(ET3-07) Knotenspannungsverfahren – Beispiel

Inhaltsverzeichnis

Damit du später als Techniker auch das Verfahren mit Knotenspannungen ganz einfach verstehst, folgt nun für dich ein ausführliches Übungsbeispiel zu diesem Thema.

 

 


Beispiel: Knotenspannungen – Lösen mit dem Gaußschen Algorithmus


 

undefiniert
Beispiel: Knotenspannungen

Im nächsten Bild siehst du ein Netzwerk.

Darin sind unterschiedliche Quellenspannungen U_1, U_2, U_3 sowie mehrere Widerstände R_{i1}, R_{i2}, R_{i3}, R_4, R_5, R_6 und Ströme I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6, I_7, I_8, I_9 eingezeichnet.

Zudem befinden sich in der Abbildung die Knotenpunkte A, B, C.

Knotenspannungen
Knotenspannungen

Die vorgegebenen Werte sind:

 \boxed{ U_1 = 8 V }

sowie

 \boxed{ U_2 = 6 V }

sowie

 \boxed{ U_3 = 4 V }

außerdem

 \boxed{ R_{i1} = 0,666 \Omega }

sowie

 \boxed{ R_{i2} = 0,5 \Omega }

sowie

 \boxed{ R_{i3} = 0,25 \Omega }

sowie

 \boxed{ R_4 = 0,222 \Omega }

sowie

 \boxed{ R_5 = 0,4 \Omega }

und

 \boxed{R_6 = 1 \Omega }

Hinzukommen

 \boxed{ I_7 = 2 A }

sowie

 \boxed{ I_8 = 3 A }

und

 \boxed{ I_9 = 4 A }

 

Deine Aufgabe besteht nun darin alle unbekannten Ströme des Netzwerks mit dem Knotenspannungsverfahren zu lösen.

 

 

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Der einfachste Weg wird für dich die Verwendung des Gaußschen Algorithmus sein.

 

 


1. Berechnung der Leitwerte – Knotenspannungen


Im ersten Schritt bestimmen wir die einzelnen Leitwerte für diese Netzwerk.

 

1.1

 \boxed{ G_{i1} = \frac{1}{R_{i1}} = \frac{1}{0,666 \Omega} = 1,5 S } 

 

|| S ist die Einheit für den Leitwert – 1 S =  \text{1 Siemens}  = \frac{1}{\Omega}


1.2

 \boxed{ G_{i2} = \frac{1}{R_{i2}} = \frac{1}{0,5 \Omega} = 2 S }

sowie

1.3

 \boxed{ G_{i3} = \frac{1}{R_{i3}} = \frac{1}{0,25 \Omega} = 4 S }

sowie

1.4

 \boxed{ G_{4} = \frac{1}{R_{4}} = \frac{1}{0,222 \Omega} = 4,5 S }

sowie

1.5

 \boxed{ G_{5} = \frac{1}{R_{5}} = \frac{1}{0,4 \Omega} = 2,5 S }

sowie

1.6

 \boxed{ G_{6} = \frac{1}{R_{6}} = \frac{1}{1 \Omega} = 1 S }

 

 


2. Aufstellen der Knotenpunktgleichungen – Knotenspannungen


Im zweiten Schritt stellen wir die drei Knotenpunktgleichungen für die Punkte A,B,C auf.

2.1

 \boxed{ A: 0 = - I_7 + I_1 + I_2 + I_6 }

sowie

2.2

 \boxed{ B: 0 = + I_8 - I_1 - I_3 - I_4 }

sowie

2.3

 \boxed{ C: 0 = + I_9 - I_2 + I_3 - I_5 }

 

 


3. Aufstellen der Zweigstromgleichungen:



Jetzt stellen wir die 6 Zweigstromgleichungen I_1 - I_6 auf.

 

3.1

 \boxed{ I_1 = G_{i1} \cdot (\varphi_B - \varphi_A + U_1) }

sowie

3.2

 \boxed{ I_2 = G_{i2} \cdot (\varphi_C - \varphi_A + U_2) }

sowie

3.3

 \boxed{ I_3 = G_{i3} \cdot (\varphi_B - \varphi_C + U_3) }

sowie

3.4

 \boxed{ I_4 = G_{4} \cdot (\varphi_B - 0) = G_{4} \cdot \varphi_B }

sowie

3.5

 \boxed{ I_5 = G_{5} \cdot (\varphi_C - 0) = G_{5} \cdot \varphi_C }

sowie

3.6

 \boxed{ I_6 = G_{6} \cdot (0 - \varphi_A) = - G_{6} \cdot \varphi_A }

 

 

 


4. Einsetzen in die Knotenpunktgleichungen


In diesem Schritt musst du die Zweigstromgleichungen in die Knotenpunktgleichungen einsetzen:

4.1 Einsetzen von 3.1, 3.2 und 3.6 in 2.1:

 \boxed{ 0 = 0 = - I_7 + G_{i1} \cdot (\varphi_B - \varphi_A + U_1) + G_{i2} \cdot (\varphi_C - \varphi_A + U_2) - G_{6} \cdot \varphi_A }

sowie

4.2 Einsetzen von 3.1, 3.3 und 3.4 in 2.2:

 \boxed{ 0 = + I_8 - G_{i1} \cdot (\varphi_B - \varphi_A + U_1) - G_{i3} \cdot (\varphi_B - \varphi_C + U_3) - G_{4} \cdot \varphi_B }

sowie

4.3 Einsetzen von 3.1, 3.2 und 3.6 in 2.1:

 \boxed{ 0 = + I_9 - G_{i2} \cdot (\varphi_C - \varphi_A + U_2) + G_{i3} \cdot (\varphi_B - \varphi_C + U_3) - G_{5} \cdot \varphi_C }

 

 


5. „Aufräumen“ der Knotenpunktgleichungen 4.1, 4.2 & 4.3:


Nun musst du das Gleichungssystem nach Knotenpotentialen ordnen und die zufließenden Ströme und bekannte Quellenspannungen auf eine Seite der Gleichung überführen. Für letzteres wählen wir einfach die linke Gleichungsseite.

 

5.1 Anpassen von 4.1:

 \boxed{ I_7 - G_{i1} \cdot U_1 - G_{i2} \cdot U_2 = \varphi_A \cdot (- G_{i1} - G_{i2} - G_6) + \varphi_B \cdot (G_{i1}) + \varphi_C \cdot (G_{i2}) }

sowie

5.2 Anpassen von 4.2:

 \boxed{ - I_8 + G_{i1} \cdot U_1 - G_{i3} \cdot U_3= \varphi_A \cdot (G_{i1}) - \varphi_B \cdot (G_{i1} + G_{i3} + G_4) + \varphi_C \cdot (G_{i3}) }

sowie

5.3 Anpassen von 4.3:
 \boxed{ - I_9 - G_{i2} \cdot U_2 - G_{i3} \cdot U_3 = \varphi_A \cdot ( G_{i2}) + \varphi_B \cdot (G_{i3}) - \varphi_C \cdot (G_{i2} + G_{i3} + G_5) }

 

 


6. Einsetzen der bekannten Zahlenwerte für die Spannungen (in V), Ströme (in A = V \cdot S) und Leitwerte (in S)


6.1 Anpassen von 5.1:

 \boxed{ 2 A - 12 VS - 12 VS = 2 A - 12 A - 12 A = \varphi_A \cdot (4,5 S) + \varphi_B \cdot (1,5 S) + \varphi_C \cdot (2 S) }

sowie

6.2 Anpassen von 5.2:

 \boxed{ - 3 A + + 12 VS + 16 VS = 2 A - 12 A - 12 A = \varphi_A \cdot (1,5 S) - \varphi_B \cdot (10 S) + \varphi_C \cdot (4 S) }

sowie

6.3 Anpassen von 5.3:
 \boxed{ - 4 A - 12 VS - 16 VS = - 4 A - 12 A - 16 A = \varphi_A \cdot (- 2) + \varphi_B \cdot 4 - \varphi_C \cdot (8,5) }

 

 


7. Zusammenfassen der gleichen Größen – Knotenspannungen


7.1 Zusammenfassen von 6.1:
 \boxed{ 4,5 S \cdot \varphi_A - 1,5 S \cdot \varphi B - 2 S \cdot \varphi C = + 22 A }

sowie

7.2 Zusammenfassen von 6.2:
 \boxed{ 1,5 S \cdot \varphi_A - 10 S \cdot \varphi B + 4 S \cdot \varphi C = + 25 A }

sowie

7.3 Zusammenfassen von 6.3:
 \boxed{ 2 S \cdot \varphi_A - 4 S \cdot \varphi B - 8,5 S \cdot \varphi C = + 22 A }

 

 


8. Anwendung des Gaußschen Algorithmus – Knotenspannungen


8.1 Wir erstellen wieder eine Matrix; Alle Werte unterhalb der Matrix müssen nun mit Hilfe der elementaren Umformungen zu Nullen überführt werden.

Knotenspannungen
Knotenspannungen


Ausgehend von unserer bisherigen Vorgehensweise passen wir ganz easy die Matrix an:

Knotenspannungen
Knotenspannungen

 

8.2 Wir beginnen mit dem ersten Wert aus der II. Indem wir die II.-Zeile mit 3 multiplizieren und anschließend I. abziehen wird 1,5 \varphi_A zu 0

8.3 Den ersten Wert aus III eliminieren wir als Nächstes. Dazu multiplizieren wir III. mit 2,25 und subtrahieren anschließend von I. Somit wird 2 \varphi_A zu 0.

8.4 Nun nehmen wir die beiden neuen Gleichungen aus II. und III. Die Gleichung aus Zeile III. multiplizieren wir mit \frac{19}{7}. und addieren diese mit Gleichung II.

8.5 Jetzt haben wir alle Werte unterhalb der Diagonalen eliminiert und können nach \varphi_C auflösen:

 \boxed{ \varphi_C = 1,71 V }

 

8.6 Den Wert für \varphi_C setzen wir nun wiederum in die Gleichung II (neu) ein und lösen anschließend nach \varphi_B auf.

 \boxed{ 9,5 \varphi_B - 4,66 \cdot 1,71 = -17,66 }

 

 \boxed{ \varphi_B = - 1,26 V }

 

8.7 Zu guter Letzt bestimmen wir nun noch \varphi_A indem wir die Ergebnisse aus 8.5 und 8.6 in die Gleichung I einsetzen.

 \boxed{ 4,5 \varphi_A - 1.5 \cdot (-1,26) - 2 \cdot (1,71) = 22 }

 

 \boxed{ \varphi_A = 5,23 V }

 

 


9. Bestimmen der einzelnen Ströme!


Im allerletzten Schritt bestimmen wir die einzelnen Ströme indem wir unsere errechneten und die vorgegebenen Werte einfach in die Zweigstromgleichungen einsetzen. Zur Vereinfachung runden wir \varphi_A = 5,23 V auf \varphi_A = 5,30 V auf.

 

9.1

 \boxed{ I_1 = 1,5 S \cdot (-1 V - 5,3 V + 8 V) = 2,55 A }

sowie

9.2

 \boxed{ I_2 = 2 S \cdot (1,75 V - 5,3 V + 6 V) = 4,9 A }

sowie

9.3

 \boxed{ I_3 = 4 S \cdot (-1 V - 1,75 V + 4 V) = 5 A }

sowie

9.4

 \boxed{ I_4 = 4,5 S \cdot (-1 V) = -4,5 A }

sowie

9.5

 \boxed{ I_5 = 2,5 S \cdot (1,75) = 4,38 A }

sowie

9.6

 \boxed{ I_6 = - 1 S \cdot (5,3 V) = -5,3 A }

 

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Es fällt dir vielleicht auf, dass 9,4 und 9.6 im Gegensatz zu den anderen Werten negativ ist. Keine Panik!

Das bedeutet einfach nur, dass die Ströme in die entgegensetzte Richtung fließen als wie in der Zeichnung angenommen.

 

 


10. Anpassung der Anfangszeichnung aufgrund der ermittelten Werte.


Knotenspannungen
Knotenspannungen

 

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Im nächsten Kurstext setzen wir uns intensiv mit der Zweipoltheorie auseinander.

 

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