(ET2-28) Dreieck-Stern-Transformation – Beispiel

Inhaltsverzeichnis

Nachdem du die Dreieck-Stern-Transformation bereits erklärt bekommen hast, wollen wir nun gemeinsam eine typische Aufgabe berechnen, wie du sie als Techniker in deiner Prüfung vorfinden könntest. Dein Aufgabe ist, dass du dir hierzu die Abbildung anschaust und die gesuchte Größe der Aufgabenstellung ermittelst.

 

 


Anschauungsbeispiel: Dreieck-Stern-Umformung


 

undefiniert
Beispiel: Ohm'scher Zweipol
Dreieck-Stern-Transformation
Dreieck-Stern-Transformation

In der Abbildung findest du eine Brückenschaltung mit folgenden Widerständen inkl. Werten:

  •  \boxed{ R_1 = 20 k\Omega }

sowie

  •  \boxed{ R_2 = 50 k\Omega }

sowie

  •  \boxed{ R_3 = 30 k\Omega }

sowie

  •  \boxed{ R_4 = 15 k\Omega }

sowie

  •  \boxed{ R_5 = 25 k\Omega }

 

Die Spannung hat einen Wert von U = 20 V

Wir wollen nun wissen welchen Wert der Strom I_3 aufweist. Also I_3 = ?

 

 


Lösungsweg: Dreieck-Stern-Umformung


Die Lösung erfolgt in unserem Beispiel in 6 aufeinanderfolgenden Schritten.

 


1. Berechnen der Widerstände der äquivalenten Sternschaltung nach der bekannten Gleichung:


 \boxed{ R'_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{20 k\Omega \cdot 50 k\Omega}{(20 + 50 + 30) k\Omega} = 10 k\Omega }

sowie

 \boxed{ R'_2 = \frac{R_3 \cdot R_1}{R_3 + R_1 + R_2} = \frac{30 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{(30 + 20 + 50) k\Omega} = 6 k\Omega}

sowie

 \boxed{R'_1 = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3 + R_1} = \frac{50 k\Omega \cdot 30 k\Omega}{(50 + 30 + 20) k\Omega} = 15 k\Omega}

 


2. Berechnen des Gesamtwiderstandes R vorliegenden Schaltung (inkl. R_4 & R_5):


 \boxed{R = R'_3 + (R'_2 + R_4) || (R'_1 + R_5) = 10 k\Omega + \frac{21 k\Omega \cdot 40 k\Omega}{61 k\Omega} = 23,77 k\Omega}

 


3. Berechne den Gesamtstrom I, der den Widerstand R'_3 durchfließt nach Ohm’schem Gesetz:


 \boxed{I = \frac{U}{R}= \frac{20 V}{23,77 k\Omega} = 0,842 mA }

 


4. Berechnung der Teilströme I_4 und I_5:


 

Merk's dir!
Merk's dir!

Warum? – Der Gesamtstrom verzweigt sich in die Zweige R'_2 + R_4 und R'_1 + R_5.

Es gelten die Regeln der Stromverzweigung (Stromteilerregel) – Denn ein Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom, wie der von Teilstrom nicht durchflossene Widerstand zur Summe der Einzelwiderstände.

Wir müssen also die Teilströme durch R'_2 + R_4 und R'_1 + R_5 berechnen. Denn sie entsprechen den Strömen I_4 und I_5, die in der vorliegenden Schaltung auch wirklich fließen.

 

 \boxed{I_4 = I \frac{R'_1 + R_5}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (15 + 25) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega} }

also

 \boxed{I_4 = 0,552 mA }

sowie

 \boxed{I_5 = I \frac{R'_2 + R_4}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (6 + 15) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega}}

also

 \boxed{I_5 = 0,29 mA}

 

 


5. Berechnen der Spannungen an U_4 und U_5:


Mit den beiden Strömen I_4 und I_5 lassen sich die Spannungen an den Widerständen R_4 und R_5 berechnen, nach dem Ohm’schen Gesetz:

 \boxed{U_4 = I_4 \cdot R_4 = 0,552  mA \cdot 15 k\Omega = 0,552 \cdot 10^{-3} A \cdot 15 \cdot 10^{3} \Omega}

also

 \boxed{ U_4 = 8,28 V}

sowie

 \boxed{ U_5 = I_5 \cdot R_5 = 0,29  mA \cdot 25 k\Omega = 0,29 \cdot 10^{-3} A \cdot 25 \cdot 10^3 \Omega}

also

 \boxed{ U_5 = 7,25 V}

 


6. Berechnen des gesuchten Stroms I_3 nach der Dreieck-Stern-Umformung:


 

Mit dem Ohm’schen Gesetz können wir nun den gesuchten Strom bestimmen. Uns ist der Widerstand R_3 bekannt und die Spannung an diesem Widerstand ergibt sich aus der Differenz von U_4 - U_5:

 

 \boxed{ I_3 = \frac{U_4 - U_5}{R_3} = \frac{(8,28 - 7,25) V}{30 \cdot 10^3 \Omega} = 34,4 \muA }

 

Es gilt, dass der Strom vom Knotenpunkt B hin zum Knotenpunkt A fließt .

 

Jetzt kennst du den ganzen Ablauf der Dreieck-Stern-Transformation.

 



wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem wir nun ausreichend Erfahrung mit der Dreieck-Stern-Transformation haben, betrachten wir im nächsten Kurstext zuerst die Definition der Stern-Dreieck-Transformation.  Anschließend folgt wieder ein ausführliches Beispiel zu diesem Thema!

 

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