(ET5-042) – R L C im Wechselstrom

In diesem Kurstext stellen wir dir R L C im Wechselstrom vor und somit die Belastungsarten im Wechselstromkreis durch Widerstand (Ohmscher Verbraucher) $R$ , Induktivität (Spule) $L$ und Kapazität (Kondensator) $C$ vor.

R L C im Wechselstrom – Überblick

Für die drei benannten Größen (elektrische Bauteile) möchten wir dir nun nacheinander vorstellen und dazu die notwendigen Formeln (Sinusströme und Sinusspannungen) aufstellen, die wir für spätere Berechnungen benötigen.

Als Grundlage dienen uns die allgemeinen Gleichungen für die Berechnungen von R L C im Wechselstrom

$R =$ Widerstand (Ohmscher Verbraucher)

$L =$ Induktivität (Spule)

$C =$ Kapazität (Kondensator)

R L C im Wechselstrom – Schaltzeichen und Allgemeine Spannungsgleichung für R, L, C

Wir schauen uns nun die einzelnen Bauteile nacheinander an.

R | (Ohmscher Verbraucher – Widerstand)

Nachfolgend siehst du das typische Schaltzeichen für einen elektrischen Widerstand:

Die zugehörige Gleichung für die Berechnung der Spannung eines elektrischen Widerstandes in einem Wechselstromkreis ist:

$\boxed{ u = i \cdot R }$

Merk's dir!

Hierbei handelt es sich um eine für die Wechselstromtechnik angepasste Version des Ohmschen Gesetzes.

L | (Spule – Induktivität)

Nachfolgend siehst du das typische Schaltzeichen für eine elektrische Spule:

Die zugehörige Gleichung für die Berechnung der Spannung einer elektrischen Spule in einem Wechselstromkreis ist:

$\boxed{ u = L \cdot \frac{di}{dt}}$

C | (Kondensator – Kapazität)

Nachfolgend siehst du das typische Schaltzeichen für einen elektrischen Kondensator:

Die zugehörige Gleichung für die Berechnung der Spannung eines elektrischen Kondensators in einem Wechselstromkreis ist:

$\boxed{ u = \frac{1}{C} \cdot \int i dt }$

R L C im Wechselstrom – Sinusspannung

Die Gleichung für die Sinusspannung kann wie folgt ausgedrückt werden

$\boxed{ u = \sqrt{2} U \cdot sin(\omega t) }$

R L C im Wechselstrom – Sinusströme ermitteln

Um die Sinusströme zu ermitteln, bedienen wir uns der oben aufgeführten Gleichungen für die Berechnung der Spannungswerte im Wechselstromkreis.

“In der Realität würde man nun nacheinander an einen Widerstand, eine Spule und einen Kondensator eine Sinusspannung anlegen und anschließend den zugehörigen Strom ermitteln.”

Uns genügen jetzt aber erst mal die Gleichungen:

R | Ohmscher Verbraucher – Widerstand – Sinusstrom (Herleitung + Formel)

Als Ausgangsgleichung dient uns die bereits erwähnte allgemeine Spannungsgleichung als Abwandlung des allgemeinen Ohm’schen Gesetzes.

$\boxed{ u = i \cdot R }$

Diese Gleichung können wir jetzt ganz easy nach $i$ auflösen, indem wir beide Seiten der Gleichung durch $R$ dividieren.

$\boxed{ i = \frac{u}{R} }$

Da es sich bei der Spannung um eine Sinusspannung handelt müssen wir diese Gleichung aber noch anpassen:

$\boxed{ i = \frac{u}{R} = \sqrt{2} \frac{U}{R} \cdot sin (\omega t) }$

L | Spule – Induktivität – Sinusstrom (Herleitung + Formel)

Als Ausgangsgleichung dient uns die bereits erwähnte allgemeine Spannungsgleichung für die Spule.

$\boxed{ u = L \cdot \frac{di}{dt}}$

Diese Gleichung können wir jetzt ganz easy nach $i$ auflösen.

$\boxed{ i = \frac{1}{L} \int u \cdot dt }$

Da es sich bei der Spannung um eine Sinusspannung handelt müssen wir diese Gleichung aber noch anpassen:

$\boxed{ i = - \sqrt{2} \frac{U}{\omega \cdot L} \cdot cos (\omega t) }$

“Noch haben wir aber für die Spule keine Sinusfuktion, sondern lediglich eine Kosinusfunktion vorliegen.”

C | Kondensator – Kapazität – Sinusstrom (Herleitung + Formel)

Als Ausgangsgleichung dient uns die bereits erwähnte allgemeine Spannungsgleichung für den Kondensator.

$\boxed{ u = \frac{1}{C} \int i dt}$

Diese Gleichung können wir jetzt ganz easy nach $i$ auflösen.

$\boxed{ i = C \frac{du}{dt}}$

Da es sich bei der Spannung um eine Sinusspannung handelt müssen wir diese Gleichung aber noch anpassen:

$\boxed{ i = \sqrt{2} U \cdot \omega \cdot C \cdot cos (\omega t) }$

“Noch haben wir aber für die Kapazität keine Sinusfuktion, sondern lediglich eine Kosinusfunktion vorliegen.”

R L C im Wechselstrom – Zweckmäßige Anpassung der Größen

Wir passen die Größen nun in zweierlei Hinsicht an.

Anpassung der Kurzzeichen

Die Kurzzeichen für die Sinusströme / Kosinusströme erhalten ein tiefergestelltes Symbol, damit man sie in umfangreichen Berechnungen auch direkt identifizieren kann.

$\boxed{ i_R = \frac{u}{R} = \sqrt{2} \frac{U}{R} \cdot sin (\omega t) }$

$\boxed{ i_L = - \sqrt{2} \frac{U}{\omega \cdot L} \cdot cos (\omega t) }$

$\boxed{ i_C = \sqrt{2} U \cdot \omega \cdot C \cdot cos (\omega t) }$

R L C im Wechselstrom – Transformation der Kosinusfunktion in eine Sinusfunktion

Da es sich bei der Gleichung für die Induktivität und die Kapazität jeweils um eine Kosinusfunktion handelt, müssen wir einen Umrechnungsfaktor ermitteln, der es uns erlaubt daraus eine Sinusfunktion zu erzeugen.

Der notwendige Umrechnungsfaktor ist

$- cos(\omega t) = sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$

$\boxed{ i_R = \frac{u}{R} = \sqrt{2} \frac{U}{R} \cdot sin (\omega t) }$ (Diese Gleichung bleibt unverändert, ist bereits eine Sinusfunktion)

$\boxed{ i_L = - \sqrt{2} \frac{U}{\omega \cdot L} \cdot sin(\omega t - \frac{\pi}{2})}$ (Es findet ein Vorzeichenwechsel statt)

$\boxed{ i_C = \sqrt{2} U \cdot \omega \cdot C \cdot sin(\omega t - \frac{\pi}{2})}$ (Es findet ein Vorzeichenwechsel statt)

wie gehts weiter?

Nachdem wir jetzt die Größen R L C im Wechselstrom eingeführt haben und die die zugehörigen Sinusströme und Sinusspannungen kennengelernt hast, wollen wir im kommenden Kurstext auf das Thema Blindwiderstände und Leitwerte näher eingehen.

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