HM1 – Binomialkoeffizient (Definition, Formel, Beispiele)

Herzlich willkommen! In dieser Lerneinheit lernst du alles über den Binomialkoeffizienten – von der Definition bis hin zur praktischen Anwendung.

Binomialkoeffizient | Wahrscheinlichkeitsrechnung (n über k)

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Binomialkoeffizienten.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der höheren Mathematik findest du im Kurs: HM1 – Höhere Mathematik 1

Was ist der Binomialkoeffizient?

Definition

Was der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von $n$ Elementen genau $k$ Elemente auszuwählen, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen.
Er wird oft als $n$ über $k$ bezeichnet und ist ein zentrales Konzept der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Er berechnet sich mit der folgenden Formel:

Binomialkoeffizient

$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Dabei gilt:

n! ist die Fakultät von n, also das Produkt aller Zahlen von 1 bis n.
k! berücksichtigt, dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.
(n−k)! bezieht die nicht ausgewählten Elemente ein.

Anwendungsbereiche des Binomialkoeffizienten

Er spielt in vielen Bereichen der Mathematik und Statistik eine entscheidende Rolle:

Kombinatorik:

Teams oder Gruppen zusammenstellen.
Sitzordnungen oder mögliche Kombinationen berechnen.

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, z. B. beim Lotto oder in Experimenten.

Binomischer Lehrsatz:

Zum Entwickeln von Potenzen in der Algebra.

Statistik

Modellierung von Verteilungen, wie der Binomialverteilung.

Wichtige Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Symmetrie

$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$

Beispiel:

$\dbinom{5}{3} = \dbinom{5}{2} = 10$

Spezialfälle

Wenn $k=0$ oder $k=n$ , gilt stets: $\dbinom{n}{k} = 1$

Kürzung von Fakultäten

In vielen Fällen können Fakultäten im Zähler und Nenner gekürzt werden, um die Berechnung zu vereinfachen.

Beispiel 1: Teams zusammenstellen

Aufgabenstellung

Ein Verein hat 10 Mitglieder. Aus diesen sollen 4 Personen für ein Team ausgewählt werden. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Formel anwenden

$\dbinom{10}{4} = \dfrac{10!}{4! \cdot (10-4)!}$

Fakultäten kürzen

$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!$ und $6!$ kürzt sich.

Damit bleibt:

$\dbinom{10}{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Rechnung durchführen

Zähler: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5.040$
Nenner: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Damit ergibt sich:

$\dbinom{10}{4} = \dfrac{5040}{24} = 210$

Es gibt 210 verschiedene Möglichkeiten, ein Team aus 4 Personen zu bilden.

Beispiel 2: Lotto “6 aus “49

Aufgabenstellung

Beim klassischen Lotto wählt man 6 Zahlen aus insgesamt 49 Zahlen.

Hier interessiert uns, wie viele verschiedene Kombinationen es gibt, ohne dass die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Lösung mit der Formel:

$\dbinom{49}{6} = \dfrac{49!}{6! \cdot (49-6)!} = \dfrac{49!}{6! \cdot 43!}$

Schritt 1: Kürzen des Zählers und Nenners

$49! = 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot \dots \cdot 1$ ⇒ es kürzen sich alle Faktoren von 43! im Zähler und Nenner weg. Es bleibt:

$\dbinom{49}{6} = \dfrac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot \not{43} \cdot \not{42} \cdot \dots}{\not{43} \cdot \not{42} \cdot \cdot \dots \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$\dbinom{49}{6} = \dfrac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 2: Bruch berechnen

Der Zähler ist:

$49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10.068.347.520$

Der Nenner ist:

$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Die Anzahl der Kombinationen ist:

$\dbinom{49}{6} = \dfrac{10.068.347.520}{720} = 13.983.816$

Beispiel 3: Auswahlverfahren

Aufgabenstellung

Eine Firma hat 12 Bewerber, aber nur 5 Stellen zu vergeben.

Wie viele mögliche Gruppen von 5 Bewerbern können ausgewählt werden?

Die Reihenfolge der Auswahl spielt keine Rolle, also nutzen wir:

$\dbinom{12}{5} = \dfrac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Es gibt 792 verschiedene Möglichkeiten, 5 Bewerber auszuwählen.

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

1. Was ist ein Binomialkoeffizient?

Er beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von Elementen genau Elemente auszuwählen, ohne die Reihenfolge zu beachten.

2. Was bedeutet „ über “?

Das ist eine andere Bezeichnung für den Binomialkoeffizienten. Es bedeutet, dass du aus einer Menge mit Elementen genau auswählst.

3. Wofür wird der Binomialkoeffizient verwendet?

Er wird in vielen Bereichen eingesetzt, z. B.:

In der Kombinatorik, um Gruppen, Teams oder Kombinationen zu bilden.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung, um die Chancen bestimmter Ereignisse zu berechnen.
Im binomischen Lehrsatz, um Potenzen von Summen zu entwickeln.

4. Kann ich den Binomialkoeffizienten mit einem Taschenrechner berechnen?

Ja, moderne Taschenrechner haben eine Funktion für den Binomialkoeffizienten. Sie wird oft als „“ oder „Kombinationen“ bezeichnet.

5. Was ist der Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen?

Kombinationen: Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle (das beschreibt der Binomialkoeffizient).
Permutationen: Die Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle.

6. Was sind häufige Fehler bei der Berechnung?

Die Reihenfolge wird berücksichtigt, obwohl es nicht nötig ist.
Das Fakultätszeichen () wird vergessen.
Der Taschenrechner wird falsch benutzt, z. B. mit statt .

7. Kann der Binomialkoeffizient negativ sein?

Nein, er ist immer eine positive ganze Zahl oder .

8. Was passiert, wenn ?

In diesem Fall ist der Binomialkoeffizient gleich 0, da es unmöglich ist, mehr Elemente auszuwählen, als vorhanden sind.

Zusammenfassung

Der Binomialkoeffizient ist ein Konzept der Mathematik, das beschreibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge von Elementen genau auszuwählen. Seine mathematische Darstellung durch $\binom{n}{k}$ macht ihn unverzichtbar in der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Algebra. Dank seiner Symmetrie und leicht verständlichen Formel eignet er sich hervorragend für praktische Anwendungen, wie die Berechnung von Kombinationen, Wahrscheinlichkeiten oder Gruppierungen.

Egal ob du Wahrscheinlichkeiten berechnen, Teams zusammenstellen oder algebraische Ausdrücke vereinfachen möchtest – der Binomialkoeffizient ist dein zuverlässiges Werkzeug!

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