ET4-12 – Kondensatoren – Dielektrikum

Inhaltsverzeichnis

Im vorherigen Kurstext tauchten mit der Influenzkonstanten \epsilon_0 und der relativen Dielektrizitätskonstanten \epsilon_r zwei noch nicht näher definierte Größen auf. Diese möchten wir dir in diesem Kurtext als Dielektrikum näher erklären.

 

Dielektrikum - Kondensatoren
Dielektrikum – Kondensatoren

 


Dielektrikum – Grundlagen


Wenn wir von dem Bereich zwischen zwei Elektroden im Zusammenhang mit Elektroden sprechen, so müssen wir im ersten Schritt folgende Größen und Begriffe unterscheiden:

 \boxed{ \epsilon_0 } = Elektrische Feldkonstante oder Influenzkonstante

sowie

 \boxed{ \epsilon_r } = Relative Permittivität oder Dielektrizitätskonstante

sowie

 \boxed{ \epsilon = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r }  = Permittivität oder Dielektrizitätskonstante

 

Diese bauen wir in unsere Gleichung als Materialeinfluss des Nichtleiters ein. Es handelt sich aber um eine sehr kleine Größe.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Um das Verhalten der unterschiedlichen Nichtleiter im elektrischen Feld ordentlich zu unterscheiden, bezieht man sich mit allen Werten auf den Wert von \epsilon_0 des leeren Raumes.

 


Dielektrikum – Elektrische Feldkonstante


Die elektrische Feldkonstante oder auch Influenzkonstante ist der kleinste Wert von \epsilon.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Denn im leeren Raum gibt es keine Wechselwirkungen zwischen elektrischem Feld und Molekülen.

 

Die elektrische Feldkonstante hat den Wert:

 \boxed{ \epsilon_0 = 8,84519 \cdot 10^{-12} \frac{A \cdot s}{Vm} }

Bei allen anderen Nichtleitern gilt immer

 \boxed{ \epsilon = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r }

 


Dielektrikum – Dielektrizitätskonstante


Die Dielektrizitätskonstante oder auch Dielektrizitätszahl (sowie relative Permittivität), ist eine Verhältniszahl.

In der nachfolgenden Liste findest du eine Auswahl von Angaben zu unterschiedlichen Nichtleiter-Materialien.

  • Glas:  \boxed{ \epsilon_r = 3 -12 }

sowie

  • Wasser:  \boxed{ \epsilon_r = 80 }

sowie

  • Polystyrol:  \boxed{ \epsilon_r = 2,3  }

sowie

  • Porzellan:  \boxed{ \epsilon_r = 6 }

sowie

  • Luft:  \boxed{ \epsilon_r = 1,00058 }

 


Einfluss des Dielektrikum


Um den Einfluss unterschiedlicher Dielektrika besser verstehen zu können, schauen wir uns drei herkömmliche Fälle genauer an:

1. Fall: Grenzfläche steht senkrecht zum Feldlinienverlauf

2. Fall:  Grenzfläche verläuft parallel zum Feldlinienverlauf

3. Fall: Grenzfläche steht in einem freigewählten Winkel zum Feldlinienverlauf.

 

undefiniert
Und jetzt?...

Jeden dieser Fälle betrachten wir nun im Einzelnen.

 


Fall 1: Grenzfläche steht senkrecht zum Feldlinienverlauf


Dabei gehen wir von einem Bereich zwischen den Elektroden (Platten) aus, der nun nicht mehr aus einem Dielektrikum besteht, sondern aus zwei unterschiedlichen Dielektrika mit ungleichen Werten. Die Fläche, die diese beiden Bereiche trennt, bezeichnet man als Äquipotentialfläche.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Die beiden Dielektrika bilden 2 Kondensatoren, welche wir hier mit C_1 und C_2 bezeichnen.

 

 In der nächsten Abbildung ist dieser Vorgang verbildlicht.

 

Fall 1 - Senkrecht zu den Feldlinien
Fall 1 – Senkrecht zu den Feldlinien

 

Merk's dir!
Merk's dir!

In beiden Kondensatoren liegt die identische Verschiebungsdichte D vor, da die Äquipotentialfläche für beide Kondensatoren als Elektrode wirkt. Zudem gilt, dass jeder Kondensator die gleiche Ladung bei einer gleichen Fläche besitzt.

 

Deshalb gilt auch für beide Kondensatoren der Gleiche Wert für D:

 \boxed{ D = \frac{Q}{A} = \text{konstant} = \epsilon_0 \cdot \epsilon_{r_1} \cdot E_1 = \epsilon_0 \cdot \epsilon_{r_2} \cdot E_2 } Verschiebungsdichte

 

Jeweils nach den Feldstärken E_1 und E_2 aufgelöst bedeutet dies:

 \boxed{ E_1 = \frac{1}{\epsilon_0 \cdot \epsilon_{r_1}} \cdot D } Feldstärke 1

sowie

 \boxed{ E_2 = \frac{1}{\epsilon_0 \cdot \epsilon_{r_2}} \cdot D } Feldstärke 1

 

Vergleicht man diese beiden Gleichungen nun miteinander, so fällt uns direkt ins Auge, dass das Verhältnis der Feldstärken E_1 und E_2 umgekehrt proportional zu ihren jeweiligen Dielektrizitätszahlen verläuft. (D und \epsilon_0 kürzen sich heraus)

 \boxed{ \frac{E_1}{E_2} = \frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}} } Verhältnis der Feldstärken

 


Fall 2: Grenzfläche verläuft parallel zum Feldlinienverlauf


“Jetzt verläuft die Grenzfläche parallel zum Feldlinienverlauf.”

 

Fall 2 - Parallel zu den Feldlinien
Fall 2 – Parallel zu den Feldlinien

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Die beiden Dielektrika bilden erneut 2 Kondensatoren, welche wir hier mit C_1 und C_2 bezeichnen. Jedoch mit dem Unterschied, dass Sie nun parallel geschaltet sind.

Die Dielektrika haben die gleiche Feldstärke, besitzen jedoch unterschiedliche Verschiebungsdichten.

 

Für die Feldstärke gilt jeweils der gleiche Wert:

 \boxed{ E = \frac{U}{D} } Feldstärke

 

Die Verschiebungsdichten unterscheiden sich jedoch

 \boxed{ D_1 = \epsilon_0 \cdot \epsilon_{r1} \cdot \frac{U}{d} } Verschiebungsdichte 1

Sowie

 \boxed{ D_2 = \epsilon_0 \cdot \epsilon_{r2} \cdot \frac{U}{d} } Verschiebungsdichte 2

 

Diese beiden Gleichungen können wir nun in unsere Gleichung für die Gesamtladung einbauen:

 \boxed{ Q = C_{ges} \cdot U }

Ausgeschrieben bedeutet das

 \boxed{ Q = Q_1 + Q_2 = D_1 \cdot A_1 + D_2 \cdot A_2 }

 

Das bedeutet dann letztlich für die Kapazität:

 \boxed{ C_{ges} = \frac{\epsilon_0}{d} \cdot (\epsilon_{r1} \cdot A_1 + \epsilon_{r2} \cdot A_2) }

sowie

 \boxed{ C_{ges} = C_1 + C_2 }

 


Fall 3: Grenzfläche steht in einem freigewählten Winkel zum Feldlinienverlauf


“Jetzt betrachten wir abschließend noch mal den Fall in dem die Grenzfläche zwischen den Dielektrika in einem beliebigen Winkel zum Feldlinienverlauf stehen.”

 

Fall 3 - Beliebiger Winkel - Dielektrikum
Fall 3 – Beliebiger Winkel – Dielektrikum

 

Dabei gilt:

 \boxed{ \epsilon_1 > \epsilon_2 }

 

Zudem nehmen wir an, dass die Normalkomponenten der Verschiebungsdichte und die Tangentialkomponenten der Feldstärken an der Grenzfläche gleich sind. Daraus ergeben sich folgende Beziehungen:

 \boxed{ D_{n,1} = D_{n,2}} Normalkomponente der Verschiebungsdichte

sowie

 \boxed{ E_{t,1} = E_{t,2} } Tangentialkomponente der Verschiebungsdichte

 

Unter Hinzunahme der Dielektrika gelten für die Tangentialkomponenten der Verschiebungsdichte und die Normalkomponenten der Feldstärke folgende Verhältnisse:

 \boxed{ \frac{D_{t,1}}{D_{t,2}} = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} }proportionales Verhältnis

sowie

 \boxed{ \frac{E_{n,1}}{E_{n,2}} = \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1} }umgekehrt proportionales Verhältnis

 

In der nächsten Abbildung siehst du, dass die Verschiebungslinien an der Grenzfläche gebrochen werden. Der Winkel in Bezug zur Grenzflächennormalen beim Übergang von einem Dielektrikum zum anderen Dielektrikum wird kleiner. Das liegt daran, dass beim oberen Dielektrikum die Dielektrizitätszahl höher ist als beim unteren Dielektrikum.

 

Dielektrikum - Grenzfläche schief zur Feldstärke
Dielektrikum – Grenzfläche schief zur Feldstärke

 


wie gehts weiter?
Im nächsten Kurstext erklären wir dir wie sich Kondensatoren in der Schaltungen verhalten sowie die Berechnung der Kapazitäten. Es macht dabei Sinn, dass wir zuerst die Reihenschaltung und anschließend die Parallelschaltung behandeln. 

 

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