HM1 – Ableitung mittels Quotientenregel [Definition, Formel, Beispiele]

Die Quotientenregel ist eine Methode, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner Funktionen von x sind.

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Quotientenregel.

Für ein optimales Verständnis helfen dir zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der höheren Mathematik findest du im Kurs: HM1 – Höhere Mathematik 1

Die Quotientenregel in der Differentialrechnung

Sei eine Funktion in der folgenden Form gegeben:

$f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Die Quotientenregel lautet dann:

Quotientenregel

$f'(x) =\dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Die Quotientenregel wird verwendet, wenn eine Funktion aus einem Bruch besteht, wobei die Funktion im Nenner und im Zähler beide von x abhängig sind.

Merk’s dir!

Ableitungsregeln erleichtern die Berechnung, da sie die Funktion in kleinere, einfacher ableitbare Teile zerlegten. Es gibt noch die Summenregel, die Produktregel sowie die Kettenregel.

Beispiele: Quotientenregel bei elementaren Funktionen

Beispiel 1: Quotient aus ganzrationalen Funktionen

Beispiel!

Gegeben sei die Funktion:

$f(x) = \frac{x^2}{x+1}$

Bestimme die 1. Ableitung und 2. Ableitung der Funktion!

1. Ableitung

Wir haben hier als Funktion einen Bruch gegeben. Beide Funktionen (im Zähler und Nenner) sind von x abhängig. Damit wenden wir hier die Quotientenregel an.

Wir setzen:

$u(x) = x^2$

$v(x) = x+1$

Als nächstes bilden wir die Ableitung:

$u'(x) = 2x$

$v'(x) = 1$

Als nächstes wenden wir die Ableitungsregel für Quotienten an:

$f'(x) =\dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Wir setzen die Funktionen und Ableitungen ein:

$f'(x) = \dfrac{2x \cdot (x+1) - x^2 \cdot1}{(x+1)^2}$

Wir fassen zusammen:

$f'(x) = \dfrac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2}$

$f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$

2. Ableitung

Die 2. Ableitung ist analog zur 1. Ableitung. Wir gehen hier nun aber von der 1.Ableitungsfunktion aus und leiten diese erneut ab:

$f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$ 1. Ableitungsfunktion

Da wir hier einen Bruch gegeben haben, wobei Zähler und Nenner beide von x abhängig sind, wenden wir hier erneut die Quotientenregel an.

$u(x) = x^2 + 2x$

$v(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

Wir leiten die beiden Funktionen ab:

$u'(x) = 2x + 2$

$v'(x) = 2x + 2$

Als nächstes wenden wir die Ableitungsregel für Quotienten an an:

$f'(x) =\dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Wir setzen die Funktionen und Ableitungen ein:

$f'(x) =\dfrac{(2x + 2) \cdot (x^2 + 2x + 1) - (x^2 + 2x) \cdot (2x + 2)}{((x+1)^2)^2}$

Wir fassen zusammen:

$f'(x) =\dfrac{2x^3 + 4x^2 + 2x +2x^2+ 4x+2 - (2x^3 + 2x^2+4x^2+4x)}{(x+1)^4}$

$f'(x) =\dfrac{2x^3 + 6x^2 + 6x + 2 - (2x^3 + 6x^2 + 4x)}{(x+1)^4}$

$f'(x) =\dfrac{2x^3 + 6x^2 + 6x + 2 - 2x^3 - 6x^2 - 4x)}{(x+1)^4}$

$f'(x) =\dfrac{2x+2}{(x+1)^4}$

Wir können hier noch den Faktor 2 aus dem Zähler ausklammern:

$f'(x) =\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^4}$

Wir können dann (x+1) kürzen (der Exponent im Nenner wird um 1 kleiner, weil wir einmal die Klammer kürzen):

$f'(x) =\dfrac{2}{(x+1)^3}$

Beispiel 2: Quotient aus Logarithmusfunktion und Wurzelfunktion

Beispiel!

Gegeben sei die Funktion:

$f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt[4]{x}}$

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion!

Wir haben hier als Funktion einen Bruch gegeben. Beide Funktionen (im Zähler und Nenner) sind von x abhängig. Damit wenden wir hier die Quotientenregel an.

Wir setzen:

$u(x) = \ln(x)$

$v(x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$

Als nächstes bilden wir die Ableitung:

$u'(x) = \frac{1}{x}$

$v'(x) = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$

Als nächstes wenden wir die Ableitungsregel für Quotienten an:

$f'(x) =\dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Wir setzen die Funktionen und Ableitungen ein:

$f'(x) =\dfrac{\frac{1}{x} \cdot x^{\frac{1}{4}} - \ln(x) \cdot \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}}{(x^{\frac{1}{4}})^2}$

Wir fassen zunächst den Zähler zusammen:

$\frac{1}{x} \cdot x^{\frac{1}{4}} = \dfrac{x^{\frac{1}{4}}}{x^1} = x^{\frac{1}{4} - 1} = x^{-\frac{3}{4}}$

Einsetzen in den Zähler:

$f'(x) =\dfrac{x^{-\frac{3}{4}} - \ln(x) \cdot \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}}{(x^{\frac{1}{4}})^2}$

Wir können im Zähler ausklammern:

$f'(x) =\dfrac{x^{-\frac{3}{4}} (1 - \frac{1}{4} \ln(x))}{(x^{\frac{1}{4}})^2}$

Nenner zusammenfassen:

$(x^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{2}}$

Wir setzen den Nenner ein:

$f'(x) =\dfrac{x^{-\frac{3}{4}} (1 - \frac{1}{4} \ln(x))}{x^{\frac{1}{2}}}$

Im nächsten Schritt können wir noch x^-3/4 : x^1/2 kürzen:

$\dfrac{x^{-\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} = x^{-\frac{5}{4}}$

Einsetzen in die Funktion (der Bruch fällt weg):

$f'(x) =x^{-\frac{5}{4}} (1 - \frac{1}{4} \ln(x))$

Wir können jetzt noch x^-5/4 als Wurzel darstellen (dann müssen wir aber wieder einen Bruch betrachten, aufgrund des negativen Exponenten):

$f'(x) =\dfrac{1 - \frac{1}{4} \ln(x)}{\sqrt[4]{x^5}}$

Würden wir die 2. Ableitung bilden, so müssten wir erneut die Quotientenregel anwenden.

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