(TM1-30) Flächenschwerpunkt für zusammengesetzte Flächen

Der Flächenschwerpunkt ist der Schnittpunkt zweier Schwerelinien einer Fläche. Eine Schwerelinie ist eine Gerade, welche die gegebene Fläche so teilt, dass zwei Flächen mit der Hälfte des Flächeninhalts entstehen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein ausführliches Rechenbeispiel zu dem Thema.

In dieser Lerneinheit wollen uns anschauen, wie der Flächenschwerpunkt eines zusammengesetzten Körpers mittels Momentensatz bestimmt wird.

Flächenschwerpunkt: Gleichungen

Jeder Körper weist einen Schwerpunkt auf. Für bestimmte Flächen kennen wir die Schwerpunktlagen, wie zum Beispiel für Kreise, Dreiecke und Rechtecke. Haben wir also einen Körper gegeben, für welchen wir die Schwerpunktlage nicht kennen, dann können wir diesen ganz einfach in Flächen aufteilen, für welche wir die Schwerpunktlage kennen:

In der obigen Grafik ist ein C-Profil gegeben. Zur Bestimmung des Schwerpunktes kannst du das gegebene C-Profil Teilflächen aufteilen, für welche du die Schwerpunktlage kennst. Im obigen Beispiel haben wir das C-Profil also in drei rechteckige Fläche geteilt und die Schwerpunkte der drei Fläche genau mittig eingezeichnet.

Um den Gesamtschwerpunkt des C-Profils bestimmen zu können, wenden wir die folgenden Gleichungen an, die aus dem Momentensatz hergeleitet ist:

Schwerpunktlage in x-Richtung:

$x_S = \dfrac{x_1 \cdot A_1 + x_2 \cdot A_2 + ... + x_n \cdot A_n}{A_1 + A_2 + ... + A_n}$

$x_S = \dfrac{\sum x_i \cdot A_i}{\sum A_i}$

Schwerpunktlage in y-Richtung:

$y_S = \dfrac{y_1 \cdot A_1 + y_2 \cdot A_2 + ... + y_n \cdot A_n}{A_1 + A_2 + ... + A_n}$

$y_S = \dfrac{\sum y_i \cdot A_i}{\sum A_i}$

Um die obigen Gleichungen anwenden zu können, müssen wir vorab ein x,y-Koordinatensystem einführen. Die Abstände x_i und y_i sind dann die Abstände in x- und y-Richtung vom Koordinatenursprung hin zu den einzelnen Schwerpunkten der Teilflächen A_i.

Merk's dir!

Hast du Aussparungen gegeben, so werden diese einfach als negative Flächen (-A_i) abgezogen.

Video: Flächenschwerpunkt für zusammengesetzte Flächen

Im folgenden Video zeigen wir dir, wie du den Flächenschwerpunkt für zusammengesetzte Flächen bestimmen kannst:

Lernclip

Flächenschwerpunkt

Prüfungsaufgabe 1: Flächenschwerpunkt bestimmen

Aufgabenstellung

Gegeben sei das obige Profil mit den gegebenen Abmessungen.

Bestimme den Flächenschwerpunkt des gegebenen Profils!

Lösung

Wir wollen den Gesamtschwerpunkt des obigen Profils bestimmen. Dazu können wir das Profil zunächst in Teilflächen zerlegen und die Schwerpunkte der Teilflächen einzeichnen:

Flächenschwerpunkt, Prüfungsvorbereitung Techniker — Teilflächen und Schwerpunktlage

Da es sich um zwei rechteckige Flächen handelt, liegt der Schwerpunkt genau in der Mitte. Die Abmessungen haben wir entsprechend angepasst. Als nächstes führen wir ein x,y-Koordinatensystem ein. Dieses sollte – wenn nicht bereits in der Aufgabe gegeben – so eingeführt werden, dass die Abmessungen vom Koordinatensystem hin zu den Schwepunkten gegeben sind. Dazu legst du das Koordinatensystem am Besten an eine Ecke des Profils:

Flächenschwerpunkt bestimmen – Koordinatensystem einführen

Im nächsten Schritt wenden wir die beiden Formeln zur Bestimmung des Gesamtschwerpunktes an. Wir starten mit der Berechnung des Gesamtschwerpunktes in x-Richtung. Dazu müssen wir nun die Abstände in x-Richtung vom Koordinatensystem hin zu den einzelnen Schwerpunkten betrachten (y-Achse wurde dazu verlängert):

Flächenschwerpunkte bestimmen — Flächenschwerpunkt bestimmen – Abstände in x-Richtung

Da wir uns von der y-Achse in positive x-Richtung bis hin zu den Schwerpunkten bewegen, sind die Abstände positiv. Zum ersten Schwerpunkt ist ein Abstand von 0,4m gegeben, zum zweiten Schwerpunkt ein Abstand von 0,75m in x-Richtung. Die Flächen A₁ = 0,1m · 0,8m und A₂ = 0,1m · 0,7m der beiden Teilflächen müssen wir innerhalb der Formel ebenfalls berücksichtigen:

$x_S = \dfrac{\sum x_i \cdot A_i}{\sum A_i} = \dfrac{x_1 \cdot A_1 + x_1 \cdot A_2}{A_1 + A_2}$

$x_S = \dfrac{0,4m \cdot (0,1m \cdot 0,8m) + 0,75m \cdot (0,1m \cdot 0,7m)}{(0,1m \cdot 0,8m) + (0,1m \cdot 0,7m)}$

$x_S = 0,56 m$

Der Abstand vom Koordinatenursprung zum Gesamtschwerpunkt in x-Richtung beträgt 0,56 m.

Wir benötigen als nächstes den Abstand in y-Richtung:

Der Abstand von 0,05m von der x-Achse zum ersten Schwerpunkt erfolgt in positive y-Richtung, der Abstand von -0,35m von der x-Achse zum zweiten Schwerpunkt in negative y-Richtung. Dieser Abstand wird also negativ berücksichtigt. Die Flächen A₁ = 0,1m · 0,8m und A₂ = 0,1m · 0,7m der beiden Teilflächen müssen wir innerhalb der Formel ebenfalls berücksichtigen:

$y_S = \dfrac{\sum y_i \cdot A_i}{\sum A_i} = \dfrac{y_1 \cdot A_1 + y_1 \cdot A_2}{A_1 + A_2}$

$y_S = \dfrac{0,05m \cdot (0,1m \cdot 0,8m) - 0,35m \cdot (0,1m \cdot 0,7m)}{(0,1m \cdot 0,8m) + (0,1m \cdot 0,7m)}$

$y_S = -0,14 m$

Der Abstand vom Koordinatenursprung zum Gesamtschwerpunkt in y-Richtung beträgt -0,14 m.

In der nachfolgenden Grafik ist der Schwerpunkt des Gesamtprofils eingezeichnet. Dieser befindet sich außerhalb des Körpers:

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit betrachten wir ein weitere Aufgabe mit Aussparung zur Bestimmung des Gesamtschwerpunktes einer Fläche, indem wir diese in Teilflächen teilen.

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