TM2 Gesamtdehnung im Stab – mechanische Dehnung und Wärmedehnung!

In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie die Gesamtdehnung im Stab berechnet wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elastostatik /Festigkeitslehre findest du im Kurs: TM2-Festigkeitslehre

Merk's dir!

Die Gesamtdehnung setzt sich zusammen aus der Wärmedehnung infolge einer gegebenen Temperaturdifferenz $\triangle T$ und einer mechanischen Dehnung, infolge einer Zug- oder Druckkraft. Treten beide Fälle auf, so müssen wir beide Dehnungen bei der Berechnung der Gesamtdehnung des Stabs berücksichtigen.

Gesamtdehnung

Die Gesamtdehnung im Stab ergibt sich aus der Dehnung infolge einer Zugkraft und der Dehnung infolge einer Temperaturdifferenz:

(1) $\epsilon_{ges} = \epsilon + \epsilon_T$ Gesamtdehnung

Für die Dehnung infolge einer Zugkraft (im Weiteren mit ε_mech bezeichnet) können wir das Hookesche Gesetz heranziehen und nach der Dehnung auflösen:

$\sigma = E \cdot \epsilon_{mech}$

$\epsilon_{mech} = \dfrac{\sigma}{E}$

Für die Dehnung infolge der Temperaturdifferenz haben wir im Abschnitt Wärmedehnungen die folgende Gleichung aufgezeigt:

$\epsilon_T = \alpha \cdot \triangle T$

Wir setzen nun die einzelnen Dehnungen in die Gleichung für die Gesamtdehnung ein und erhalten:

(2) $\epsilon_{ges} = \dfrac{\sigma}{E} + \alpha \cdot \triangle T$ Gesamtdehnung

Die Normalspannung σ können wir auch bestimmen zu:

$\sigma = \dfrac{N}{A} = \dfrac{F}{A}$ Zugstab

Einsetzen führt uns auf:

(3) $\epsilon_{ges} = \dfrac{F}{EA} + \alpha \cdot \triangle T$ Gesamtdehnung

Hierbei ist F die äußere Zugkraft, E der Elastizitätsmodul, A der Querschnitt, α der Längenausdehnungskoeffizient undΔT die Temperaturdifferenz. Der gesamte Ausdruck EA wird auch als Dehnsteifigkeit bezeichnet.

Die obigen Gleichungen gelten für eine Ausdehnung des Stabs (Zugstab und Temperaturerhöhung). Ist zum Beispiel eine Druckkraft gegeben so wird die Kraft F negativ und damit folgt eine Stauchung und keine Ausdehnung. Der erste Term wird dann negativ:

$\epsilon_{ges} = -\dfrac{F}{EA} + \alpha \cdot \triangle T$ Gesamtdehnung bei Druckkraft & Temperaturerhöhung

Verringert sich die Temperatur des Stabes und zieht dieser sich zusammen, so muss der zweite Term negativ berücksichtigt werden:

$\epsilon_{ges} = \dfrac{F}{EA} - \alpha \cdot \triangle T$ Gesamtdehnung bei Zugstab und Temperaturabfall

$\epsilon_{ges} = -\dfrac{F}{EA} - \alpha \cdot \triangle T$ Gesamtdehnung bei Druckstab und Temperaturabfall

++ Videoclip – Gesamtdehnung berechnen ++

Im folgenden Video zeigen wir dir anhand eines Beispiels, wie du die Gesamtdehnung in einem Stab berechnen kannst.

Normalspannung bei Gesamtdehnung

In der Gleichung (2) wird deutlich, dass bei einer Gesamtdehnung auf eine Normalspannung gegeben ist. Grund dafür ist die auftretende mechanische Dehnung. Eine reine Wärmedehnung weist keine Normalspannung auf.

Wollen wir die Normalspannung berechnen, so können wir die obige Gleichung (2) nach dieser auflösen:

Merk's dir!

Erinnerung: Bei einer reinen Wärmedehnung entstehen keine Spannungen!

Die Normalspannung die dabei entsteht, kann aus der Gleichung (2) berechnet werden:

$\epsilon_{ges} = \dfrac{\sigma}{E} + \alpha \cdot \triangle T$

$\epsilon_{ges} - \alpha \cdot \triangle T = \dfrac{\sigma}{E}$

$(\epsilon_{ges} - \alpha \cdot \triangle T) \cdot E = \sigma$

Es ergibt sich eine Normalspannung bei einer Gesamtdehnung zu:

$\sigma = (\epsilon_{ges} - \alpha \cdot \triangle T) \cdot E$ Normalspannung

In der obigen Gleichung ist deutlich zu erkennen, dass bei der Berechnung der Normalspannung die Wärmedehnung α ·ΔT von der Gesamtdehnung ε_ges abgezogen wird.

In dieser Lerneinheit wollen wir uns zwei Aufgaben zur Berechnung der Gesamtdehnung bzw. Längenänderung anschauen.

Aufgabe 1: Konstante Temperaturänderung

Aufgabenstellung

Gegeben sei ein Stab, welcher am linken Ende fest eingespannt ist und am rechten Ende durch eine Druckkraft F belastet wird. Der Stab wird durch eine konstante Temperaturänderung ΔT im gesamten Stab belastet.

Wie groß muss die angreifende Kraft F sein, damit sich die Länge des Stabs nicht ändert?

Gegeben:

$L_0 = 1,5m$ , $A = 20mm^2$ , $\triangle T = 120 K$ , $E = 70.000 MPa$ , $\alpha = 23,1 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K}$

Lösung

Zunächst müssen wir die gegebenen Einheiten in SI-Einheiten umrechnen:

$A = 20mm^2 = 20 \cdot 10^{-6} m^2$

$E = 70.000 Mio. Pa$

Wir betrachten hier einmal eine Ausdehnung infolge der Temperaturdifferenz und zum anderen eine Dehnung infolge der Druckkraft F. Wir können hier also die Gleichung für die Gesamtdehnung heranziehen:

$\epsilon_{ges} = \dfrac{\sigma}{E} + \alpha \cdot \triangle T$

mit

$\sigma = \dfrac{N}{A} = \dfrac{-F}{A}$ Druckstab

Damit ergibt sich:

$\epsilon_{ges} = \dfrac{-F}{E \cdot A} + \alpha \cdot \triangle T$

In der Aufgabenstellung steht, dass sich der Stab nicht in seiner Länge ändern soll, damit tritt auch keine Dehnung auf:

$\epsilon_{ges} = 0$

Und damit:

$0 = \dfrac{-F}{E \cdot A} + \alpha \cdot \triangle T$

Auflösen nach der gesuchten Kraft F:
$\dfrac{F}{E \cdot A} = \alpha \cdot \triangle T$

$F = \alpha \cdot \triangle T \cdot E \cdot A$

Wir können nun alle Werte einsetzen und erhalten:

$F = 23,1 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K} \cdot 120 K \cdot 70.000.000 Pa \cdot 20 \cdot 10^{-6} m^2 = 3880,8 N$

Bei einer Druckkraft von 3.880,8 N ist die Dehnung infolge der Temperaturänderung gleich der Stauchung infolge der Kraft F. Damit tritt keine Längenänderung auf!

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