HM1 – Differentialquotient [Definition, Formel, Beispiele]

Der Differentialquotient beschreibt die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt, also wie schnell sich der Funktionswert dort ändert. Es handelt sich hierbei um die Berechnung der Steigung für einen festgelegten Punkt.

Die Ableitung hingegen ist eine Funktion, die die Steigung der ursprünglichen Funktion an jedem Punkt beschreibt. Sie ist das allgemeine Ergebnis, das aus der Berechnung des Differentialquotienten für jeden Punkt einer Funktion entsteht. Das bedeutet also, dass die Ableitung einer Funktion (folgende Lerneinheiten) die Steigungsfunktion der gesamten Funktion darstellt.

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Binomialkoeffizienten.

Für ein optimales Verständnis helfen dir vier anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der höheren Mathematik findest du im Kurs: HM1 – Höhere Mathematik 1

Wir zeigen dir zunächst anhand einer linearen Funktion und einer quadratischen Funktion, wie du die Steigung der Funktion in einem bestimmten Punkt mittels Differentialquotienten bestimmst.

Differentialquotient

Der Differentialquotient gibt die Steigung der Funktion in einem bestimmten Punkt an, also wie stark sich die Funktionswerte in Abhängigkeit von x ändern.

Definition der Differenzierbarkeit

Sei f eine Funktion auf einem Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$ und sei $x_0 \in I$ .

Die Funktion f ist an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wqenn der Grenzwert existiert und endlich ist:

Differentialquotient

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle $x_0$ und schreibt ihn als $f'(x_0)$ :

Merk’s dir!

Der Differentialquotient misst die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt $(x_0, f(x_0))$ . Ein großer Differentialquotient bedeutet eine steile Steigung, während eine kleiner Wert eine flache Steigung angibt.

Beispiele zum Differentialquotienten

Beispiel 1: Differentialquotient einer linearen Funktion

Betrachten wir die folgende lineare Funktion:

$f(x) = \frac{1}{2}x \cdot x + 0,5$

Bestimme die Steigung an der Stelle x₀ = 2!

Berechnung:

Der Differentialquotient von $f(x)$ wird wie folgt berechnet:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Einsetzen von der Funktion $f(x_0) = \frac{1}{2} \cdot x_0 + 0,5$ und $f(x_0 + h) = \frac{1}{2} \cdot (x_0 + h) + 0,5$ :

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} (x_0 + h) + 0,5 - (\frac{1}{2} \cdot x_0 + 0,5)}{h}$

Als nächstes lösen wir die Klammern auf:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} \cdot x_0 + \frac{1}{2} \cdot h + 0,5 - \frac{1}{2} \cdot x_0 - 0,5}{h}$

Wir können den Zähler als nächstes zusammenfassen:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} \cdot h}{h}$

Wir kürzen h raus:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Die Ableitung $f'(x_0 = 2) = \frac{1}{2}$ zeigt, dass die Funktion an der Stelle x₀ = 2 eine Steigung von 1/2 aufweist:

In der obigen Grafik siehst du eine lineare Funktion $f(x) = \frac{1}{2} x + 0,5$ . Diese Funktion hat eine konstante Steigung d.h. in jedem Punkt der Funktion ist die Steigung 1/2 (mehr zu linearen Funktionen findest du in unserem MA2 – Lineare Gleichungen, Funktionen und Gleichungssysteme.)

Beispiel 2: Steigungsfunktion einer linearen Funktion

Betrachten wir die Funktion $f(x) = a \cdot x + b$ , mit $a, b \in \mathbb{R}$ .

Diese Funktion hat überall die gleiche Steigung a, unabhängig von x.

Berechnung:

Der Differentialquotient von $f(x)$ wird wie folgt berechnet:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Hier verwenden wir x statt x₀, weil wir keinen konkreten Punkt untersuchen, an dem die Funktion differenzierbar sein soll. Stattdessen wollen wir allgemein zeigen, dass die Funktion für alle x die gleiche Ableitung aufweist.

Einsetzen von der Funktion $f(x) = a \cdot x + b$ und $f(x+h) = a \cdot (x + h) + b$ :

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a(x + h) + b - (a \cdot x + b)}{h}$

Als nächstes lösen wir die Klammern auf:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ax + ah + b - ax - b}{h}$

Wir können den Zähler als nächstes zusammenfassen:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ah}{h}$

Wir kürzen h raus:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} a$

Ergebnis:

Die Ableitung $f'(x) = a$ zeigt, dass die Funktion überall dieselbe Steigung a hat, da sie von x unabhängig ist.

Wir schauen uns als nächstes an, wie der Differentialquotient für eine quadratische Funktion angewendet wird.

Beispiel 3: Differentialquotient einer quadratischen Funktion

Betrachten wir die Funktion $f(x) = 2x^2 + 2$ .

Bestimme die Steigung an der Stelle x₀ = 1.

Anwendung des Differentialquotienten:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Einsetzen von $f(x_0) = 2x_0^2 + 2$ und $f(x_0+h) = 2(x_0+h)^2 + 2$ :

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2(x_0 + h)^2 + 2 - 2x_0^2 + 2}{h}$

Wir wenden die 1. Binomische Formel auf die quadratische Klammer an:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2(x_0^2 + 2x_0h + h^2) - 2x_0^2 + 2}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2x_0^2 + 4x_0h + 2h^2 - 2x_0^2 + 2}{h}$

Wir fassen den Zähler zusammen:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2x_0h + h^2}{h}$

Wir kürzen h:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x_0 + h) = 2x_0$

Da h gegen Null konvergiert, gilt h ≈ 0. Daraus ergeben sich dann 2x₀.

Einsetzen von x₀ = 1:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x_0 + h) = 2 \cdot 1 = 2$

Ergebnis:

Die Steigung der Funktion $f(x) = 2x^2 + 2$ an der Stelle x₀ = 1 ist $2$ :

Bei quadratischen Funktionen ist die Steigung an der Funktion an jeder Stelle unterschiedlich.

Beispiel 4: Steigungsfunktion einer quadratischen

Betrachten wir die Funktion $f(x) = x^2$ .

Hier ändert sich die Steigung je nach x.

Anwendung des Differentialquotienten:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Einsetzen von $f(x) = x^2$ und $f(x+h) = (x+h)^2$ :

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$

Wir wenden die 1. Binomische Formel auf die quadratische Klammer an:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

Wir fassen den Zähler zusammen:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$

Wir kürzen h:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Da h gegen Null konvergiert, gilt h ≈ 0. Daraus ergeben sich dann 2x.

Ergebnis:

Die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$ . Dies bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt anders ist, da sie von x abhängig ist. Damit ist die Steigungsfunktion einer quadratischen Funktion eine lineare Funktion.

Was kommt als Nächstes?

In der nachfolgenden Lerneinheit zeigen wir dir, wie du die Tangentengleichung aufstellst.

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