Eine Funktion ist konvex, wenn die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Graphen immer oberhalb oder auf dem Graphen liegt, und konkav, wenn sie immer unterhalb oder auf dem Graphen liegt.
Konkave und konvexe Funktion in der Differentialrechnung
Konvexe und konkave Funktionen gehören zur Differentialrechnung, weil ihre Eigenschaften eng mit der Ableitung der Funktion zusammenhängen:
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Konvexe Funktionen: Eine Funktion ist konvex, wenn ihre Ableitung (oder die zweite Ableitung) in einem Intervall nicht abnimmt. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion immer gleich bleibt oder zunimmt, was in der Differentialrechnung durch die Untersuchung der ersten und zweiten Ableitung analysiert wird.
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Konkave Funktionen: Eine Funktion ist konkav, wenn ihre Ableitung (oder die zweite Ableitung) in einem Intervall nicht zunimmt, also die Steigung immer gleich bleibt oder abnimmt. Auch diese Eigenschaft wird durch die Analyse der Ableitungen untersucht.
In der Differentialrechnung wird also durch die Untersuchung der Ableitungen und der Krümmung (zweite Ableitung) erkannt, ob eine Funktion konvex oder konkav ist, was wichtige Schlussfolgerungen für Optimierung und Analyse ermöglicht.
Eine Funktion ist konvex, wenn ihre Graphenform so aussieht, dass jede Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Graphen immer oberhalb oder genau auf dem Graphen liegt:

Eine Funktion ist konkav, wenn ihre Graphenform so ist, dass jede Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Graphen immer unterhalb oder genau auf dem Graphen liegt:

Die Definitionen von konvexen und konkaven Funktionen können auf zwei Arten formuliert werden, die auf der Geometrie der Funktion basieren:
Über die Verbindungslinie von zwei Punkten:
- Konvex: Eine Funktion ist konvex, wenn die Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen der Funktion immer oberhalb oder genau auf dem Graphen liegt.
- Konkav: Eine Funktion ist konkav, wenn die Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen immer unterhalb oder genau auf dem Graphen liegt.
Über die Tangente:
- Konvex: Eine Funktion ist konvex, wenn der Graph immer oberhalb der Tangente an jedem Punkt liegt, d.h. die Funktion “nach oben öffnet”.
- Konkav: Eine Funktion ist konkav, wenn der Graph immer unterhalb der Tangente an jedem Punkt liegt, d.h. die Funktion “nach unten öffnet”.
Beide Ansätze (Verbindungslinie und Tangente) führen zu denselben Eigenschaften und können je nach Kontext verwendet werden, um die Konvexität oder Konkavität einer Funktion zu charakterisieren.
Definition: Konvexe Funktion
Eine Funktion ist konvex, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:
Eine Funktion ist konvex in einem Intervall, wenn für jeden Punkt
im Intervall die Tangente an
unterhalb des Graphen liegt:
In Worten: Der Funktionswert f(x) ist für alle x im betrachteten Intervall immer größer oder gleich dem Wert der Tangente an der Funktion f(x)an der Stelle x0.
Oder anders formuliert: Die Funktion f(x) liegt im Intervall niemals unterhalb der Tangente, die an der Stelle x0 an die Funktion gelegt wurde.
Die zweite Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung der Funktion:
- Konvexe Funktionen:
→ Der Graph ist nach oben gekrümmt, und die Tangente liegt unterhalb.
- Beispiele:
,
.
Definition: Konkave Funktion
Eine Funktion ist konkav, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:
Eine Funktion ist konkav in einem Intervall, wenn für jeden Punkt
im Intervall die Tangente an
oberhalb des Graphen liegt:
In Worten: Der Funktionswert f(x) ist für alle x im betrachteten Intervall immer kleiner oder gleich dem Wert der Tangente an der Funktion f(x) an der Stelle x0.
Oder anders formuliert: Die Funktion f(x) liegt im Intervall niemals oberhalb der Tangente, die an der Stelle x0 an die Funktion gelegt wurde.
Die zweite Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung der Funktion:
- Konkave Funktionen:
→ Der Graph ist nach unten gekrümmt, und die Tangente liegt oberhalb.
- Beispiele:
,
.
Der Übergang zwischen konvex und konkav wird durch Wendepunkte bestimmt, falls diese existieren.
Beispiel 1: Quadratische Funktion
Gegeben sei die folgende Funktion:
Bestimme, ob die Funktion konkav oder konvex ist.
Erste Ableitung:
Zweite Ableitung:
Da für alle x, ist
eine konvexe Funktion.
Graph: Der Graph von ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Beispiel 2: Natürlicher Logarithmus
Gegeben sei die folgende Funktion:
Bestimme, ob die Funktion konkav oder konvex ist.
Erste Ableitung:
Zweite Ableitung:
Da für
, ist
eine konkave Funktion.
Graph: Der Graph von steigt, aber flacht immer mehr ab (nach unten gekrümmt).

In der obigen Grafik sehen wir einen Teil der Funktion f(x) = ln(x). Diese Funktion ist eine konkave Funktion, da die zweite Ableitung kleiner als Null ist. Wir sehen, dass die Tangente eines Punktes oberhalb der Funktion liegt.
Beispiel 3: Logarithmus und quadratische Funktion
Betrachten wir die folgende Funktion:
Wir analysieren ihre Konvexität oder Konkavität.
Schritt 1: Definitionsbereich
Die Funktion ist definiert, wenn
, also
.
Der Definitionsbereich lautet:
In Worten: Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion umfasst alle reellen Zahlen außer Null.
Schritt 2: Erste Ableitung
Wir haben hier eine zusammengesetzte Funktion gegeben. Um diese Funktion abzuleiten wenden wir die Kettenregel an. Der Logarithmus ist die äußere Funktion und die quadratische Funktion die innere Funktion.
Äußere Funktion: mit
als Konstante
Innere Funktion:
Wir leiten beide Funktionen ab:
Äußere Ableitung:
Innere Ableitung:
Zur Bestimmung der gesamten Ableitung multiplizieren wir die äußere und innere Ableitung miteinander:
Schritt 3: Zweite Ableitung
Für die zweite Ableitung benötigen wir nicht mehr die Kettenregel. Wir können hier wie folgt ableiten:
Schritt 4: Analyse der zweiten Ableitung
Für gilt
Für gilt ebenfalls
Setzt du negative Werte für x² ein, so resultieret ein positiver Wert. Damit wird der Funktionswert negativ, aufgrund des Minuszeichens vor dem Bruch.
Da die zweite Ableitung auf dem gesamten Definitionsbereich negativ ist, ist konkav (nach oben gekrümmt).

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