(ET3-05) Maschenstromverfahren – Beispiel – einfach erklärt

Inhaltsverzeichnis

Wie das Maschenstromverfahren funktioniert hast du ja bereits im vorherigen Kurstext erlernt nun betrachten wir eine typische Aufgabe in derer man Maschenströme nutzt, um eine gesuchte Größe berechnen zu können.

 

Genau nach dem Schema wie sie dir in deiner Prüfung zum Techniker begegnen könnte. Die verwendete Rechenart ist der Gauß’sche Algorithmus.

 

Videoclip – Maschenstromverfahren

Im nächsten Video findest ein ausführliches Beispiel zum Maschenstromverfahren. 


Maschenstromverfahren 

 

Zum Nachlesen.

 


Beispiel: Maschenströme – Lösen mit dem Gaußschen Algorithmus.


 

undefiniert
Beispiel: Maschenströme

Maschenströme im Verfahren nutzen um unbekannte Größe zu ermitteln.

 

Maschenströme
Maschenströme


Wir haben ein Netzwerk gegeben wie in der nächsten Abbildung dargestellt.

 

Die Elemente des Netzwerks weisen folgende Zahlenwerte auf.
Die Teilspannungen sind:  \boxed{ U_1 = 10 V, U_2 = 12 V, }

 

Die Teilwiderstände sind:  \boxed{ R_{i1} = 2 \Omega, R_{i2} =2 \Omega, R_3 = 12 \Omega, R_4 = 2 \Omega, R_5 = 16 \Omega, R_6 = 3 \Omega, R_7 = 4 \Omega }

 

Deine Aufgabe besteht nun darin die Teilspannung U_3 am Widerstand R_3 zu berechnen.

 


1.  Lesen der Aufgabenstellung (Vorarbeit) – Maschenströme


Du musst nun die Teilspannung U_3 berechnen.

 


2. Sichten der Skizze (Vorarbeit) – Maschenströme



Markieren/Einzeichnen der notwendigen Größe

Maschenströme
Maschenströme

 


3. Aufstellen der Maschengleichungen – Maschenströme


3.1 Masche mit Maschenstrom I_I

 \boxed{ - U_1 + U_2 + I_I \cdot (R_{i1} + R_7 + R_6 + R_{i2} + R_4) - I_{II} R_4 - I_{III} \cdot (R_{i2} + R_6) = 0 }

 

3.2 Masche mit Maschenstrom I_{II}
 \boxed{ - I_I \cdot R_4 + I_{II} \cdot (R_3 + R_4 + R_5) - I_{III} \cdot R_5 = 0 }

 

3.3 Masche mit Maschenstrom I_{III}
 \boxed{ - I_I \cdot (R_{i2} + R_6) - I_{II} \cdot R_5 + I_{III} (R_5 + R_6 + R_{i2}) - U_2 = 0 }

 

 


4. Umstellen der Gleichung 3.1 nach (U_1 - U_2):


 \boxed{ I_I \cdot (R_{i1} + R_7 + R_6 +R_{i2} + R_4) - I_{II} \cdot R_4 - I_{III} \cdot (R_{i2} + R_6) = U_1 - U_2 }

 

 


5. Umstellen der Gleichung 3.3 nach (U_2):


 \boxed{ - I_I \cdot (R_{i2} + R_6) - I_{II} \cdot R_5 + I_{III} (R_5 + R_6 + R_{i2}) = U_2 }

 


6. Einsetzen der Zahlenwerte in die Gleichungen 4., 3.2 und 5:


6.1 Zahlenwerte in 4. einsetzen:
 \boxed{ I_I \cdot (2 \Omega + 3 \Omega + 4\Omega + 5 \Omega+ 2 \Omega) - I_{II} \cdot 2 \Omega- I_{III} \cdot ( 5 \Omega+ 3 \Omega) = 10 V - 12 V }

 

6.2 Zahlenwerte in 3.2 einsetzen :
 \boxed{ - I_I \cdot 2 \Omega+ I_{II} (12 \Omega+ 2 \Omega+ 16 \Omega) - I_{III} \cdot 16 \Omega= 0 }

 

6.3 Zahlenwerte in 5. einsetzen:
 \boxed{ - I_I \cdot (5 \Omega+ 3 \Omega) - I_{II} \cdot 16 \Omega+ I_{III} \cdot (16 \Omega+ 3 \Omega+ 5 \Omega) = 12 V }

 

 


7. Zusammenfassen der Gleichungen unter 6. :


7.1 Zusammenfassen der Gleichung 6.1:

 \boxed{ 16 \Omega \cdot I_I - 2 \Omega \cdot I_{II} - 8 \Omega \cdot I_{III} = - 2 V }

 

7.2 Zusammenfassen der Gleichung 6.2:
 \boxed{- 2 \Omega \cdot I_I + 30 \Omega \cdot I_{II} - 16 \Omega \cdot I_{III} = 0 }

 

7.3 Zusammenfassen der Gleichung 6.3:
 \boxed{ - 8 \Omega \cdot I_I - 16 \Omega \cdot I_{II} + 24 \Omega \cdot I_{III} = 12 V }

 


8. Anwendung des Gaußschen Algorithmus:


Mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus lösen wir nun dieses Gleichungssystem. In der nächsten Abbildung siehst du eine Matrix, die es nun von uns zu bearbeiten gilt.

Maschenströme - Algorithmus nach Gauß
Maschenströme – Algorithmus nach Gauß

 

Die Matrix kennzeichnet eine Diagonale (rot).

 

Die Werte unter der Diagonalen (-2, -8, -16) müssen wir nun mit „elementaren Umformungen“ in mehreren Schritten in Nullwerte verwandeln.

 

8.1 Start Zeile II.
Wir multiplizieren die Gleichung (und alle Werte) in Zeile II mit dem Faktor 8 und addieren sie zur Gleichung I in Zeile 1.

In der neuen Matrix konnten wir somit bereits aus der -2 eine 0 erzeugen.

 

8.2 Weiter mit Zeile III
Jetzt wollen wir die -8 eliminieren. Dazu multiplizieren wir die Gleichung in Zeile 3 mit dem Faktor 2 und addieren sie zu Gleichung I

Mit diesem Schritt haben wir nun die – 8 in eine Null überführt.

 

8.3 Nun geht es erneut weiter mit Zeile III
Es fehlt uns lediglich die -34, die in eine Null verwandelt werden soll. Dieser Schritt gelingt, indem wir die Zeile 3 mit 7 multiplizieren und die Zeile 2 dazu addieren.

 

8.4 Alles Zahlenwerte unterhalb der Diagonalen der Matrix konnten eliminiert und in eine Null umgewandelt werden.

 


9. Transformierte Gleichungen auflösen:


9.1 Gleichung, Zeile III:
Wir nehmen nun die Letzte Zeile aus der Matrix und stellen die erste Gleichung auf. Hier ist unser Vorteil, dass lediglich I_{III} auftritt:


 \boxed{ 0 \cdot I_I + 0 \cdot I_{II} + 144 \cdot I_{III} = 152 }

Einsetzen:

 \boxed{ + 144 \cdot I_{III} = 152   | : 144 }

Auflösen:

 \boxed{I_{III} = 1,06 A }

 

9.2 Gleichung, Zeile II:
Wir schreiben die Gleichung auf und setzen den gerade ermittelten Wert für I_{III} ein:

 \boxed{ 0 \cdot I_I + 238 \cdot I_{II} - 136 \cdot I_{III} = - 2 }

Einsetzen:

 \boxed{     + 238 \cdot I_{II} - 136 \cdot 1,06   = - 2 }

anschließend

 \boxed{     + 238 \cdot I_{II} - 144,16                 = -2 | + 144,16 }

und

 \boxed{     + 238 \cdot I_{II}                               = 142,16  | : 238 }

Auflösen:

 \boxed{ I_{II}                             = 0,597 A }

 

9.3 Letzter Lösungsschritt:
Für die Lösung benötigen wir I_{I} nicht und können mit unserem Zwischenergebnis aus 9.2 ganz locker U_3 bestimmen:

 \boxed{ U_{3} = I_{II} \cdot R_3 = 0,597 A \cdot 12 \Omega = 7,16 V }

 


10. Formuliere den Antwortsatz – Maschenströme


Somit hat der gesuchte Strom einen Wert von

 \boxed{ U_{3} = 7,16 V }.

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Im nächsten Kurstext stellen wir dir das Knotenspannungsverfahren im Detail vor.

 

Trainingsbereich

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