(ET5-10) Reihenschaltung von Widerstand und Kondensator

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kurstext betrachten eine Wechselstromschaltung. Genauer gesagt die Reihenschaltung von R und C, also von Widerstand und Kondensator (Kapazität).

 


Reihenschaltung von R und C – Vorgehensweise – Überblick


Damit du nicht immer zwischen den Texten blättern musst. Findest du nachfolgend noch mal den Überblick für die einzelnen Teilschritte.

 

Die Vorgehensweise erfolgt immer nach einem gleichbleibenden Schema:

I. Zuerst entwerfen wir den zugehörigen Schaltplan und versehen ihn mit die passenden sowie notwendigen Zählpfeilen und Zeigerangaben.

II. Danach formulieren wir mit dem Maschensatz und dem Knotensatz die passenden Kirchhoff’schen Gesetze

III. Im Anschluss daran folgt die Anfertigung des Zeigerbildes basierend auf unseren Angaben

IV. Anschließend folgt die Berechnung der Beträge der Größen Spannung und Strom

V. Abschließend bestimmen wir den Phasenverschiebungswinkel.

 


Reihenschaltung von R und C  – Schaltplan mit Zählpfeilen anfertigen


Nachfolgend findest du den Schaltplan mit einer Reihenschaltung von Widerstand und Kapazität (Kondensator) mit der Angabe der zugehörigen Spannungen, der Quellenspannung sowie dem elektrischen Strom.

 

Reihenschaltung von R und C - Schaltplan
Reihenschaltung von R und C – Schaltplan

 

Wie du weißt, besitzt die Wechselspannung den Effektivwert U und die Kreisfrequenz \omega = 2 \pi \cdot f

 

Wie im vorherigen Beispiel suchen wir den Wert für die Netzspannung, den Phasenverschiebungswinkel zwischen Netzspannung und Netzstrom, sowie den Wert für die aufgenommene Leistung und die verrichtete Arbeit

 


Reihenschaltung von R und C – Maschensatz aufstellen


Wie du weißt, besagt der Maschensatz, dass die Summe aller Spannung gleich null ist.

 

 \boxed{ \sum \underline{U} = 0}

 

Für einen kompletten Umlauf in unserem Schaltplan erhalten wir die folgende Gleichung:

 \boxed{  \underline{U}_R + \underline{U}_C = \underline{U} }

 

An die Gleichung des Maschensatzes angepasst erhalten wir dann:

 

 \boxed{ \sum \underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_C - \underline{U} = 0 }

 


Reihenschaltung von R und C – Zeigerbild anfertigen


Mit Hilfe der obigen Gleichung können wir nun ein Zeigerbild erzeugen. Jede Spannung wird als Spannungszeiger erfasst. Die gemeinsame Wechselgröße ist hier der elektrische Strom, da dieser sowohl für den Widerstand R als auch für die Kapazität C gleich ist. 

 

Im ersten Schritt zeichnen wir den Stromzeiger \underline{I} des elektrischen Stroms als horizontalen Pfeil:

 

Reihenschaltung von R und C - Stromzeiger
Reihenschaltung von R und C – Stromzeiger

 


Im zweiten Schritt zeichnen wir den Spannungszeiger des Widerstandes \underline{R}_R ein, welcher in der gleichen Phase liegt wie der Stromzeiger \underline{I}.

 

Reihenschaltung von R und C - Spannungszeiger (Widerstand)
Reihenschaltung von R und C – Spannungszeiger (Widerstand)

 


Im dritten Schritt  zeichnen wir den Spannungszeiger der Kapazität \underline{U}_C ein, dessen Ende wird an die Spitze des Spannungszeigers des Widerstandes \underline{U}_R angezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass dieser dem Stromzeiger um 90° nacheilt, weshalb der vertikal  nach unten eingezeichnet wird.

 

Reihenschaltung von R und C - Spannungszeiger (Kapazität)
Reihenschaltung von R und C – Spannungszeiger (Kapazität)

 


Im vierten Schritt zeichnen wir vom Ursprung ausgehend den Spannungszeiger \underline{U} ein, welche aufgrund der geometrischen Vektoraddition mit seiner Spitze an der Spitze des Spannungszeigers der Induktivität \underline_{U}_C endet.

Reihenschaltung von R und C - Spannungszeiger (Netzspannung)

 


Unser Zeigerbild ist nun fast vollständig. Wir greifen jetzt aber kurz vor und zeichnen schon ein mal den Phasenverschiebungswinkel \varphi ein. 

 

Reihenschaltung von R und C - Phasenverschiebungswinkel
Reihenschaltung von R und C – Phasenverschiebungswinkel

 


Reihenschaltung von R und C – Netzspannung und Scheinwiderstand berechnen


Jetzt können wir unter Verwendung des Ohmsche Gesetzes und in Hinblick auf das rechtwinklige Spannungsdreieck die Spannungen für den Widerstand und die Induktivität ermitteln:

 


Berechnung der Spannungen bei R und C


 \boxed{ U_R = I \cdot R } Spannung am Widerstand

Kennzahlen:

 \boxed{ U_R = } Spannung am Widerstand

 \boxed{I = } Vorliegender Strom

 \boxed{R = } Widerstandswert

 

sowie

 

 \boxed{U_C = \frac{I}{\omega \cdot C } } Spannung an der Kapazität

 

Kennzahlen:

 \boxed{U_C = } Spannung an der Kapazität

 \boxed{ I = } Vorliegender Strom

 \boxed{ R = } Widerstandswert

 \boxed{ \omega = } Kreisfrequenz

 


Berechnung der Netzspannung


Da es sich um ein rechtwinkliges Spannungsdreieck handelt wenden wir den Satz des Pythagoras an um die Netzspannung zu errechnen:

 \boxed{ U = \sqrt{ U_R^2 + U_C^2} }

 

Unter Einsatz der obigen beiden Gleichungen erhalten wir:

 

 \boxed{ U =  \sqrt{ U_R^2 + U_C^2} } Netzspannung

 

 \boxed{ U = I \sqrt{ R^2 + (\frac{1}{\omega \cdot C})^2} } Netzspannung

 


Berechnung des Scheinwiderstandes


Zusätzlich können wir auch noch den Scheinwiderstand errechnen.

 

Der Scheinwiderstand Z errechnet sich aus dem Quotienten von Spannung und Stromstärke. 

 

 \boxed{ Z = \frac{U}{I} } Scheinwiderstand

 

Unter Verwendung der Gleichung für die Netzspannung erhalten wir angepasst für den Scheinwiderstand:

 \boxed{ Z = \sqrt{ R^2 + (\frac{1}{\omega \cdot C})^2} } Scheinwiderstand

 


Reihenschaltung von R und C – Phasenverschiebungswinkel berechnen


Der Phasenverschiebungswinkel kann ebenfalls unter Hinzunahme des Zeigerbildes berechnet werden. Die zugehörige Formeln hierzu ist:

 

 \boxed{ tan \varphi = - \frac{U_L}{U_C} } 

 

Unter Verwendung der obigen Gleichungen für die Spannungen an Widerstand und Induktivität erhalten wir, als angepasste Gleichung:

 

 \boxed{ tan \varphi = - \frac{1}{R \cdot \omega \cdot L} } Phasenverschiebungswinkel

 


Reihenschaltung von R und C – Leistung und Arbeit berechnen


Falls es von dir erwünscht oder in der Aufgabenstellung gefordert wird, kannst du noch die Leistung und die Arbeit dieser Schaltung berechnen.

 


Berechnung der Leistung


Zur Berechnung der Leistungen, welche vom der Schaltung aufgenommen wird, passen wir die allgemeinen Gleichungen einfach an:

Leistung

Aus P = U \cdot I wird \rightarrow

 \boxed{ P = U \cdot I cos \varphi }

Blindleistung

Aus Q = U \cdot I wird \rightarrow

 \boxed{ Q = U \cdot I sin \varphi }

Scheinleistung

Die Scheinleistung errechnet sich wie gewohnt.

 \boxed{ S = U \cdot I } 

 


Berechnung der Arbeit


Die Berechnung der Arbeit, die verrichtet wird im einen Zeitraum t, erfolgt ja aus dem Produkt von Leistung P oder Q und dem Faktor Zeit t

Arbeit

Aus W = P \cdot t wird \rightarrow

 \boxed{W = U \cdot I cos \varphi \cdot t }

Blindarbeit

Aus W= Q \cdot t wird \rightarrow

 \boxed{W = U \cdot I sin \varphi \cdot t }

 


wie gehts weiter?
Nachdem du jetzt weißt wie mit einer Reihenschaltung von Widerstand und Kapazität umzugehen ist und welche Größen hierbei berechnet werden können, behandeln wir im kommenden Kurstext die Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität.

 

 

Trainingsbereich

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