TM2 Gesamtdehnung im Stab – mechanische Dehnung und Wärmedehnung!

Zu unseren Kursen
Zu unseren Angeboten
Inhaltsverzeichnis:
In dieser Lerneinheit wollen wir uns anschauen, wie die Gesamtdehnung im Stab berechnet wird.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elastostatik /Festigkeitslehre findest du im Kurs: TM2-Festigkeitslehre

 

 

<em>Merk's dir!</em>

Die Gesamtdehnung setzt sich zusammen aus der Wärmedehnung infolge einer gegebenen Temperaturdifferenz \triangle T und einer mechanischen Dehnung, infolge einer Zug- oder Druckkraft. Treten beide Fälle auf, so müssen wir beide Dehnungen bei der Berechnung der Gesamtdehnung des Stabs berücksichtigen.

 

Gesamtdehnung, Wärmedehnung, Dehnung

 


Gesamtdehnung


Die Gesamtdehnung im Stab ergibt sich aus der Dehnung infolge einer Zugkraft und der Dehnung infolge einer Temperaturdifferenz:

(1) \epsilon_{ges} = \epsilon + \epsilon_T    Gesamtdehnung

 

Für die Dehnung infolge einer Zugkraft (im Weiteren mit εmech bezeichnet) können wir das Hookesche Gesetz heranziehen und nach der Dehnung auflösen: 

\sigma = E \cdot \epsilon_{mech}

\epsilon_{mech} = \dfrac{\sigma}{E}

 

Für die Dehnung infolge der Temperaturdifferenz haben wir im Abschnitt Wärmedehnungen die folgende Gleichung aufgezeigt:

\epsilon_T = \alpha \cdot \triangle T

 

Wir setzen nun die einzelnen Dehnungen in die Gleichung für die Gesamtdehnung ein und erhalten:

(2) \epsilon_{ges} = \dfrac{\sigma}{E} + \alpha \cdot \triangle T    Gesamtdehnung

 

Die Normalspannung σ können wir auch bestimmen zu:

\sigma = \dfrac{N}{A} = \dfrac{F}{A}   Zugstab

 

Einsetzen führt uns auf:

(3) \epsilon_{ges} = \dfrac{F}{EA} + \alpha \cdot \triangle T    Gesamtdehnung

 

Hierbei ist F die äußere Zugkraft, E der Elastizitätsmodul, A der Querschnitt, α der Längenausdehnungskoeffizient undΔT die Temperaturdifferenz. Der gesamte Ausdruck EA wird auch als Dehnsteifigkeit bezeichnet. 

 

Die obigen Gleichungen gelten für eine Ausdehnung des Stabs (Zugstab und Temperaturerhöhung). Ist zum Beispiel eine Druckkraft gegeben so wird die Kraft F negativ und damit folgt eine Stauchung und keine Ausdehnung. Der erste Term wird dann negativ:

\epsilon_{ges} = -\dfrac{F}{EA} + \alpha \cdot \triangle T    Gesamtdehnung bei Druckkraft & Temperaturerhöhung

 

Verringert sich die Temperatur des Stabes und zieht dieser sich zusammen, so muss der zweite Term negativ berücksichtigt werden:

\epsilon_{ges} = \dfrac{F}{EA} - \alpha \cdot \triangle T    Gesamtdehnung bei Zugstab und Temperaturabfall

\epsilon_{ges} = -\dfrac{F}{EA} - \alpha \cdot \triangle T    Gesamtdehnung bei Druckstab und Temperaturabfall

 

++ Videoclip – Gesamtdehnung berechnen ++

Im folgenden Video zeigen wir dir anhand eines Beispiels, wie du die Gesamtdehnung in einem Stab berechnen kannst.

 


Normalspannung bei Gesamtdehnung


In der Gleichung (2) wird deutlich, dass bei einer Gesamtdehnung auf eine Normalspannung gegeben ist. Grund dafür ist die auftretende mechanische Dehnung. Eine reine Wärmedehnung weist keine Normalspannung auf.

Wollen wir die Normalspannung berechnen, so können wir die obige Gleichung (2) nach dieser auflösen:

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Erinnerung: Bei einer reinen Wärmedehnung entstehen keine Spannungen!

 

Die Normalspannung die dabei entsteht, kann aus der Gleichung (2) berechnet werden:

\epsilon_{ges} = \dfrac{\sigma}{E} + \alpha \cdot \triangle T

\epsilon_{ges} - \alpha \cdot \triangle T = \dfrac{\sigma}{E}

(\epsilon_{ges} - \alpha \cdot \triangle T) \cdot E = \sigma

 

Es ergibt sich eine Normalspannung bei einer Gesamtdehnung zu:

\sigma = (\epsilon_{ges} - \alpha \cdot \triangle T) \cdot E     Normalspannung

 

In der obigen Gleichung ist deutlich zu erkennen, dass bei der Berechnung der Normalspannung die Wärmedehnung α ·ΔT von der Gesamtdehnung εges abgezogen wird. 

 

In dieser Lerneinheit wollen wir uns zwei Aufgaben zur Berechnung der Gesamtdehnung bzw. Längenänderung anschauen.


Aufgabe 1: Konstante Temperaturänderung


Aufgabenstellung

Gesamtdehnung, Dehnung im Stab, Wärmedehnung

Gegeben sei ein Stab, welcher am linken Ende fest eingespannt ist und am rechten Ende durch eine Druckkraft F belastet wird. Der Stab wird durch eine konstante Temperaturänderung ΔT im gesamten Stab belastet.

Wie groß muss die angreifende Kraft F sein, damit sich die Länge des Stabs nicht ändert?

Gegeben:

L_0 = 1,5m, A = 20mm^2, \triangle T = 120 K, E = 70.000 MPa, \alpha = 23,1 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K}

 

Lösung

Zunächst müssen wir die gegebenen Einheiten in SI-Einheiten umrechnen:

A = 20mm^2 = 20 \cdot 10^{-6} m^2

E = 70.000 Mio. Pa

 

Wir betrachten hier einmal eine Ausdehnung infolge der Temperaturdifferenz und zum anderen eine Dehnung infolge der Druckkraft F. Wir können hier also die Gleichung für die Gesamtdehnung heranziehen:

\epsilon_{ges} = \dfrac{\sigma}{E} + \alpha \cdot \triangle T   

mit

\sigma = \dfrac{N}{A} = \dfrac{-F}{A}   Druckstab

Damit ergibt sich:

\epsilon_{ges} = \dfrac{-F}{E \cdot A} + \alpha \cdot \triangle T   

 

In der Aufgabenstellung steht, dass sich der Stab nicht in seiner Länge ändern soll, damit tritt auch keine Dehnung auf:

\epsilon_{ges} = 0  

 

Und damit:

0 = \dfrac{-F}{E \cdot A} + \alpha \cdot \triangle T   

 

Auflösen nach der gesuchten Kraft F:
\dfrac{F}{E \cdot A}  = \alpha \cdot \triangle T    

F = \alpha \cdot \triangle T \cdot E \cdot A       

 

Wir können nun alle Werte einsetzen und erhalten:

F = 23,1 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K} \cdot 120 K \cdot 70.000.000 Pa \cdot 20 \cdot 10^{-6} m^2 = 3880,8 N 

 

Bei einer Druckkraft von 3.880,8 N ist die Dehnung infolge der Temperaturänderung gleich der Stauchung infolge der Kraft F. Damit tritt keine Längenänderung auf!

 

Was gibt es noch bei uns?

Tausende interaktive Übungsaufgaben

Übungsbereich

Quizfrage 1

 

Quizfrage 2

 

“Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?”  

shadow3

Bild 2021 11 01 101435

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:  

shadow3

 

Das erwartet dich!

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!
shadow3

 

Auszüge aus unserem Kursangebot!

Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen 

WT3 (Werkstoffprüfung) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

building 4794329 1280
TM1 (Technische Mechanik – Kurs)
scientist 6621069 1280
WT3 (Werkstoffprüfung – Kurs)

 

 

 

 

 

 

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 14,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs 
 ++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied  << werden und >> Zugriff auf alle 26 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 7,40 EUR/Monat 
++ Besser geht’s nicht!! ++ 

shadow3

 

Technikermathe.de meets Social-Media

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

photo 1611162616475 46b635cb6868

  Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram 

photo 1611262588024 d12430b98920

Technikermathe auf Facebook

photo 1611162618071 b39a2ec055fb

shadow3

Dein Technikermathe.de-Team

Zu unseren Kursen
Zu unseren Kursen
Consent Management Platform von Real Cookie Banner