(ET2-28) Dreieck-Stern-Umformung [Prüfungsbeispiel]

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Nachdem du die Dreieck-Stern-Umformung bereits erklärt bekommen hast, wollen wir nun gemeinsam eine typische Aufgabe zur Dreieck-Stern-Umformung berechnen, wie du sie als Techniker in deiner Prüfung vorfinden könntest. Dein Aufgabe ist, dass du dir hierzu die Abbildung anschaust und die gesuchte Größe mit Dreieck-Stern der Aufgabenstellung ermittelst.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema

Mehr zur Dreieck-Stern-Umformung und der Elektrotechnik findest du im Kurs: ET2-Gleichstromtechnik

 

Anschauungsbeispiel: Dreieck-Stern-Umformung

Beispiel: Dreieck-Stern-Umformung!

Dreieck-Stern-Umformung
Dreieck-Stern-Umformung

In der Abbildung findest du eine Brückenschaltung mit folgenden Widerständen inkl. Werten:

  • R_1 = 20 k\Omega

sowie

  • R_2 = 50 k\Omega

sowie

  • R_3 = 30 k\Omega

sowie

  • R_4 = 15 k\Omega

sowie

  • R_5 = 25 k\Omega

 

Die Spannung hat einen Wert von U = 20 V

Wir wollen nun wissen welchen Wert der Strom I_3 aufweist. Also I_3 = ?

 

Lösungsweg: Dreieck-Stern-Umformung

Die Lösung mit Hilfe der Dreieck-Stern-Umformung erfolgt in unserem Beispiel in 6 aufeinanderfolgenden Schritten.

 

1. Berechnen der Widerstände der äquivalenten Sternschaltung nach der bekannten Gleichung:

\R'_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{20 k\Omega \cdot 50 k\Omega}{(20 + 50 + 30) k\Omega} = 10 k\Omega

sowie

R'_2 = \frac{R_3 \cdot R_1}{R_3 + R_1 + R_2} = \frac{30 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{(30 + 20 + 50) k\Omega} = 6 k\Omega

sowie

R'_1 = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3 + R_1} = \frac{50 k\Omega \cdot 30 k\Omega}{(50 + 30 + 20) k\Omega} = 15 k\Omega

 

2. Berechnen des Gesamtwiderstandes R vorliegenden Schaltung (inkl. R_4 & R_5):

R = R'_3 + (R'_2 + R_4) || (R'_1 + R_5) = 10 k\Omega + \frac{21 k\Omega \cdot 40 k\Omega}{61 k\Omega} = 23,77 k\Omega

 

3. Berechne den Gesamtstrom I, der den Widerstand R'_3 durchfließt nach Ohm’schem Gesetz:

I = \frac{U}{R}= \frac{20 V}{23,77 k\Omega} = 0,842 mA

 

4. Berechnung der Teilströme I_4 und I_5 der Stern-Dreieck-Umformung:

Merk’s dir!

Warum? – Der Gesamtstrom verzweigt sich in die Zweige R'_2 + R_4 und R'_1 + R_5.

Es gelten die Regeln der Stromverzweigung (Stromteilerregel) – Denn ein Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom, wie der von Teilstrom nicht durchflossene Widerstand zur Summe der Einzelwiderstände.

Wir müssen also die Teilströme durch R'_2 + R_4 und R'_1 + R_5 berechnen. Denn sie entsprechen den Strömen I_4 und I_5, die in der vorliegenden Schaltung auch wirklich fließen.

 

I_4 = I \frac{R'_1 + R_5}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (15 + 25) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega}

also

I_4 = 0,552 mA

sowie

I_5 = I \frac{R'_2 + R_4}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (6 + 15) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega}

also

I_5 = 0,29 mA 

 

5. Berechnen der Spannungen an U_4 und U_5 der Stern-Dreieck-Umformung:

Mit den beiden Strömen I_4 und I_5 lassen sich die Spannungen an den Widerständen R_4 und R_5 berechnen, nach dem Ohm’schen Gesetz:

U_4 = I_4 \cdot R_4 = 0,552  mA \cdot 15 k\Omega = 0,552 \cdot 10^{-3} A \cdot 15 \cdot 10^{3} \Omega

also

U_4 = 8,28 V

sowie

U_5 = I_5 \cdot R_5 = 0,29  mA \cdot 25 k\Omega = 0,29 \cdot 10^{-3} A \cdot 25 \cdot 10^3 \Omega

also

U_5 = 7,25 V

 

6. Berechnen des gesuchten Stroms I_3 nach der Dreieck-Stern-Umformung:

Mit dem Ohm’schen Gesetz können wir nun den gesuchten Strom bestimmen. Uns ist der Widerstand R_3 bekannt und die Spannung an diesem Widerstand ergibt sich aus der Differenz von U_4 - U_5:

I_3 = \frac{U_4 - U_5}{R_3} = \frac{(8,28 - 7,25) V}{30 \cdot 10^3 \Omega} = 34,4 \muA

 

Es gilt, dass der Strom vom Knotenpunkt B hin zum Knotenpunkt A fließt .

 

Jetzt kennst du den ganzen Ablauf der Dreieck-Stern-Transformation.

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir nun ausreichend Erfahrung mit der Dreieck-Stern-Umformung haben, betrachten wir im nächsten Kurstext zuerst die Definition der Stern-Dreieck-Transformation.  Anschließend folgt wieder ein ausführliches Beispiel zu diesem Thema!

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