(ET5-12) Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

In diesem Kurstext betrachten eine Wechselstromschaltung. Genauer gesagt die Parallelschaltung von R und C, also von Widerstand und Kapazität (Kondensator). In der Literatur findest du auch die Bezeichnung RC-Schaltung.

Für ein optimales Verständnis helfen dir in diesem Kapitel drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elektrotechnik findest du im Kurs: ET7-Wechselstromtechnik 2

Parallelschaltung von R und L – Vorgehensweise – Überblick

Damit du nicht immer zwischen den Texten blättern musst. Findest du nachfolgend noch mal den Überblick für die einzelnen Teilschritte.

Die Vorgehensweise erfolgt immer nach einem gleichbleibenden Schema:

I. Zuerst entwerfen wir den zugehörigen Schaltplan und versehen ihn mit die passenden sowie notwendigen Zählpfeilen und Zeigerangaben.

II. Danach formulieren wir mit dem Maschensatz und dem Knotensatz die passenden Kirchhoff’schen Gesetze

III. Im Anschluss daran folgt die Anfertigung des Zeigerbildes basierend auf unseren Angaben

IV. Anschließend folgt die Berechnung der Beträge der Größen Spannung und Strom

V. Abschließend bestimmen wir den Phasenverschiebungswinkel.

Parallelschaltung von R und C – Schaltplan mit Zählpfeilen anfertigen

Nachfolgend findest du den Schaltplan mit einer Parallelschaltung von Widerstand und Kapazität (Kondensator) mit der Angabe der zugehörigen Ströme, der Quellenspannung sowie der elektrischen Spannung.

Parallelschaltung von R und C - Spannungszeiger — Parallelschaltung von R und C – Schaltplan

Wir suchen den Wert für den Netzstrom, den Phasenverschiebungswinkel zwischen Netzstrom und Netzspannung, sowie den Wert für die aufgenommene Leistung und die verrichtete Arbeit.

Parallelschaltung von R und C – Knotensatz aufstellen

Wie du weißt, besagt der Knotensatz, dass die Summe aller Ströme gleich null ist.

$\boxed{\sum \underline{I} = 0}$

Für einen kompletten Umlauf in unserem Schaltplan erhalten wir die folgende Gleichung:

$\boxed{ \underline{I}_R + \underline{I}_C = \underline{I} }$

An die Gleichung des Knotensatzes angepasst erhalten wir dann:

$\boxed{ \sum \underline{I} = \underline{I}_R + \underline{I}_C - \underline{I} = 0 }$

Parallelschaltung von R und C – Zeigerbild anfertigen

Mit Hilfe der obigen Gleichung können wir nun ein Zeigerbild erzeugen. Jeder Strom wird als Stromzeiger erfasst. Die gemeinsame Wechselgröße ist hier die elektrische Spannung, da dieser sowohl für den Widerstand $R$ als auch für die Induktivität $L$ gleich ist.

Im ersten Schritt zeichnen wir den Spannungszeiger $\underline{U}$ des elektrischen Stroms als horizontalen Pfeil:

Im zweiten Schritt zeichnen wir den Stromzeiger des Widerstandes $\underline{I}_R$ ein, welcher in der gleichen Phase liegt wie der Spannungszeiger $\underline{U}$ .

Parallelschaltung von R und C - Stromzeiger (Widerstand) — Parallelschaltung von R und C – Stromzeiger (Widerstand)

Im dritten Schritt zeichnen wir den Stromzeiger der Kapazität $\underline{I}_L$ ein, dessen Ende wird an die Spitze des Stromzeigers des Widerstandes $\underline{I}_R$ angezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass dieser dem Spannungszeiger um $90°$ vorauseilt, weshalb der vertikal nach oben eingezeichnet wird.

Parallelschaltung von R und C - Stromzeiger (Kapazität) — Parallelschaltung von R und C – Stromzeiger (Kapazität)

Im vierten Schritt zeichnen wir vom Ursprung ausgehend den Stromzeiger des Netzstroms $\underline{I}$ ein, welcher aufgrund der geometrischen Vektoraddition mit seiner Spitze an der Spitze des Stromzeigers der Kapazität $\underline{I}_C$ endet.

Parallelschaltung von R und C - Stromzeiger (Netzstrom) — Parallelschaltung von R und C – Stromzeiger (Netzstrom)

Unser Zeigerbild ist nun fast vollständig. Wir greifen jetzt aber kurz vor und zeichnen schon ein mal den Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ ein.

Parallelschaltung von R und C - Phasenverschiebungswinkel — Parallelschaltung von R und C – Phasenverschiebungswinkel

Parallelschaltung von R und C – Netzspannung und Scheinwiderstand berechnen

Jetzt können wir unter Verwendung des Ohmsche Gesetzes und in Hinblick auf das rechtwinklige Stromdreieck die anliegenden Ströme für den Widerstand und die Induktivität ermitteln:

Berechnung der Spannungen bei R und C

$\boxed{I_R = \frac{U}{R}}$ Strom am Widerstand

Kennzahlen:

$\boxed{ I_R = }$ Strom am Widerstand

$\boxed{U = }$ Vorliegende Spannung

$\boxed{ R = }$ Widerstandswert

sowie

$\boxed{I_C = \frac{U}{X_C }}$ Strom an der Kapazität

Kennzahlen:

$\boxed{I_C = }$ Strom an der Kapazität

$\boxed{U = }$ Vorliegender Spannung

$\boxed{R = }$ Widerstandswert

Berechnung des Netzstroms

Da es sich um ein rechtwinkliges Spannungsdreieck handelt wenden wir den Satz des Pythagoras an um die Netzspannung zu errechnen:

$\boxed{I = \sqrt{ I_R^2 + I_C^2} }$

Unter Einsatz der obigen beiden Gleichungen erhalten wir:

$\boxed{ I = \sqrt{ I_R^2 + I_C^2} }$ Netzstrom

$\boxed{ I = U \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\frac{1}{X_C})^2} }$ Netzstrom

bzw.

$\boxed{ I = U \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\omega \cdot C)^2 }}$ Netzstrom

Berechnung des Scheinwiderstandes

Zusätzlich können wir auch noch den Scheinwiderstand errechnen. Der Scheinwiderstand $Z$ errechnet sich aus dem Quotienten von Spannung und Stromstärke.

$\boxed{ Z = \frac{U}{I} }$ Scheinwiderstand

Unter Verwendung der Gleichung für die Netzspannung erhalten wir angepasst für den Scheinwiderstand:

$\boxed{\frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^2} +(\frac{1}{X_C})^2} }$ Scheinwiderstand

bzw.

$\boxed{ \frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^2} +(\frac{1}{\omega \cdot C})^2} }$ Scheinwiderstand

Parallelschaltung von R und C – Phasenverschiebungswinkel berechnen

Der Phasenverschiebungswinkel kann ebenfalls unter Hinzunahme des Zeigerbildes berechnet werden. Die zugehörige Formeln hierzu ist:

$\boxed{ tan \varphi = - \frac{I_L}{I_R} }$

Unter Verwendung der obigen Gleichungen für die Spannungen an Widerstand und Induktivität erhalten wir, als angepasste Gleichung:

$\boxed{tan \varphi = - R \cdot \omega \cdot C} }$ Phasenverschiebungswinkel

Parallelschaltung von R und C – Leistung und Arbeit berechnen

Falls es von dir erwünscht oder in der Aufgabenstellung gefordert wird, kannst du noch die Leistung und die Arbeit dieser Schaltung berechnen.

Berechnung der Leistung

Zur Berechnung der Leistungen, welche vom der Schaltung aufgenommen wird, passen wir die allgemeinen Gleichungen einfach an:

Leistung

Aus $P = U \cdot I$ wird $\rightarrow$

$\boxed{ P = U \cdot I \cdot \cos \varphi }$

Blindleistung

Aus $Q = U \cdot I$ wird $\rightarrow$

$\boxed{ Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi }$

Scheinleistung

Die Scheinleistung errechnet sich wie gewohnt.

$\boxed{ S = U \cdot I }$

Berechnung der Arbeit

Die Berechnung der Arbeit, die verrichtet wird im einen Zeitraum t, erfolgt ja aus dem Produkt von Leistung $P$ oder $Q$ und dem Faktor Zeit $t$

Arbeit

Aus $W = P \cdot t$ wird $\rightarrow$

$\boxed{ W = U \cdot I \cdot \cos \varphi \cdot t }$

Blindarbeit

Aus $W= Q \cdot t$ wird $\rightarrow$

$\boxed{W = U \cdot I \cdot \sin \varphi \cdot t }$

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt weißt wie mit einer Parallelschaltung von Widerstand und Kapazität umzugehen ist und welche Größen hierbei berechnet werden können, behandeln wir im kommenden Kurstext die Schwingkreise als neues Thema.

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