(ET3-11) Netzwerkberechnung – Zweipoltheorie – Erklärung – Einfach gut erklärt

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In diesem Kurstext erklären wir die ausführlich was die Zweipoltheorie ist und verschaffen wir einen Überblick zu aktiven und passiven Zweipolen

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema

Mehr zu diesem Thema und der Elektrotechnik findest du im Kurs: ET3-Netzwerkberechnung

 

Zweipoltheorie – Überblick

Im Rahmen der Zweipoltheorie  zerlegen wir für die Berechnung von einem Netzwerk, letzteres in einen aktiven und einen passiven Zweipol.

Dadurch erhalten wir eine Ersatzschaltung, die einem Grundstromkreis sehr ähnlich und somit leicht zu berechnen ist.

 

Zweipoltheorie – Anwendungsbereiche

Anwendbar ist die Zweipoltheorie für Netzwerke in denen sich ausschließlich Schaltelemente mit linearer Kennlinie befinden.

 

Zweipoltheorie – Aktive Pole – Auswahl

Die aktiven Zweipole können mit folgenden Verfahren berechnet werden:


1. Kirchhoff’sche Sätze
2. Überlagerungssatz
3. Maschenstromverfahren
4. Knotenspannungsverfahren

 

Zweipoltheorie – Passive Pole – Auswahl

Die passiven Zweipole errechnen sich mit nachfolgenden Verfahren:


1. Spannungsteilerverfahren
2. Stromteilerverfahren
3. Brückenschaltung
4. Stern-Dreieck-Transformation
5. Dreieck-Stern-Transformation

 

Zweipoltheorie – Lösungsweg – Lösungsverfahren

Insgesamt kann du dich als Techniker an dem nachfolgenden Lösungsverfahren orientieren:

 

1. Trenne das Netzwerk an den Stellen der gesuchten Größe so auf, dass ein aktiver und ein passiver Zweipol vorliegt. → Nicht selten ist der passive Pol ein Widerstand, der der unbekannten Größe entspricht.

2. Berechne den Ersatzwiderstand R_a des passive Pol

3. Berechne den Ersatzinnenwiderstand R_{i ers} des aktiven Pol

→ ersetze hierzu alle Quellenspannungen durch Kurzschlüsse und alle Einströmungen durch Unterbrechungen.

sowie

→ Berechne den Gesamtwiderstand der verbliebenen Schaltung.

 

4.1. Wählst du Spannungsquellenersatzschaltung aus, so musst du die Leerlaufspannung U_1 aus.
Dafür stehen dir die Kirchhoff’schen Sätze, der Überlagerungssatz, der Maschenstromsatz, der Knotenpunktsatz und die Strom- und Spannungsteilerregel zur Verfügung.

Um die gesuchte Größe zu bestimmen, nutzt du folgende, dir bereits bekannte, Gleichung:

U_1}{R_a + R_{i ers}}

 

5.1 Wählst du die Stromquellenersatzschaltung aus, so musst du den Kurzschlussstrom I_K bestimmen.

Um diese gesuchte Größe zu bestimmen, kannst du die nächste, dir auch bekannte, Gleichung benutzen:

  I = I_K \cdot \frac{R_{i ers}}{R_a + R_{i_ers}}

 

Übungsbeispiel: Berechnung eines Stroms

Beispiel!

Genug trockene Theorie! Jetzt möchten wir unser Wissen zu dem Berechnungsverfahren am nachfolgenden Netzwerk überprüfen:

Zweipoltheorie - Netzwerk
Zweipoltheorie – Netzwerk
Zweipoltheorie

Unsere Aufgabe besteht darin, den Strom durch die Widerstände R_5 R, R_6 zu bestimmen. Bei R_6 liegt der Strom I_{56} vor.

 

Lösungsweg


1. Auftrennen des Netzwerks
Das Netzwerk trennen wir an den Stellen mit A und B auf. In der nächsten Abbildung hat diese Auftrennung bereits stattgefunden:

Zweipoltheorie - Auftrennung
Zweipoltheorie – Auftrennung
Auftrennung

Links entdeckst du den aktiven Zweipol und rechts den passiven Pol.
Jetzt entspricht der Strom durch den passiven Pol dem gesuchten Strom I_{56}.

 

2. Ersatzwiderstand des passiven Zweipols

Der Ersatzwiderstand des passiven Zweipols errechnet sich aus

R_a = R_5 + R_6

 

3. Ersatzinnenwiderstand des aktiven Zweipols
Der Ersatzwiderstand des aktiven Zweipols errechnet sich aus

R_{i ers} = (R_{i1} + R_3) || (R_{i2} + R_4)

 

Ab hier betrachten wir zwei mögliche Varianten:

 

Variante 1 – Benutzung der Spannungsquellenersatzschaltung:

4. Anwendung der Kirchhoff’schen Gesetze
Liegt uns eine Spannungsquellenersatzschaltung vor, so können wir die Spannung U_1 mit den Kirchhoff’schen Gesetzen ermitteln.

Dazu betrachten wir den Zweig auf dem sich R_4 und R_{i2} wie im nächsten Bild dargestellt.

Zweipoltheorie - Maschensatz auf Zweig
Zweipoltheorie – Maschensatz auf Zweig

 

Auf Grundlage dieser Grafik wenden wir die Maschengleichung um U_1 zu ermitteln:

U_1 + U_4 + U_{i2} - U_2 = 0

nach U_1 auflösen:

U_1 = U_2 - U_{i2} - U_4

sowie

U_1 = U_2 - I \cdot (R_{i2} + R_4)

 

5. Ermittlung des Stroms

Bei der gegebenen Schaltung kann der Strom nur in der Masche mit den Widerständen R_{i1}, R_3, R_{i2} und R_{4} fließen.

Maschensatz auf Zweig 2
Maschensatz auf Zweig 2

 

Dazu stellen wir eine passende Maschengleichung auf:

U_{i1} + U_4 + U_{i2} - U_2 + U_3 - U_1 = 0

sowie

I (R_{i1} + R_4 + R_{i2} + R_3) = U_1 + U_2

sowie

I = \frac{U_1 + U_2}{R_{i1} + R_{i2} + R_3 + R-4}

 

Somit wird U_1 bestimmt und anschließend können, den Strom I_{56} nach folgender Gleichung errechnen:

I_{56} = \frac{U_1}{R_{i ers} + R_a}

 

Variante 2 – Benutzung der Stromquellenersatzschaltung:

4. Anwendung des Überlagungssatzes
Liegt uns die Stromquellenersatzschaltung vor, so können wir I_K nach dem Überlagerungssatz ermitteln.

 

Hierzu schließen wir den aktiven Pol kurz, so wie in der Abbildung dargestellt:

Aktiver Zweipol - Kurzschluss
Aktiver Zweipol – Kurzschluss

 

I_K = I_{K2} - I_{K1}

mit

I_{K1} = \frac{U_1}{R_{i1} + R_3}

sowie

  I_{K2} = \frac{U_2}{R_{i2} + R_4}

 

5. Ermittlung des Stroms

Unter Benutzung der Gleichung:

I = \frac{U_1}{R_a + R_{i ers}}

erhalten wir für I_{56}

I_{56} = I_K \frac{R_{i ers}}{R_{i ers} + R_a}

 

Was kommt als Nächstes?

Damit du auch sicher bei der Anwendung dieser Rechenweise wirst, folgt im nächsten Kurstext ein ausführliches Beispiel mit Zahlenwerten.

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