(ET2-28) Dreieck-Stern-Umformung [Prüfungsbeispiel]

Nachdem du die Dreieck-Stern-Umformung bereits erklärt bekommen hast, wollen wir nun gemeinsam eine typische Aufgabe zur Dreieck-Stern-Umformung berechnen, wie du sie als Techniker in deiner Prüfung vorfinden könntest. Dein Aufgabe ist, dass du dir hierzu die Abbildung anschaust und die gesuchte Größe mit Dreieck-Stern der Aufgabenstellung ermittelst.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei ausführliche Videoclips und zwei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zur Dreieck-Stern-Umformung und der Elektrotechnik findest du im Kurs: ET2-Gleichstromtechnik

Anschauungsbeispiel: Dreieck-Stern-Umformung

Beispiel: Dreieck-Stern-Umformung!

In der Abbildung findest du eine Brückenschaltung mit folgenden Widerständen inkl. Werten:

$R_1 = 20 k\Omega$

sowie

$R_2 = 50 k\Omega$

sowie

$R_3 = 30 k\Omega$

sowie

$R_4 = 15 k\Omega$

sowie

$R_5 = 25 k\Omega$

Die Spannung hat einen Wert von $U = 20 V$

Wir wollen nun wissen welchen Wert der Strom $I_3$ aufweist. Also $I_3 = ?$

Lösungsweg: Dreieck-Stern-Umformung

Die Lösung mit Hilfe der Dreieck-Stern-Umformung erfolgt in unserem Beispiel in 6 aufeinanderfolgenden Schritten.

1. Berechnen der Widerstände der äquivalenten Sternschaltung nach der bekannten Gleichung:

$\R'_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{20 k\Omega \cdot 50 k\Omega}{(20 + 50 + 30) k\Omega} = 10 k\Omega$

sowie

$R'_2 = \frac{R_3 \cdot R_1}{R_3 + R_1 + R_2} = \frac{30 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{(30 + 20 + 50) k\Omega} = 6 k\Omega$

sowie

$R'_1 = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3 + R_1} = \frac{50 k\Omega \cdot 30 k\Omega}{(50 + 30 + 20) k\Omega} = 15 k\Omega$

2. Berechnen des Gesamtwiderstandes $R$ vorliegenden Schaltung (inkl. $R_4$ & $R_5$ ):

$R = R'_3 + (R'_2 + R_4) || (R'_1 + R_5) = 10 k\Omega + \frac{21 k\Omega \cdot 40 k\Omega}{61 k\Omega} = 23,77 k\Omega$

3. Berechne den Gesamtstrom $I$ , der den Widerstand $R'_3$ durchfließt nach Ohm’schem Gesetz:

$I = \frac{U}{R}= \frac{20 V}{23,77 k\Omega} = 0,842 mA$

4. Berechnung der Teilströme $I_4$ und $I_5$ der Stern-Dreieck-Umformung:

Merk’s dir!

Warum? – Der Gesamtstrom verzweigt sich in die Zweige $R'_2 + R_4$ und $R'_1 + R_5$ .

Es gelten die Regeln der Stromverzweigung (Stromteilerregel) – Denn ein Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom, wie der von Teilstrom nicht durchflossene Widerstand zur Summe der Einzelwiderstände.

Wir müssen also die Teilströme durch $R'_2 + R_4$ und $R'_1 + R_5$ berechnen. Denn sie entsprechen den Strömen $I_4$ und $I_5$ , die in der vorliegenden Schaltung auch wirklich fließen.

$I_4 = I \frac{R'_1 + R_5}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (15 + 25) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega}$

also

$I_4 = 0,552 mA$

sowie

$I_5 = I \frac{R'_2 + R_4}{R'_2 + R_4 + R'_1 + R_5} = 0,842 mA \cdot \frac{ (6 + 15) k\Omega}{(6 + 15 + 15 + 25) k\Omega}$

also

$I_5 = 0,29 mA$

5. Berechnen der Spannungen an $U_4$ und $U_5$ der Stern-Dreieck-Umformung:

Mit den beiden Strömen $I_4$ und $I_5$ lassen sich die Spannungen an den Widerständen $R_4$ und $R_5$ berechnen, nach dem Ohm’schen Gesetz:

$U_4 = I_4 \cdot R_4 = 0,552 mA \cdot 15 k\Omega = 0,552 \cdot 10^{-3} A \cdot 15 \cdot 10^{3} \Omega$

also

$U_4 = 8,28 V$

sowie

$U_5 = I_5 \cdot R_5 = 0,29 mA \cdot 25 k\Omega = 0,29 \cdot 10^{-3} A \cdot 25 \cdot 10^3 \Omega$

also

$U_5 = 7,25 V$

6. Berechnen des gesuchten Stroms $I_3$ nach der Dreieck-Stern-Umformung:

Mit dem Ohm’schen Gesetz können wir nun den gesuchten Strom bestimmen. Uns ist der Widerstand $R_3$ bekannt und die Spannung an diesem Widerstand ergibt sich aus der Differenz von $U_4 - U_5$ :

$I_3 = \frac{U_4 - U_5}{R_3} = \frac{(8,28 - 7,25) V}{30 \cdot 10^3 \Omega} = 34,4 \muA$

Es gilt, dass der Strom vom Knotenpunkt B hin zum Knotenpunkt A fließt .

Jetzt kennst du den ganzen Ablauf der Dreieck-Stern-Transformation.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir nun ausreichend Erfahrung mit der Dreieck-Stern-Umformung haben, betrachten wir im nächsten Kurstext zuerst die Definition der Stern-Dreieck-Transformation. Anschließend folgt wieder ein ausführliches Beispiel zu diesem Thema!

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