(ET5-03) Wechselstromtechnik – Wechselstromgrößen

In dieser Lerneinheit stellen wir dir die wichtigsten Größen aus der Wechselstromtechnik, also die Wechselstromgrößen, die Wechselspannungsgrößen oder arithmetischer Mittelwert, sowie die Schwingungsbreite vor.

Für ein optimales Verständnis helfen dir in diesem Kursabschnitt drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elektrotechnik findest du im Kurs: ET6-Wechselstromtechnik 1

Die Vertiefung der Wechselstromtechnik findest du im Kurs: ET7-Wechselstromtechnik 2

Merk’s dir!

“Die Wechselstromgrößen und Wechselspannungsgrößen kennzeichnet, dass sie einer zeitlichen Änderung unterworfen sind.”

Wechselstromgrößen

Die Wechselstromgrößen werden nicht selten als Sinusgrößen bezeichnet. Dabei greifen wir nochmals die bereits im vorherigen Text aufgeführten Größen auf und ergänzen sie um weitere Größen.

Die Kenntnis dieser Größen wird dir helfen die kommenden Themen optimal zu verstehen und auch in deiner späteren Prüfung problemlos Berechnungen durchführen zu können.

Wir gehen im Detail auf folgende Werte ein:

Arithmetischer Mittelwert
Periodendauer
Frequenz
Grundkreisfrequenz
Schwingungsbreite (Spitze-Spitze-Wert)

Wechselstromgrößen – Arithmetischer Mittelwert (Formel + Einheit)

Der arithmetische Mittelwert ist bei einer Periodendauer laut Definition gleich Null. Auch wenn man das Vielfache einer vollständigen Periodendauer betrachtet, so ergibt sich immer ein Wert von Null. Formal äußert sich das dann wie folgt:

$\overline{i} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i(t) dt = 0$

Kennzahlen:

$\overline{i} =$ Arithmetischer Mittelwert

$T =$ Periodendauer

$i(t) =$ Augenblickwert des Stroms.

Er ist also der mittlere Wert eines sich periodisch wiederholenden Stroms in Zeitabhängigkeit $i (t)$

Einheit

Die Einheit des Arithmetischen Mittelwerts des Stroms ist Ampere.

$[\overline{i}] = 1 A$

Ist es dir aufgefallen?…

Anders als in der Gleichstromtechnik nutzen wir für die Spannung und den Strom keine Großbuchstaben mehr.

Wechselstromgrößen – Periodendauer (Formel + Einheit)

Die Periodendauer ist nichts anderes als die Zeitdauer $T$ eines vollständigen Vorgangs bis zu dem Zeitpunkt in welchem die Wiederholung wieder einsetzt. In der nächsten Abbildung siehst du die Periodendauer als T eingezeichnet. Sie entspricht bei einer Sinusfunktion dem Wert von $2 \pi$

Um diese beschriebene Eigenschaft der Wiederholung formal zu beschreiben, eignet sich die nachfolgende Gleichung, die auch als Periodische Zeitfunktion beschrieben wird:

$i (t) = i (t + k \cdot T)$

Kennzahlen:

$T =$ Periodendauer

$k =$ Anzahl der Durchgänge

Einheit:

Die Einheit der Periodendauer ist Sekunde

$[T] = 1s$

Wechselstromgrößen – Frequenz (Formel + Einheit)

Die Frequenz $f$ , gelegentlich auch Grundfrequenz genannt, berechnet sich aus dem Kehrwert der Periodendauer. Sie gibt uns Auskunft darüber, wie oft sich ein Vorgang in einem bestimmten Zeitverlauf wiederholt.

Die formale Schreibweise findest du nachfolgend:

$f = \frac{1}{T}$

Kennzahlen:

$f =$ Frequenz

$T =$ Periodendauer

Einheit:

Die Einheit der Frequenz ist Hertz, kurz HZ

$[f] = 1 HZ = 1s^{-1}$

Wechselstromgrößen – Kreisfrequenz (Formel + Einheit)

Die Kreisfrequenz gelegentlich auch Grundkreisfrequenz genannt ist eine weitere wichtige Größe. Formal bestimmt sie sich wie folgt:

Die Kreisfrequenz $\omega$ berechnet sich aus dem Produkt von Frequenz $f$ und Kreiszahl $\pi$ multipliziert mit dem Faktor $2$ .

$\omega = 2 \pi \cdot f$

Ausgehend von der Gleichung zur Frequenz, lässt sich die Kreisfrequenz auch aus dem Quotienten von Kreiszahl $\pi$ und Periodendauer $T$ multipliziert mit dem Faktor $2$ ermitteln.

$\omega = 2 \frac{\pi}{T} = \frac{2 \pi}{T}$

Kennzahlen:

$f =$ Frequenz

$T =$ Periodendauer

$\pi =$ Kreiszahl

Einheit:

Die Einheit der Kreisfrequenz ist nicht Hertz, sondern $1 s^{-1}$ .

$[f] = 1s^{-1}$

Warum? – Darum…

Die Kreisfrequenz ist ja eigentlich nichts anderes als ein Vielfaches der Frequenz f. Aber wenn man Spannungen und deren Verläufe berechnen möchte, muss man auf die Kreisfrequenz zurückgreifen. Denn Winkelfunktionen werden in der Technik immer mit einem Winkelmaßsystem berechnet und $2 \cdot \pi$ stellt hier einen Vollwinkel im Bogenmaß dar.

Beispiel: Netzfrequenz – Periodendauer und Kreisfrequenz

Die Netzfrequenz des Europäischen Stromnetzes beträgt 50 Hz. Wie sind Periodendauer und Kreisfrequenz?

Periodendauer:

Die allgemeine Form ist:

$T = \frac{1}{f}$

Die angepasste Form ist:

$T_{50} = \frac{1}{50 Hz} = \frac{1}{50} s = 20 ms}$

Kreisfrequenz:

Die allgemeine Form ist:

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$

Die angepasste Form ist:

$\omega_{50} = 2 \cdot \pi \cdot 50 Hz = 314 s^{-1}$

50 Hertz? – Abweichungen unerwünscht!

Die Frequenz des europäischen Stromverbund-Netzes ist auf einen festen Wert von 50 Hz eingestellt. Dieser Wert muss auf jeden Fall gehalten werden, um einen Zusammenbruch des gesamten Netzes zu vermeiden. Da der Verbrauch stark zwischen Tag- und Nachzeiten schwankt, verwenden Stromversorger zusätzlich du den konventionellen Kraftwerken andere Kraftwerke wie Biogasanlagen oder Pumpenspeicherkraftwerke, die Regelenergie erzeugen, welche bei Bedarf zur Stabilisierung ins das Netz eingeleitet werden kann.

Frequenzgrößen – Beispiele

Wechselstrom für das Schienennetz, kurz Bahnstrom, wird in einigen Europäischen Ländern (auch Deutschland, Österreich & Schweiz) mit einer Frequenz von 16,7 Hz genutzt.
Wechselstrom für das Funknetz wird mit einer Frequenz von bis zu 300 GHz betrieben.

Wechselstromgrößen – Schwingungsbreite (Formel + Einheit)

In jeder Zeitperiode $T$ nimmt der elektrische Strom einen Minimalwert sowie einen Maximalwert an, unabhängig davon ob es sich um einen periodischen oder einen nicht-periodischen Verlauf handelt.

Die Differenz zwischen dem Maximalwert und dem Minimalwert bezeichnet man als Schwingungsbreite $i_{ss}$ oder auch Spitze-Spitze-Wert. Formal wird dieser wie folgt beschrieben:

$i_{ss} = i_{max} - i_{min}$

Kennzahlen:

$i_{ss} =$ Schwingungsbreite

$i_{max} =$ Maximalwert des Wechselstroms

$i_{min} =$ Minimalwert des Wechselstroms

Einheit

Die Einheit der Schwingungsbreite ist Ampere.

$[i_{ss}] = 1 A$

Wechselspannungsgrößen

Die Wechselspannungsgrößen werden neben den Wechselstromgrößen auch als Sinusgrößen bezeichnet. Dabei greifen wir nochmals die bereits im vorherigen Text aufgeführten Größen auf und ergänzen sie um weitere Größen.

Einige der Größen sind bei der Bestimmung identisch zu der Vorgehensweise, wenn ein Wechselstrom vorliegt, weshalb wir diese nicht noch ein mal aufführen. Wir schauen uns stattdessen die spannungsbezogenen Werte an.

Wir gehen im Detail auf folgende Werte ein:

Arithmetischer Mittelwert
Periodendauer (Identisch zu Wechselstrom)
Frequenz (Identisch zu Wechselstrom)
Grundkreisfrequenz (Identisch zu Wechselstrom)
Schwingungsbreite (Spitze-Spitze-Wert)

Wechselspannungsgrößen – Arithmetischer Mittelwert (Formel + Einheit)

$\overline{u} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) dt = 0$

Kennzahlen:

$\overline{u} =$ Arithmetischer Mittelwert

$T =$ Periodendauer

$u(t) =$ Augenblickwert der Spannung.

Er ist also der mittlere Wert einer sich periodisch wiederholenden Spannung in Zeitabhängigkeit $i (t)$

Einheit

Die Einheit des Arithmetischen Mittelwerts der Spannung ist Volt.

$[\overline{u}] = 1 V$

Wechselspannungsgrößen – Schwingungsbreite (Formel + Einheit)

Auch hier gilt, dass in jeder Zeitperiode $T$ die elektrische Spannung einen Minimalwert sowie einen Maximalwert annimmt, unabhängig davon ob es sich um einen periodischen oder einen nicht-periodischen Verlauf handelt.

Die Differenz zwischen dem Maximalwert und dem Minimalwert bezeichnet man als Schwingungsbreite $u_{ss}$ oder auch Spitze-Spitze-Wert. Es handelt sich hier um einen Potentialunterschied und formal wird dieser wie folgt beschrieben:

$u_{ss} = u_{max} - u_{min}$

Kennzahlen:

$u_{ss} =$ Schwingungsbreite

$u_{max} =$ Maximalwert des Wechselspannung

$u_{min} =$ Minimalwert des Wechselspannung

Einheit

Die Einheit der Schwingungsbreite ist Volt.

$[u_{ss}] = 1 V$

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du jetzt die ersten Kennwerte von Wechselstromgrößen und Wechselspannungsgrößen kennengelernt hast, stellen wir dir im nächsten Kurstext weitere wichtige Werte der Wechselstromtechnik vor und erklären dir was du hierzu beachten musst.

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