(ET2-29) Stern-Dreieck-Transformation – Erklärung – einfach erklärt

Getreu nach dem Motto wer A sagt muss auch B sagen, lässt sich die Transformation auch umkehren. Anstelle einer Dreieck-Stern-Transformation behandeln wir nun die Stern-Dreieck-Transformation.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Elektrotechnik findest du im Kurs: ET2-Gleichstromtechnik

Stern-Dreieck-Transformation – Überblick

Du hast ja bisher nur die Sternschaltung und die Dreieckschaltung als einzelne Schaltungsvarianten in einer Brückenschaltung und einem Drehstrommotor kennengelernt. Zudem haben wir dir die Dreieck-Stern-Transformation erklärt.

Jetzt erfährst du von uns wie man aus einer Sternschaltung eine Dreieckschaltung erzeugt.

Die Transformation ist immer dann sinnvoll, wenn dadurch die Schaltung am Ende so beschaffen ist, dass die Größen in Reihen– und Parallelschaltungen vorliegen. So können wir sie dann ganz einfach nach den bekannten Regeln lösen.

Jetzt wird es international…

Im internationalen Raum spricht man nicht selten von einer Star-Delta-Transformation oder vom Kennelly Theorem. Wenn du also zukünftig von diesen Begriffen liest, dann weißt du sofort, dass damit die Dreieck-Stern-Transformation aber auch die Stern-Dreieck-Transformation gemeint ist.

Liegen gleiche Kennverhältnisse von äquivalenten Stern- und Dreieckschaltungen vor, so gilt dass der Widerstand zwischen einander entsprechenden Klemmenpaaren der Schaltungen wie im Bild dargestellt identisch sein muss.

Zuerst schauen wir uns noch mal die Abbildung der Dreieck-Stern-Transformation an.

Nachdem wir die erste Variante kennengelernt haben, sind jetzt anders als bisher die Widerstände $R'_1, R'_2$ und $R'_3$ bekannt und die Widerstände $R_1, R_2$ und $R_3$ hingegen unbekannt.

Merk’s dir!

Da das Gleichungssystem aus dem vorherigen Kurstext bereits die Relation zwischen den Sternwiderständen und den Dreieckwiderständen hergestellt hat, müssen wir diese nur entsprechend umformen.

Hier wird es zweckmäßig sein anstelle der Widerstände die Leitwerte $G'_1, G'_2, G'_3$ und $G_1, G_2, G_3$ zu verwenden.

Stern-Dreieck-Transformation – Analogie

Bei der Stern-Dreieck-Transformation wählt man die gleich Vorgehensweise wie bei der identischen Pi-T-Transformation zwischen einer $\pi$ -Schaltung und einer $T-$ Schaltung. Dabei werden die Widerstände grafisch unterschiedlich angeordnet. Verwendung findet diese Transformation bei Filterschaltungen in der Nachrichtentechnik.

Aber auf Anfang. Im ersten Schritt führen wir nun die Transformation durch.

Stern-Dreieck-Transformation – Ablauf

Wir nehmen uns die Gleichung

$R_1 = \frac{R_{31} \cdot R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}$

zur Hand und lösen nach $R_{12}$ auf.

Anschließend setzen wir in die resultierende Gleichung die Quotienten aus den Gleichungen

$R_2 = \frac{R_{12} \cdot R_{23}}{R_{23} + R_{31} + R_{12}}$

sowie

$R_3 = \frac{R_{23} \cdot R_{31}}{R_{31} + R_{12} + R_{23}}$

ein und erhalten nach ein paar Umformungen die Gleichungen:

$R_{12} = R_1 + R_2 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_3}$

sowie

$R_{23} = R_2 + R_3 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1}$

sowie

$R_{31} = R_3 + R_1 + \frac{R_3 \cdot R_1}{R_2}$

Der Aufbau dieser Gleichungen entspricht den Gleichungen zu den Leitwerten.

Bilden wir nun die Kehrwerte der Gleichungen so erhalten wir die Gleichungen für die Leitwerte der Dreieckschaltungen.

$G_{12} = \frac{G_1 \cdot G_2}{G_1 + G_2 + G_3}$

sowie

$G_{23} = \frac{G_2 \cdot G_3}{G_2 + G_3 + G_1}$

sowie

$G_{31} = \frac{G_3 \cdot G_1}{G_3 + G_1 + G_2}$

Die Gleichungen entsprechen der Struktur der Gleichungen für die Bestimmung der Widerstände in der Sternschaltung.

Stern-Dreieck-Transformation – Merkregeln

Für die Bestimmung der Leitwerte in der Sternschaltung stellen wir jetzt auch eine Merkregel auf:

$\text{Dreieckleitwert} = \frac{\text{ Multiplizieren der zwischen den Knoten liegenden Sternleitwerte}}{\text{Addieren aller Sternleitwerte}}$

Merk’s dir!

Haben alle Widerstände einer Sternschaltung den gleichen Wert, also $R = R_1 = R_2 = R_ 3$ so müssen die Widerstände einer äquivalenten Dreieckschaltung ebenfalls den selben Wert aufweisen.

$R = R_{12} = R_{23} = R_{31}$

Bei dieser Ausprägung hilft uns jetzt sogar ein festes Verhältnis:

$\text{Widerstand der Dreieckschaltung} = 3 \cdot \text{Widerstand der Sternschaltung}$

Mit dieser Merkregel schließen wir das Thema der Transformation.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem du nun die Vorgehensweise für die Stern-Dreieck-Transformation kennst, stellen wir dir im nächsten Kurstext noch ein Beispiel zur Vertiefung der Stern-Dreieck-Transformation vor.

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