(ET3-03) Überlagerungssatz – einfach erklärt

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kurstext erklären wir dir als angehenden Techniker ausführlich den Überlagerungssatz

 

  “Der Überlagerungssatz besagt, dass die Berechnung für jede elektrische Quelle getrennt erfolgen kann, wobei alle anderen idealen Quellen auf den Wert Null gesetzt werden.” 

 

 


Überlagerungssatz – Grundlegendes


Wir stellen uns ein Netzwerk vor mit lediglich linearen Widerständen und mehreren Spannungsquellen vor.

Überlagerungssatz
Überlagerungssatz

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Der Überlagerungssatz besagt:
Für ein solches Netzwerk wie oben beschrieben gilt, dass sich der Strom eines Maschenzweiges aus einer von Summe von Teilströmen zusammensetzt. Dabei erzeugt jede Spannungsquelle in jedem Zweig einen Teilstrom.

 

Diese Überlagerung der Teilströme ist vorzeichenbehaftet, was bedeutet, dass die einzelnen Vorzeichen beachtet werden müssen. Letztlich ergibt die Überlagerung den Gesamtstrom in diesem Zweig.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Beim Überlagerungssatz erhalten Ströme, die entgegensetzt fließen ein negatives Vorzeichen und sind in der Berechnung auch so halten.

 


Überlagerungsatz – Vorgehensweise zur Lösung


Zur Anwendung des Überlagerungssatzes sollte folgende Merkliste bearbeitet bzw. berücksichtigt werden.

1. Es gilt alles Spannungsquellen bis auf eine auszuschalten. Stichwort: Kursschluss!


2. Jeder Innenwiderstand einer Spannungsquelle besteht weiterhin in der Schaltung.


3. Berechne die unbekannten Teilströme in den Zweigen, aber gehe dabei von der verbliebenen Spannungsquelle aus.


4. Wiederhole den Vorgang für die weiteren Teilströme ausgehend von den anderen Spannungsquellen.


5. Die ermittelten Teilströme der Zweige müssen entsprechend ihrer Vorzeichen überlagert werden.

 

undefiniert
Wo brauche ich das?..

Der Überlagerungssatz findet auch Anwendung bei Schaltungen mit Spannungsquellen (unterschiedliche Frequenz) in der Wechselstromtechnik.

 


Übungsbeispiel: Überlagerungssatz anwenden


undefiniert
Beispiel: Überlagerungssatz
Überlagerungssatz - Netzwerk lösen
Überlagerungssatz – Netzwerk lösen

Wie haben hier ein Netzwerk gegeben, welches aus zwei parallelen Spannungsquellen besteht und vier Teilwiderständen von denen zwei Widerstände die Spannungsquellen belasten. Zudem liegen uns 4 Teilströme I_1, I_2, I_3, I_4 vor , sowie die Knoten A und B.

 


Aufgabenstellung und gegebene Größen


Die Spannungswerte sind angegeben mit


U_1 = 75 V

sowie

U_2 = 90 V

 

Die Werte für die Widerstände sind


R_1 = 2,1 \Omega

sowie

R_2 = 2,8 \Omega

sowie

  R_3 = 140 \Omega

sowie

R_4 = 120 \Omega

 

Die Aufgabe für dich als angehender Techniker besteht nun darin, die Ströme I_2 und I_4 zu bestimmen.

 

undefiniert
Und was machen wir jetzt?...

Jetzt folgt der Lösungsweg nach dem obigen Schema in 9 Schritten.

 


1. Lesen der Aufgabenstellung (Vorarbeit) – Überlagerungssatz


Du musst nun die beiden Teilströme berechnen.

 


2. Sichten der Skizze (Vorarbeit) – Überlagerungssatz


Überlagerungssatz - Netzwerk lösen
Überlagerungssatz – Netzwerk lösen

 


3. Kurzschließen der Quellenspannung U_2 und Eintragen der Teilspannungen I'_2 und I'_4 (Zeichnerisch)


Überlagerungssatz - Kurzschluss erzeugen
Kurzschluss erzeugen

 


4. Anwendung der Spannungsteilerregel zur Berechnung der nicht kurzgeschlossenen Quellenspannung (Rechnerisch)


U'_{BA} = U_1 \frac{ R_2 || R_3 || R_4}{ R_1 + (R_2 || R_3 || R_4)}

mit
R_3 || R_4 = \frac{140 \Omega \cdot 120 \Omega}{260 \Omega} = 64,6 \Omega

sowie

R_2 || R_3 || R_4 = \frac{ 64,6 \Omega \cdot 2,8 \Omega}{67,4 \Omega} = 2,69 \Omega

sowie

U'_{BA} = 75 V \cdot \frac{2,69 \Omega}{(2,1 \Omega + 2,69 \Omega} = 75 V \cdot \frac{2,69}{4,79} = 42,1 V

 


5. Bestimmung der Teilströme I'_2 und I'_4 :


I'_2 = \frac{U_{BA}}{R_2} = \frac{42,1 V}{2,8 \Omega} = 15,05 A

sowie

  I'_4 = \frac{U'_{BA}}{R_4} = \frac{42,1 V}{120 \Omega} = 0,3505 A

 


6. Kurzschließen der Quellenspannung U_1 und Eintragen der Teilspannungen I''_2 und I''_4 (Zeichnerisch).


2. Kurzschluss erzeugen
2. Kurzschluss erzeugen

 


7. Anwendung des Ohmschen-Gesetzes und des Maschensatzes zur Berechnung der Teilströme I''_2 und I''_4 der nicht kurzgeschlossenen Quellenspannung (Rechnerisch)


I''_2 = \frac{U_2}{R_{12} + (R_1 || R_3 || R_4)}

mit


R_3 || R_4 = 64,6 \Omega

sowie

  R_1 || R_3 || R_4 = \frac{2,1 \Omega \cdot 64,6 \Omega}{2,1 \Omega + 64,6 \Omega} = \frac{ 135,66 \Omega}{66,7 \Omega} = 2,04 \Omega

sowie

I''_2 = \frac{90 V}{2,8 \Omega + 2,04 \Omega} = \frac{90 V}{4,84 \Omega} = 18,6 A

sowie

U''_{AB} = U_2 - I''_2 \cdot R_2 = 90 V - 18,6 \cdot 2,8 V = 90 V - 52,1 V = 37,9 V

sowie

  I''_4 = \frac{U''_{BA}}{R_4} = \frac{37,9 V}{120 \Omega} = 0,316 A

 


8. Bestimmung der Zweigströme aus den Teilströmen unter Berücksichtigung der Richtung (Rechnerisch)


I_2 = I''_2 - I'_2 = 18,6 A - 15,05 A = 3,65 A

sowie

I_4 = I''_4 - I'_4 = 0,3505 A + 0,316 A = 0,6665 A

 


9. Verfassen der Antwort


Die gesuchten Ströme haben jeweils einen Wert von

I_2 = 3,65 A (3,65 Ampere) 

sowie

I_4 = 0,6665 A (0,6665 Ampere)

 


Überlagerungssatz – Beurteilung


Vorteil:
1. Für Eine Spannungsquelle muss die Stromverteilung ermittelt werden und lediglich Widerstände werden genutzt.


2. Man verwendet mehrfach die Spannungsteilerregel oder ggf. die Stromteilerregel.


3. Eine Gruppenbildung der Spannungsquellen im Vorfeld ist möglich, wodurch die Wirkung gemeinsam überlagert werden kann.

 

Nachteil:
Liegen im Netzwerk mehrere Quellen vor, steigt auch der Berechnungsaufwand.

 

wie gehts weiter?
Nachdem du jetzt den Überlagerungssatz kennengelernt hast, folgt im nächsten Kurstext mit dem Maschenstromverfahren, das nächste Verfahren zur Berechnung von Netzwerkgrößen.

 

Trainingsbereich

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