet:

$V_1 = V_2 = 1.200 l = 1.200 dm^3 = 1,2 m^3$

$p_1 = 1 bar = 100.000 Pa$

$T_1 = 20^\circ C = 293,15 K$

$T_2 = 0^\circ C = 273,15 K$

$M = 29 \frac{g}{mol} = 0,029 \frac{kg}{mol}$

Wir müssen außerdem noch die folgenden Größen berücksichtigen:

$R = 8,314 \frac{J}{mol \cdot K}$ Universelle Gaskonstante

$k_B = 1,380649 × 10^{-23}\frac{J}{K}$ Boltzmann-Konstante

Wir haben es hier mit einer isochoren Zustandsänderung zu tun, da das Volumen konstant bleibt.

Lösung a) Stoffmenge, Teilchenzahl, innere Energie

Wir starten mit der Berechnung der Stoffmenge n. Diese können wir aus der Zustandsgleichung des idealen Gases bestimmen:

$p \cdot V= n \cdot R \cdot T$

Wir haben hier den Druck, das Volumen sowie die Temperatur für den Zustand 1 gegeben. Die universelle Gaskonstante R ist ebenfalls bekannt. Demnach können wir die Stoffmenge n aus der Gleichung berechnen, indem wir nach dieser umstellen:

$n = \frac{p \cdot V}{R \cdot T}$

Für den Zustand 1 gilt:

$n = \frac{p_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1}$

Wir können die gegebenen Werte einsetzen:

$n = \frac{100.000 Pa \cdot 1,2 m^3}{8,314 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 293,15 K}$

$n = 49,24 mol$

Als nächstes berechnen wir die Teilchenanzahl N. Diese können wir aus der Stoffmenge n sowie aus der Avogadro-Konstanten N_A berechnen:

$N_A \approx 6 \cdot 10^{23} \frac{1}{mol}$

Die Avogadro Konstante gibt die Anzahl an Teilchen in einem Mol an. Wir haben 49,24 Mol gegeben, damit ergeben sich:

$N = N_A \cdot n = 6 \cdot 10^{23} \frac{1}{mol} \cdot 49,24 = 2,95 \cdot 10^{25}$

Die Anzahl an Teilchen in der betrachteten Luft beträgt 2,95 · 10²⁵.

Wir suchen als nächstes die innere Energie. Diese können wir über die die Freiheitsgrade bestimmen:

$U = N \cdot f \cdot \frac{1}{2} \cdot k_B \cdot T$

Wir sollen Luft als ideales zweiatomiges Gas annehmen. Ein zweiatomiges Gas besitzt 5 Freiheitsgrade (3 Translationsfreiheitsgrade und 2 Rotationsfreiheitsgrade). Die 2 Schwingungsfreiheitsgrade können wir bei Raumtemperatur vernachlässigen.

Wir berechnen somit die innere Energie für den Zustand 1:

$U_1 = N \cdot f \cdot \frac{1}{2} \cdot k_B \cdot T_1$

$U_1 = 2,95 \cdot 10^{25} \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1,380649 × 10^{-23}\frac{J}{K} \cdot 293,15 K$

$U_1 = 298.493,73 J = 298,5 kJ$

Die innere Energie um Zustand 1 beträgt 298,5 Kilojoule.

Lösung b) Masse der Luft

Wir haben aber die Masse m nicht gegeben und müssen diese noch berechnen. Diese können wir über die Stoffmenge n und molare Masse M bestimmen:

$M = \frac{m}{n}$

Auflösen nach der gesuchten Masse m:

$m = M \cdot n = 0,029 \frac{kg}{mol} \cdot 49,24 mol = 1,43 kg$

Die Luftmasse beträgt 1,43 Kilogramm.

Lösung c) Zustandsgrößen Zustand 2

Wir suchen die Zustandsgrößen für den Zustand 2. Da es sich um eine isochore Zustandsänderung handelt, bleibt das Volumen konstant:

$V_2 = V_1 = 1,2 m^3$

Die Temperatur T₂ ist gegeben. Wir können den Druck aus dem Gesetz von Amontons berechnen:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Wir lösen nach dem gesuchten Druck p₂ auf:

$p_2 = \frac{100.000 Pa}{293,15 K} \cdot 273,15 K$

$p_2 = 93.177,55 Pa$

Der Druck im Zustand 2 beträgt 93.178 Pa.

Alternativ können wir auch einfach das ideale Gasgesetz anwenden, und dieses nach p₂ auflösen. Dann müssen wir aber noch die Größen R und n berücksichtigen:

$p_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2$

$p_2 = \frac{n \cdot R \cdot T_2}{V_2}$

$p_2 = \frac{49,24 mol \cdot 8,314 \frac{J}{mol \; K} \cdot 273,15 K}{1,2 m^3}$

$p_2 = 93.185 Pa$

Die Differenz von 8 Pa zum obigen Ergebnis resultiert aufgrund von gerundeten Zahlenwerten (Stoffmenge n und Gaskonstante R).

Lösung d) pV-Diagramm

In der nachfolgenden Grafik siehst du im pV-Diagramm die Zustandsänderung:

In der obigen Grafik siehst du die isochore Zustandsänderung in einem pV-Diagramm dargestellt. Da die Temperatur von Zustand 1 zu Zustand 2 sinkt, wird dem System Wärme Q entzogen. Damit sinkt – bei gleichbleibendem Volumen – der Druck von 100.000 Pa auf 93.178 Pa. Die Kurve ist eine vertikale Linie, da sich das Volumen nicht ändert. Damit tritt auch keine Volumenänderungsarbeit auf, da keine Fläche unterhalb der Funktion gegeben ist.

Lösung e) Energiebilanz

Wir wollen die Energiebilanz nach dem 1.Hauptsatz ermitteln. Wir haben hier ein geschlossenes System gegeben. Der 1.Hauptsatz lautet:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{Diss}$

Da das Volumen konstant bleibt und damit keine Volumenänderungsarbeit gilt:

$U_2 - U_1 = Q + W_V$

Da wir von einem reversiblen System ausgehend, fällt die Dissipationsarbeit weg:

$U_2 - U_1 = Q$

Damit ergibt sich die Änderung der inneren Energie alleine durch die Zu- bzw. Abfuhr von Wärme. Dies entspricht der Energiebilanz. Da wir weder die Änderung der inneren Energie noch die Wärmeabfuhr gegeben haben, müssen wir zunächst eine Größe berechnen.

Wir kennen bereits die innere Energie um Zustand 1 aus Aufgabenteil a):

$U_1 = 298,5 kJ$

Wir berechnen somit die innere Energie für den Zustand 2:

$U_2 = N \cdot f \cdot \frac{1}{2} \cdot k_B \cdot T_2$

$U_2 = 2,95 \cdot 10^{25} \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1,380649 × 10^{-23}\frac{J}{K} \cdot 273,15 K$

$U_2 = 278.129,15 J = 278,1 kJ$

Die innere Energie im Zustand 2 beträgt 278,1 Kilojoule.

Wir können die Änderung der inneren Energie bestimmen und erhalten damit die Abfuhr an Wärme:

$U_2 - U_1 = Q$

$278,1 kJ - 298,5 kJ = Q$

$Q = -20,4 kJ$

Die abgeführte Wärme beträgt 20,4 kJ. Das ist auch gleichzeitig die Änderung der inneren Energie.

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