(ET3-06) Knotenspannungsverfahren – Erklärung – einfach erklärt

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In diesem Kurstext stellen wir dir als angehenden Techniker ausführlich das Knotenspannungsverfahren vor.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema

Mehr zu diesem Thema und der Elektrotechnik findest du im Kurs: ET3-Netzwerkberechnung

 

 

Knotenspannungsverfahren – Überblick

“Das Knotenspannungsverfahren, manchmal auch Knotenpotentialverfahren genannt, ist ein Verfahren zur Berechnung von elektrischen Größen in linearen Netzwerken.”

Knotenspannungsverfahren - Netzwerkkabel
Knotenspannungsverfahren – Netzwerkkabel
Knotenspannungsverfahren – Netzwerkkabel

 

Die Mischung macht’s…

Das Knotenspannungsverfahren ist ein Mix aus Knotenpunktsatz sowie Ohm’schem Gesetz.

 

Knotenspannungsverfahren – Sinn und Zweck

Das Ziel ist die Bestimmung der Spannungen zwischen den Knotenpunkten (Knotenspannungen) ausgehend von den Potentialen \varphi der einzelnen Knotenpunkte.

Dabei wählt man einen Knotenpunkt frei aus und setzt dessen Potential auf den Wert \varphi = 0.


Wenn du die Knotenspannungen kennst, dann kannst du die Zweigströme einfach berechnen.

 

Knotenspannungsverfahren – Vorgehensweise zur Lösung:

Zur Anwendung des Knotenspannungsverfahrens sollte folgende Punkte auf der Merkliste bearbeitet bzw. berücksichtigt werden:

1. Kennzeichne alle Knotenpunkte

2. Wähle einen Knotenpunkt, kennzeichne ihn mit 0 und setze den Wert für dessen Potential auf 0.

3. Stelle die Gleichung für die Knotenspannung U_{\nu \mu} auf:
U_{\nu \mu} = \varphi_{\nu} - \varphi_{\mu}.

4. Stelle die Gleichung zur Bestimmung der Zweigströme I_{\nu \mu} nach dem Ohm’schen Gesetz auf, welche die Gleichungen für die Knotenspannungen beinhaltet:
I_{\nu \mu} = G_{\nu \mu} \cdot U_{\nu \mu}

5. Beachte bei 4. die gegebene Quellenspannung.

6. Stelle die unabhängigen Knotenpunktgleichungen der Ströme nach dem Knotenpunktsatz auf.

7. Löse das sich ergebende Gleichungssystem.

 

Beispiel: Berechnung mit dem Knotenspannungsverfahren

Damit dir das Verständnis auf dieses Verfahren vereinfacht wird, spielen wir nun die Vorgehensweise einfach einmal durch.

Beispiel: Knotenspannungsverfahren!

Im nächsten Bild siehst du ein Netzwerk, welches drei Knotenpunkte (A,B,C) besitzt. Auch die Zählpfeile für die Quellenspannung und die Zweigströme finden sich in der Zeichnung wieder.

 

Knotenspannungsverfahren - Beispielaufgabe
Knotenspannungsverfahren – Beispielaufgabe
Knotenspannungsverfahren

Wir wählen zufällig den Knotenpunkt B aus als Bezugspunkt.
Somit wird das Potential von Knotenpunkt B → \varphi_B = 0 

 

Aufstellen der Gleichungen

Mit dem Maschensatz stellen wir nun die Gleichungen für die Zweigströme auf.

Zum besseren Verständnis schaue dir die nächste Abbildung an. Hier ist der Umlaufsinn festgelegt.

Zweigstrombestimmung - Knotenspannungsverfahren
Zweigstrombestimmung – Knotenspannungsverfahren
Zweigstrombestimmung

 

Gleichung des Zweigstroms aus der letzten Abbildung:

I_1 \cdot R_{i1} - U_1 - U_{AB} = 0

Auflösen der Gleichung nach I_1

I_1  = \frac{ U_1 + U_{AB}}{R_{i1}}

sowie

I_1  = \frac{1}{R_{i1}} \cdot (U_1 + U_{AB})

 

Mit U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B)

Angabe mit Leitwerten

I_1  = G_{i1} \cdot ( U_1 + \varphi_A - \varphi_B)

 

Die andere Polung der Spannungsquelle muss von dir berücksichtigt werden.

Ohne Fleiß, kein…. Ergebnis!

Jetzt beginnt die wirkliche Arbeit für dich. Du musst nun das Gleichungssystem zu unserem Netzwerk aufstellen.

Dieses umfasst 2 Gleichungen für die Knotenspannungen und 5 Gleichungen für die Zweigströme:

 

Knotenspannungsverfahren – Gleichungssystem

Jetzt stellen wir zwei Gleichungssysteme für die Knotenspannungen und die Zweigströme auf.

 

Knotenspannungen:

K1: U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B = \varphi_A , \text{weil} \varphi_B = 0

sowie

K2: U_{CB} = \varphi_C - \varphi_B = \varphi_C ,\text{weil} \varphi_B = 0

 

Zweigströme

Z1:  I_1 = G_{i1} \cdot ( U_{AB} + U_1) = G_{i1} \cdot ( \varphi_A + U_1)

sowie

Z2:  I_2 = G_{i2} \cdot (- U_{AB} + U_2) = G_{i2} \cdot (- \varphi_A + U_2)

sowie

Z3:  I_3 = G_{3} \cdot U_{CB} = G_{3} \cdot \varphi_C

sowie

Z4:  I_4 = G_{4} \cdot U_{CB} = G_{4} \cdot \varphi_C

sowie

Z5:  I_5 = G_{5} \cdot U_{AC} = G_{5} \cdot (\varphi_A - \varphi_C

 

Aufstellen der Knotenpunktgleichungen der Ströme

A:  I_2 - I_1 - I_5 = 0

sowie

B:  I_5 - I_3 - I_4 = 0

 

Im nächsten Schritt lösen wir das Gleichungssystem nach den unbekannten Größen

\varphi_A und \varphi_B auf und können die Zweigströme bestimmen

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du nun die Vorgehensweise beim Knotenspannungsverfahren kennst, möchten wir dieses Thema nochmals vertiefen. Deshalb folgt im nächsten Kurstext ein ausführliches Zahlenbeispiel zum Thema. Außerdem findest du im Ordner Webinar ein umfangreiches Live-Meeting von 100 Minuten zu diesem Thema. 

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