(ET2-28) Dreieck-Stern-Transformation – Beispiel

Nachdem du die Dreieck-Stern-Transformation bereits erklärt bekommen hast, wollen wir nun gemeinsam eine typische Aufgabe berechnen, wie du sie als Techniker in deiner Prüfung vorfinden könntest. Dein Aufgabe ist, dass du dir hierzu die Abbildung anschaust und die gesuchte Größe mit Dreieck-Stern der Aufgabenstellung ermittelst.

Anschauungsbeispiel: Dreieck-Stern-Umformung

undefiniert

Beispiel: Ohm'scher Zweipol

In der Abbildung findest du eine Brückenschaltung mit folgenden Widerständen inkl. Werten:

$\boxed{ R_1 = 20 k\Omega }$

sowie

$\boxed{ R_2 = 50 k\Omega }$

sowie

$\boxed{ R_3 = 30 k\Omega }$

sowie

$\boxed{ R_4 = 15 k\Omega }$

sowie

$\boxed{ R_5 = 25 k\Omega }$

Die Spannung hat einen Wert von $U = 20 V$

Wir wollen nun wissen welchen Wert der Strom $I_3$ aufweist. Also $I_3 = ?$

Lösungsweg: Dreieck-Stern-Umformung

Die Lösung erfolgt in unserem Beispiel in 6 aufeinanderfolgenden Schritten.

1. Berechnen der Widerstände der äquivalenten Sternschaltung nach der bekannten Gleichung:

$\boxed{ R'_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{20 k\Omega \cdot 50 k\Omega}{(20 + 50 + 30) k\Omega} = 10 k\Omega }$

sowie

$\boxed{ R'_2 = \frac{R_3 \cdot R_1}{R_3 + R_1 + R_2} = \frac{30 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{(30 + 20 + 50) k\Omega} = 6 k\Omega}$

sowie

$\boxed{R'_1 = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3 + R_1} = \frac{50 k\Omega \cdot 30 k\Omega}{(50 + 30 + 20) k\Omega} = 15 k\Omega}$

2. Berechnen des Gesamtwiderstandes $R$ vorliegenden Schaltung (inkl. $R_4$ & $R_5$ ):

$\boxed{R = R'_3 + (R'_2 + R_4) || (R'_1 + R_5) = 10 k\Omega + \frac{21 k\Omega \cdot 40 k\Omega}{61 k\Omega} = 23,77 k\Omega}$

3. Berechne den Gesamtstrom $I$ , der den Widerstand $R'_3$ durchfließt nach Ohm’schem Gesetz:

$\boxed{I = \frac{U}{R}= \frac{20 V}{23,77 k\Omega} = 0,842 mA }$

4. Berechnung der Teilströme $I_4$ und $I_5$ :

Merk's dir!

Warum? – Der Gesamtstrom verzweigt sich in die Zweige $R'_2 + R_4$ und $R'_1 + R_5$ .

Es gelten die Regeln der Stromverzweigung (Stromteilerregel) – Denn ein Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom, wie der von Teilstrom nicht durchflossene Widerstand zur Summe der Einzelwiderstände.

Wir müssen also die Teilströme durch $R'_2 + R_4$ und $R'_1 + R_5$ berechnen. Denn sie entsprechen den Strömen $I_4$ und $I_5$ , die in der vorliegenden Schaltung auch wirklich fließen.

$\boxed{I_4 = I \frac{R'_1 + R_5}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (15 + 25) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega} }$

also

$\boxed{I_4 = 0,552 mA }$

sowie

$\boxed{I_5 = I \frac{R'_2 + R_4}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (6 + 15) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega}}$

also

$\boxed{I_5 = 0,29 mA}$

5. Berechnen der Spannungen an $U_4$ und $U_5$ :

Mit den beiden Strömen $I_4$ und $I_5$ lassen sich die Spannungen an den Widerständen $R_4$ und $R_5$ berechnen, nach dem Ohm’schen Gesetz:

$\boxed{U_4 = I_4 \cdot R_4 = 0,552 mA \cdot 15 k\Omega = 0,552 \cdot 10^{-3} A \cdot 15 \cdot 10^{3} \Omega}$

also

$\boxed{ U_4 = 8,28 V}$

sowie

$\boxed{ U_5 = I_5 \cdot R_5 = 0,29 mA \cdot 25 k\Omega = 0,29 \cdot 10^{-3} A \cdot 25 \cdot 10^3 \Omega}$

also

$\boxed{ U_5 = 7,25 V}$

6. Berechnen des gesuchten Stroms $I_3$ nach der Dreieck-Stern-Umformung:

Mit dem Ohm’schen Gesetz können wir nun den gesuchten Strom bestimmen. Uns ist der Widerstand $R_3$ bekannt und die Spannung an diesem Widerstand ergibt sich aus der Differenz von $U_4 - U_5$ :

$\boxed{ I_3 = \frac{U_4 - U_5}{R_3} = \frac{(8,28 - 7,25) V}{30 \cdot 10^3 \Omega} = 34,4 \muA }$

Es gilt, dass der Strom vom Knotenpunkt B hin zum Knotenpunkt A fließt .

Jetzt kennst du den ganzen Ablauf der Dreieck-Stern-Transformation.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir nun ausreichend Erfahrung mit der Dreieck-Stern-Transformation haben, betrachten wir im nächsten Kurstext zuerst die Definition der Stern-Dreieck-Transformation. Anschließend folgt wieder ein ausführliches Beispiel zu diesem Thema!

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